二次曲线的代数定义

1、关于二次曲线的代数定义现在学习的是第1页，共13页二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一条经过此二线束束心的二阶曲线.即：O(p) O(p).( ),(| pOppOpppP若A+BA+B：0(0)abcdadbc则的方程为0.aAAdBBbABcA B现在学习的是第2页，共13页 注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点的地位平等,任意取定上相异二点为束心与上的点连线则得到两个也生成此的射影线束. 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两

2、个射影线束)(MA).(MB二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 161电影网整理发布现在学习的是第3页，共13页二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束)(MA).(MB 证明. 设由O(P) O(P)生成.)()(MBMA设KPOBMKOPAM)()(KOPMA) ()(KPOMB只要证).()(KPOKOP设., BAMOBABMAO),( )(POPO).,( ),(MPBAOMPBAO分别以AM, BM截, 得注意到,MM )., , (), ,(M

3、KBABMMKBAAM)., , (), ,(MKBABMMKBAAM从而对应点的连线共点, 即AA, BB, KK共点于S.但是OBAOS为定点, 故当M变动时, KK经过定点S. 即).()(KPOKOP现在学习的是第4页，共13页二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O(P)生成. 则在上任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 推论4.1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线. 推论4.1 平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线. 推论4.2 任一二阶曲线可由两个射影线束生成. 推论

4、4.2 任一二级曲线可由两个射影点列生成. 推论4.3 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值. 推论4.3 二级曲线上四条定直线被其上任意一条直线所截得四点的交比为定值. 注：推论4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用.)(MA).(MB现在学习的是第5页，共13页三、二次曲线的射影定义三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论, 我们有 定义4.3 在射影平面上, 称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线. 定义4.3 在射影平面上, 称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线. 思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的.提示：考虑透视对应、射影变换的

5、情况.注 请自学教材例4.2, 并与2.3(P.67)习题6, 7比较.现在学习的是第6页，共13页四、二阶曲线的切线四、二阶曲线的切线本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.1. 定义 定义4.4 与二阶曲线交于两个重合的点的直线称为的切线.共轭的虚切线重合的实切线相异的实切线的两条有过内上外在点一般地PP,现在学习的是第7页，共13页四、二阶曲线的切线四、二阶曲线的切线2、切线的方程问题：已知二阶曲线) 1 ()(0:31,jiijjijiijaaxxaS求过定点P(pi)的的切线方程. 设Q(qi)为平面上任一点. 则直线PQ上任一点可表为xi=pi+qi. PQ为的切线Q为的过P的切线上

6、的点 PQ交于两个重合的点将xi=pi+qi代入 ：S=0后只有一个解. 代入得0)(jjiiijqpqpa即0)(2jijijijiijqqpqqpppa即)2(0)(2jiijjiijjiijjiijppapqaqpaqqa现在学习的是第8页，共13页四、二阶曲线的切线四、二阶曲线的切线2、切线的方程)2(0)(2jiijjiijjiijjiijppapqaqpaqqa为简便计, 引入记号jiijppppaSjiijqqqqaSjiijpqqpaSjiijqppqaSjiijpxpaSjiijqxqaS.,qppqjiijSSaa以上述记号代入，(2)式可写为)3(022pppqqqSSS

7、现在学习的是第9页，共13页四、二阶曲线的切线四、二阶曲线的切线2、切线的方程)3(022pppqqqSSS从而, Q(qi)在过P(pi)的切线上(3)对有二重根=0)4(2ppqqpqSSS(4)式即为Q(qi)是过P(pi)的切线上的点的充要条件. 习惯地, 将其中的流动坐标qi换为xi , 得到二阶曲线过点P(pi)的切线方程为)5(2SSSppp(5)式为一个二次方程, 故经过平面上一点P一般有两条切线. 如果P在上, 则Spp=0, 从而, 二阶曲线上一点P处的切线方程为)6(0pS现在学习的是第10页，共13页四、二阶曲线的切线四、二阶曲线的切线2、切线的方程)5()(2PSSSppp)6()(0PSp注：教材P.104, (4.10)(4.12)关于Sp=0常用的等价写法中ixS记号在S中, 将xj(ji)视为常数, 对xi求导数, 称为S对xi的偏导数偏导数.pixS记号S对xi的偏导函数在点P(p1,p2,p3)处的取值