现代控制理论--- 课件 (5)

1、第五章第五章 线性反馈控制系统的综合线性反馈控制系统的综合第五章第五章 线性反馈控制系统的综合线性反馈控制系统的综合 综合：在给定被控对象的情况下，研究如何通过确定系统的控制规律（包括确定控制器的结构及参数，或者确定施加于系统的控制作用等），来满足系统所预期的运动形式或性能指标要求。 要求的运动形式或性能指标可分为非优化型和优化型两种。 4）使一个多输入多输出系统变成为“一个输入量只控制一个输出量，一个输出量只受一个输入量控制” 为目标解耦控制问题；非优化型性能指标：1）以一组期望的闭环系统极点作为目标极点配置问题；2）以系统在平衡点渐近稳定作为目标镇定问题；3）使输出无静差地跟踪外部给定信号

2、为性能指标渐近跟踪问题； 控制规律一般采用“反馈控制”形式，这是由于反馈控制在抗扰动和抗参数变动等方面具有明显优势 。还有一些为控制系统的工程实现而提出的问题，主要有： （1）状态反馈的实现问题。很难通过直接量测获取全部状态变量。 （2）外部扰动影响的抑制问题。扰动对跟踪精度会产生直接的影响。 （3）系统模型的不准确和系统参数的摄动问题。鲁棒性分析及设计 。 优化型性能指标：使描述系统性能或品质的某些“指标”在一定意义下达到最优值。 取系统的控制作用为： uKxv npq维维维 xxAxBuuyCxy一、状态反馈控制系统的构成一、状态反馈控制系统的构成1 状态反馈控制系统状态反馈控制系统0 p

3、 np其中： 为矩阵， 为 维列向量： 调节问题跟踪问题为确定性的时间向量函数 恒值控制为常值向量K 控制作用是状态负反馈。被控对象（或开环系统）： 这时系统矩阵由A变为(A-BK)，系统的极点由 的根变为 的根。系统的n个极点通过K的变化而变化，从而影响系统状态的运动形式 。() xABK xBvyCx这时状态反馈系统（闭环系统）的动态方程为：det()0s IABKdet()0s IA一个好的状态反馈系统应是极点可以任意配置的。对于n个任意指定的期望极点 可以得到闭环系统特征多项式： 二、极点任意配置的条件二、极点任意配置的条件 定理：一个线性定常系统可通过状态反馈控制任意配置它的全部极点

4、的充要条件是系统完全能控。证明： 充分性。设系统能控，则必存在 将原系统化为能控标准形，即xPx仅就单输入单输出的情况进行讨论。011010101nuuaaa x = Ax+bx+(1,2, )iin *1*1101( )()nnninisssasa sau kxkPxkx引入状态反馈： 设状态反馈行向量取值为： 011001111 nnnkkkaaaaaakkP得闭环系统的状态方程为： 001111011011()0100 ( )10011010101 nnnnuaaaaaauaaauaaa x = A bk x+bx+ x+对应的闭环系统特征多项式为： 1*110det()det() (

5、)nnnsssasa sasIA bkIA bk 与任意指定的n个期望极点所对应的闭环系统特征多项式一致，即按上面式子取状态反馈行向量总能使闭环系统的n个极点位于任意指定的位置上。 所以，只要开环系统能控，总存在状态反馈控制可以任意地配置闭环系统的全部极点。充分性得证。 必要性。（反证法）设系统不能控，必能通过非奇异变换 进行按能控性分解： xPx1200 uycccccccccccxxAAbxxAxxccx引入状态反馈： 12u ccxkxkpxkkx 得闭环系统的系统矩阵为： 12112212000cccccccAAbAb kAb kAbkkkAA相应的闭环系统特征多项式为：11221de

6、t()det() detdet() det()0sssssscccccccIAbkIAbkIAb kAb kIAb kIAIA状态反馈能改变系统能控部分的极点： 1det()0 s 的根。ccIAb kdet()0 s 的根。cIA 不能改变系统不能控部分的极点：所以，要通过状态反馈控制配置系统全部极点，必须是系统能控。 （4）由 ，解n个联立的代数方程，得到（3）由闭环系统的动态方程写出闭环系统的特征多项式 ：（2）由给定的期望闭环极点组 ，写出期望的特征多项式 ：三、单输入系统极点配置算法三、单输入系统极点配置算法*(1,2, )iin( )S 求取状态反馈向量k，使闭环系统的极点位于期望

7、位置上（具体位置由所要求的系统性能决定）。下面给出3种方法。*( ) s1方法一（解联立方程）：（1）判断被控对象的能控性 ； *1*1101( )()nnninisssasa sa011( )det()( ,)nsss k kkIAbk*( )( )ssn011, ,nk kk*12,3000116000112021uj ，期望极点为 ，求状态反馈向量 。xxk 例例5 51 1解解：首先由能控性矩阵判断系统的能控性：100016 0012系统能控。cQb Ab A b由给定的期望闭环极点组，写出期望的闭环特征多项式 ：*( ) s3*12( )()464iissssssss3（ +2)(

8、+1-j)( +1+j) =由闭环系统的动态方程写出闭环特征多项式 ：( ) s01201232001012000001( )det()det( 001600 )0001120det160(18)(72 18)(7212)0112 sssskkksskkkssk skk skkks IAbk*3232001012( )( ) (18)(72 18)(7212)464sssk skk skkksss由有得联立方程：00101218472 18672124kkkkkk01214 186 1220kkk得：可画出状态反馈控制系统的状态变量图：即状态反馈向量为： 141861220k =2方法二（利用

9、能控规范型求）： 由上面证明过程可知，先变换为能控规范型给求解状态反馈行向量带来方便，其具体步骤是：（1）同样要先判断被控对象的能控性 ； （2）求得开环系统的特征多项式：1110detnnnssasa saIA（3）由给定的期望极点组求得期望的特征多项式 ：*1*1101( )()nnninisssasa sa（4）按被控对象是能控规范型形式求得新状态空间中的状态反馈行向量： 011001111 nnnkkkaaaaaak（5）求取将原系统化为能控规范型的变换矩阵P； （6）由 求得状态反馈行向量P。 1k = kP( , ) ( , ) x PxA bA b极点配置1k=kPk011001

10、111 nnnkkkaaaaaakkP能控标准型可图示如下：上例：*12,3000116002101120uj ，求 。xxk21001016001（），能控cQbAbA b*321233( )()()()464sssssss（ ）3200( )det()det16018720112ssssssss(2)IA *0120011224 406724 1846614kkkaaaaaa（ ）k解：解：11721816466141210100001 466140112141861220118144 （ ）k = kP结果与方法1一样。1222110072181721815100161810121010

11、0001100100aaa（ ）PbAbA b3方法三（艾克曼公式）：由给定的期望极点组，可得期望的特征多项式 ：*1*1101( )()nnninisssasa sa闭环系统的系统矩阵为： ， kAAbk它的各次幂为： 0kAI1kAAbk22()()kkAAbkAbkAAbkbkA32322()()kkkkAAbkAAbkbkAAA bkAbkAbkA121 nnnnnkkkAAAbkAbkAbkA*0 a*1 a*2 a*3 a* na）*()( )kcAAQ M式中：*1*110()()()nnkknkkaaaAAAA*1*110( )nnnaaaAAAA0（凯莱哈密顿定理） *(1)

12、na 21ncQbAbA bAb1*2*112*3*123*4*13*1nnknknnknknnknkknaaaaaaakAkAkkAkAkkAkAkMkAkk能控性矩阵 注意到所求的状态反馈行向量k是 维矩阵M的最后一行，所以有 ： n n1*001001( )ck =MQA1*( )cMQA如果记 为 的最后一行，并有 ，上式可写为 ：cq得：1cQ*1*110( )nnnaaaAAAA*0( ) (1)nicicniaak = qAq A上式为艾克曼公式，利用它求解k的步骤： （1）判别被控对象的能控性； （2）求出能控性矩阵的逆阵 ，并取其最后一行 ； cq1cQ（3）由给定的期望极点

13、组，求得期望的特征多项式 ：*1*1101( )()nnninisssasa sa（4）利用艾克曼公式求得状态反馈行向量： *0( ) (1)nicicniaak = qAq A*12,3000116002101120uj ，求 。xxk上例：上例：解：解：21001016001（），能控cQbAbA b11100100016016001001cQ（2）求得：001cq（3） 3*321( )()211464iissssjsjsss （)()()（4） *0*1*2*3012323000000000 4 0 0 16 0 0 1 1604 0 0 1 1600 0 1 160011201120

14、112 0 0 40 672472 57618 252172814 1861220 ccccaaaa k=q Aq Aq Aq A结果与前面的方法一样。四、多输入系统极点配置算法四、多输入系统极点配置算法 多输入系统的状态反馈矩阵K是 维的，有 个元素可变，而系统只有n个极点需配置。所以极点配置计算较复杂，K不唯一。 pnpn本教材介绍了三种极点配置计算方法： 1化为单输入系统的极点配置算法； 2基于旺纳姆能控规范型的极点配置算法；3基于龙伯格能控规范型的极点配置算法； 五、关于极点配置的几点说明：五、关于极点配置的几点说明：（1）实现多输入系统极点配置的状态反馈矩阵K不是唯一的，满足闭环极点

15、期望值的K都是极点配置的正确值，但是其元素取值较小的矩阵K更具工程意义。 （2）在安排闭环极点位置时，既要考虑具有较大负实部的闭环极点，使过渡过程加快，也要考虑这将使所需的控制量幅值增大，导致系统响应的幅值增大。（3）闭环零点也会影响系统的动态特性。状态反馈控制在改变系统极点位置的同时，对系统零点位置的影响有下面二点结论：1）单输入单输出系统的状态反馈控制一般不改变系统的零点，除非配置的极点与零点相消（消去的极点对应了不能观的状态变量 ）。2）多输入多输出系统的状态反馈控制，传递函数矩阵各元的零点可能会改变。下面用例子说明。 10010102020 0 1 21000311ABC例例55 考虑

16、由如下系数矩阵决定的线性定常系统 为配置系统的极点，引入状态反馈矩阵： 61515030K试比较状态反馈控制前后的系统极点及零点。 解：解： 状态反馈控制前系统的传递函数矩阵为 1352(1)(3)3( )()2112ssssssssGCIAB系统极点为1，2，3。 状态反馈控制后闭环系统的传递函数矩阵为 21352127(2)(3)(1)(2)(3)( )()2(3)(3)(8)(2)(3)(1)(2)(3)kssssssssssssssssssGCIA+ BKB 系统极点为1，2，3。传递函数矩阵的大部分元的分子多项式发生了变化，表明对应的零点改变了。 （4）当被控系统不能控时，不能通过状

17、态反馈任意配置n个极点。但是，如果期望的n个极点中包含了所有不能控的极点时，仍然可以通过状态反馈实现对这样一组极点的配置。六、状态反馈对系统能控性和能观性的影响六、状态反馈对系统能控性和能观性的影响 （1）状态反馈不改变系统的能控性。 中 的各列可由 的各列线性组合表示， 的各列可由 的各列线性组合表示。依此类推， 的各列都可由 的各列线性组合表示。所以有 这是因为，开环系统的能控性矩阵为： 21ncQBABA BAB闭环系统的能控性矩阵为： 21()()()ncKQBABK BABKBABKBcKQ()ABK B2()ABKBBAB2BAB A B cKcrankrankQQcKQcQ（2）

18、状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如一个能控能观的单输入单输出系统，在状态反馈控制下,当配置的极点正好与不变的系统零点相消时，闭环系统不再是既能控又能观了，但系统的能控性没有改变，只有系统的能观性改变了。 例例56 分析下面系统在状态反馈控制下的能控、能观性 04u x+1200311 1uy xx=x解：解： 开环系统的能控性、能观性矩阵分别为 0213cQbAb1115ocQcA开环系统既能控又能观。 闭环系统的能控性、能观性矩阵分别为 02()11ckQbAbk b1 1()1 1okcQc Abk闭环系统能控不能观。 闭环系统的传递函数为11( )()(1)(1)ksgsssscIA

19、bkb =出现了零极点相消现象，消掉的极点（1）对应的状态变量不能观。 2 、 输出反馈控制系统输出反馈控制系统 将输出量通过反馈矩阵引入到系统输入端的一种控制形式。输出量通常总是可以量测的，所以优点在于它的物理实现性 。一、输出反馈控制系统的构成一、输出反馈控制系统的构成 取系统的控制量为： uHy p qp为矩阵， 为 维列向量H 闭环系统的状态空间表达式为： () xABHC xByCx 二、输出反馈控制系统的极点配置二、输出反馈控制系统的极点配置 输出反馈控制是否与状态反馈控制一样能够实现系统极点的任意配置呢？回答是否定的。 首先看一下二者是否等价，若等价则必须有： KHC已知H必可求

20、K，即状态反馈可以替代任何输出反馈。 但是，一般情况下已知K 不能求出H，即输出反馈不能替代状态反馈。 有如下结论：输出反馈控制一般不能任意配置系统的全部极点。 说明：（以单输入单输出系统为例说明）闭环系统的传递函数为：1( )()sshhGcIAb cbpqpnqn( )det()hssh其中特征多项式为： IAb c1 ()()()shssh注意到： IAb cIA IIAb c2112 det( )( )det( )( )ssss应用关系式：IGGIGG1( )det() 1()hsshsIAcIAb可得：111det() ()det() () 1()(1 1shhsh s ）IIAbc

21、IcIAbc IAb 有： det()( ) ( )( )0ssss（为开环极点）记：为开环系统特征多项式IA1( )() ( ) ( )0 ssss开环系统的传递函数）（开环零点）有：为开环系统的零点c IAb( ) ( )( ) 1( )( ) ( )hssshshss 所以闭环特征多项式可写为：h变化时系统的闭环极点如何变化，能否任意变化？( )( )( )0 hsshs闭环极点是方程 的根。 由经典控制理论的根轨迹法，上式是根轨迹的基本方程式。可见，当输出反馈矩阵（这里是标量h ）变化时，系统的闭环极点只能在以开环极点为“始点”以开环零点或无穷远处为“终点”的一组有限的线段（根轨迹）上

22、变化，而不能落在这些线段以外的位置上。 从输出方程也可看出，输出反馈是将状态变量按一定规则组合以后的反馈控制，它减小了状态反馈的自由度。因此可以说，输出反馈是系统结构信息的不完全反馈，对应地，状态反馈是系统结构信息的完全反馈。 对于n维能控能观系统，如果 则可对 个闭环极点实现“任意接近”地配置。rankBprankCq， 如要对全部极点实现任意配置，可以在引入上述输出反馈的同时，引入附加的串联补偿器。或者采用并联补偿器替代输出反馈。当然补偿器的引入会提高系统的阶次 。min( ,1)n pq 输出反馈系统的极点配置问题曾经是控制理论的研究热点，其中得到一些可供我们参考的结论： 三、输出反馈对

23、系统能控性和能观性的影响三、输出反馈对系统能控性和能观性的影响（1）输出反馈不改变系统的能控性。 将输出反馈视为特定的状态反馈，而状态反馈是不改变系统能控性的。 （2）输出反馈不改变系统的能观性。开环系统的能观性矩阵： 闭环系统的能观性矩阵 ：21onCCAQCACA21()()()oHnCC ABHCQC ABHCC ABHC 的各行可由 的各行线性组合表示， 的各行可由 的各行线性组合表示。依此类推， 的各行都可由 的各行线性组合表示。所以有： ()C ABHCTTTTCA C2()C ABHC2()TTTTTTCA C AC oHorankrankQQoHQoQ3 系统镇定问题系统镇定问

24、题 对于线性定常系统，如果可以找到状态反馈（或输出反馈）使闭环系统渐近稳定，则称系统是状态反馈（或输出反馈）可镇定的。 从系统极点的角度看，系统镇定就是通过状态反馈（或输出反馈）使闭环系统的全部极点都具有负实部，所以系统镇定的目标是通过状态反馈（或输出反馈）将系统的全部极点分布在左半开s平面，而不必配置在具体指定的位置上，因此系统的镇定问题实际上是极点配置的一种特殊情况。一、状态反馈镇定一、状态反馈镇定 通过设计合适的状态反馈矩阵K，使闭环系统的全部极点都具有负实部。 1. 状态反馈可镇定条件结论：线性定常连续系统状态反馈可镇定的充要条件是系统的不能控部分渐近稳定。 因为,对于不完全能控的系统

25、 ，必存在非奇异变换 将其按能控性分解为：xPx()A B CA B C,1200 cccccccccccxxBAAxuxAxxyCCx新状态空间有状态反馈矩阵: 12KKPKK所以有: 11221det()det()det0 det() det()sssssscccccccIAB KAB KIABKIABKIAIAB KIA由子系统 能控，必存在 使 的根具有负实部，但不能控子系统的极点不受状态反馈控制的影响。因此，当且仅当系统的不能控部分是渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。 (,)ccccA B C 1K1det()0s ccIAB K 把原系统 经非奇异变换 按能控性分解，得出能控子系

26、统 和不能控子系统，判别可镇定性。并求出 。 2、状态反馈镇定算法 目的是通过状态反馈控制将位于右半闭s平面上的极点调整到左半开s平面。严密的算法应该是：(,)cccA BxPx 对能控子系统进行非奇异变换 ，化为特征值规范型，即得: ()A B CA B C,1P 当被控系统能控时，系统的全部极点都能在状态反馈控制作用下实现任意配置，当然能保证闭环极点都具有负实部。可见，系统能控是状态反馈可镇定的充分条件。 ccxQx11112200，ccccBAAQ A QBQ BAB其中： 为 阵，且全部特征值都大于等于0（右半闭s平面）。 为 阵，且全部特征值都小于 0 （左半开s平面）。11nn22

27、nn并求出变换阵 。 利用极点配置算法，求出 维反馈矩阵 使 的特征值均具有负实部（位于左半开s平面）。1np1K111() AB K 通过反变换求出原系统的状态反馈阵：1110KKQ P1A2A1Q例例57: 通过状态反馈镇定如下系统100102010050u x =x + 解解:（1）由能控性的对角线规范型判据可知系统不能控，且状态方程已经具有按能控性分解的形式，所以容易写出能控子系统的状态方程，即: 101021uu cccccxA xbx（2）能控子系统已经是对角阵（相当于 ），且2个极点为：1、2；Q = I 不能控部分的特征值为5，不能控部分渐近稳定，故系统是状态反馈可镇定的。 P

28、 = I（3）为保证系统渐近稳定，设期望的系统极点为：1,222sj *2( )(22)(22)48ssjsjss期望的特征多项式为： 容易验证，在k-13 20 0的状态反馈控制作用下，系统的极点由原来位于1，2，-5变为 -2+j2，-2-j2，-5的位置，实现了系统镇定。而根据闭环系统状态方程得出的特征多项式为： 1121221212120101( )det()det()00211 det(3)(22)2ssskksskkskkskkksk ccIAb k12 ( )( ) 13,20 sskk 由解得： （4）由于没有经过 P 和Q的非奇异变换（相当于PI,QI），所以 有： 1013

29、200 kk 上述状态镇定计算过程较复杂，特别是第2步化为特征值规范型。通常可以采用下列算法： 判别系统的能控性，若能控转去，若不能控则下一步； 把原系统经非奇异变换 按能控性分解，得出能控子系统 和不能控子系统，判别可镇定性。并求出 。 xPx(,)cccA B 1P若系统是状态反馈可镇定的，则对能控子系统任意指定个数对应于能控子系统维数的位于左半开S平面的期望极点，并按状态反馈极点配置算法求出状态反馈矩阵 ；1K 通过反变换求出原状态空间的状态反馈矩阵：110KKP 若系统能控，任意指定 n 个位于左半开S平面的期望极点，并按状态反馈极点配置算法求出状态反馈矩阵K。是指被控对象在输出反馈

30、作用下，通过设计合适的输出反馈矩阵H，使闭环系统 的全部极点都具有负实部。 结论：线性定常系统输出反馈可镇定的充要条件是其能控不能观、不能控能观和不能控不能观三部分都是渐近稳定的，并且其能控能观部分是可按镇定配置极点的。 二、输出反馈镇定二、输出反馈镇定 uHy (,)HABHC B C 1输出反馈可镇定条件 这是因为：根据线性系统结构分解理论，一个不能控不能观的系统可分解为规范形式，其各系数矩阵为： 13212324430000000cocococoAAAAAAAAAA00cocoBBB00cocoCCC引入输出反馈矩阵 ，在新状态空间中闭环系统的系统矩阵为： H13212324430000

31、000cocococococococococococoAB HCAB HCAB HCAAB HCAABHCAAA非奇异变换不改变系统的特征多项式，故有： 1321232443det()det()00 det00000 det() det() det()ssssssssscococococococococococococococococoIABHCIABHCIAB HCAB HCAB HCIAAB HCAIAAIAIAB HCIAIAdet()scoIA 表明，引入输出反馈 ，只影响既能控又能观子系统的特征值（ 的根），而不影响能控不能观子系统、不能控能观子系统、不能控不能观子系统的特征值分布。

32、所以，当且仅当系统的能控不能观、不能控能观、不能控不能观三部分所有的极点都已具有负实部，而且能控能观部分可以通过设计输出反馈矩阵 使 的所有根具有负实部，闭环系统才能渐近稳定。 Hdet()0s cococoIAB HCHdet()0s cococoIAB HC2输出反馈镇定计算可参照状态反馈极点配置算法进行。 例例58 分析各系数矩阵如下所示的系统的输出反馈可镇定性。005101013A201201B00 1c 解：解： 由系统的能控性、能观性判据，系统是既能控又能观的。因此，系统通过输出反馈可镇定的条件为整个系统是可按镇定配置极点的。 开环系统的特征多项式为：3205( )det()det

33、1135013ssssssss IA由劳斯判据，开环系统不是渐近稳定的。 设输出反馈矩阵为 ，闭环系统的系统矩阵为：12Thhh11122200520005210112001101201301013hhhhhh ABhc对应的闭环系统特征多项式为： 1122322121052( )det()det112013 (3)(12)(52 )shssshhshsh shh sh IA+ Bhc由劳斯判据，得出闭环系统渐近稳定的h 取值范围为 ： 15 2h 23h 1221hh 即 在上述范围内取值，系统是输出反馈可镇定的。例如取值: 12Thhh13h 22h 有对应的闭环特征多项式： 32( )2

34、1ssss对应的三个闭环极点分别为： 0.570.221.3j实现了输出反馈镇定。 4 跟踪控制与扰动抑制问题跟踪控制与扰动抑制问题 控制目标是保证系统的输出量无静差地跟踪外部给定的参考信号，同时还要抑制外部扰动信号对系统性能的影响。 一、问题的描述一、问题的描述ww xAxBuB wyCxDuD wnpqq维状态向量维控制向量维输出向量维持续性扰动向量xuyw是由外界加予原系统的装置扰动，wB wwD w是测量输出量时产生的测量扰动。 并设系统能控且能观。并令系统输出y跟踪外部给定参考信号 ，跟踪误差为: ryreyy 若 和 都不为0，寻求控制作用u使系统的跟踪误差满足:结构框图为： ry

35、wlim ( )lim( )( )0rttttteyy称为具有扰动抑制的渐近跟踪问题（或抗扰动跟踪问题）。 当然还要保证系统稳定且具有满意的动态性能。 二、具有扰动抑制的渐近跟踪控制系统二、具有扰动抑制的渐近跟踪控制系统1控制系统的构成ry1uy 伺服补偿器镇定补偿器受控系统u2uex 控制作用由二部分组成： 状态反馈控制，使系统稳定和具有满意的动态性能； 由“伺服补偿器”产生，实现跟踪控制和扰动抑制。 1u2u2伺服补偿器模型ccccccc xA xB eyK x动态补偿器，可表示为： 即2u 根据内模控制原理，为了实现无静差控制和扰动抑制，伺服补偿器中必需“植入”外部给定参考信号 和外部扰

36、动信号 的模型。由于上述信号中稳定的部分 时趋于0，所以仅需“植入”它们的不稳定部分。设 和 的特征多项式中不稳定部分的最小公倍式为：( )rty( ) twt ( )rty( ) tw1110( )lllsssscA cB 则伺服补偿器模型的系数矩阵可表示为： 0121010000100001l qlql方阵其中1l矩阵qlq其中001 l l具有能控规范型形式，是状态完全能控的。 3实现跟踪控制和扰动抑制的条件 综合受控系统和伺服补偿器 ，得出具有扰动抑制的渐近跟踪系统的状态方程式为： 00wrccccccwcxAxBBuwyxB CAxB DB DB控制作用u为： 12ccxu = u

37、+ u =KKx1 uKx2ccuK x其中：为原控制对象的状态反馈控制；为伺服补偿控制；u实际上就是具有扰动抑制的渐近跟踪系统的状态反馈控制。 关于扰动抑制渐近跟踪控制有如下结论：存在如上的状态反馈控制作用使系统实现抗扰动渐近跟踪的充分条件是： （1） dim( )dim( )uy（2）对 和 共同不稳定部分 的每个根 都有： ( )rty( ) tw1110( )lllssssiiranknqIABCD结论的证明分二步进行：（1）证明上述两个条件是系统能控的充要条件。00wrccccccwcxAxBBuwyxB CAxB DB DB（2）上述两个条件是上面系统状态反馈可镇定的充分条件。进一

38、步则可证明它们是使原系统实现抗扰动渐近跟踪的充分条件。4实现跟踪控制和扰动抑制的算法实现跟踪控制和扰动抑制的计算步骤为： （1）判别条件 ，若满足则进入下一步； dim( )dim( )uy（2）判别受控系统的能控性，若能控则进入下一步； （3）取 和 的特征多项式中不稳定部分的最小公倍式，得出 ：( )rty( ) tw1110( )lllssss并按上面形式确定出伺服补偿器模型的参数 和 ； cAcB（4）求出 的根 ，并对每个根判别 ( ) si1,2,il（）iranknqIABCD若成立则进入下一步； （5）写出具有扰动抑制的渐近跟踪系统的状态方程式： 00wrccccccwcxAx

39、BBuwyxB CAxB DB DB（6）按要求动态性能，指定 个期望闭环极点 ()nql(1,2,)iinql（7）根据极点配置算法求出 ；cK =KK得镇定补偿器为： 1 uKx伺服补偿器为： 2cccccc xA xB euK x（3）由于 和w都是单位阶跃函数，其特征多项式都为s ，且为不稳定的，所以它们不稳定部分的最小公倍式为 ： 例例59 给定线性定常系统为01000000101400010000110161000uwy x =x+x其中扰动信号w是单位阶跃函数 确定使系统对单位阶跃参考信号渐近跟踪和对扰动实现抑制的镇定补偿器与伺服补偿器。 解解: 按题意，被控对象具有装置扰动而不

40、存在测量扰动，且有： 4n 1p 1q （1）有 ，满足判别条件1； dim( )dim( )1uy（2）容易判定受控系统是能控的； ry( ) ss并可确定出伺服补偿器的模型为： 0cccccxxeyk x（4）对于 的根 ，有 ( )0ss00100000101000105000110110000rankrankranknqIAbAbcDc满足判别条件2。所以，系统能实现抗扰动渐近跟踪控制。 （5）写出具有扰动抑制的渐近跟踪系统状态方程式为： 即：0cA 1cb 00010000000010014000010000 00110016010000001wrccccccwccuwyxbAxb

41、db dbuwx xAxbbcxry（6）设5个期望闭环极点为： 11 21 3,41j 52 （7）对应的闭环特征多项式为： 25432( )(1) (1)(1)(2)61520144sssj sj ssssss 而对具有扰动抑制的渐近跟踪系统的状态反馈控制： 1234ccccukkkkkkxx xx=k对应的闭环系统的系统矩阵为： 123412340100010000100001110000ccckkcccckkkkkkkbbkkkkk AAbkbbAkcc对应的特征多项式为： 5432241321( )det()()(11)(10)1010ckkccssskk skkskk sk skI

42、A由 ，解得： ( )( )ss11.4k 22.04k 327.4k 48.04k 0.4ck 所以，镇定补偿器为： 11.42.0427.48.04u x伺服补偿器为： 2010.4cccccxxeeuk xx 控制系统状态变量图为： 伺服补偿器的控制作用 能消除外部参考信号和扰动信号为阶跃信号时的静态误差，这正是在伺服补偿器中 “植入”了它们的共同不稳定部分，即内模控制的结果。 2cukedt三、具有输入变换的跟踪控制三、具有输入变换的跟踪控制 当外部参考信号为定值，并仅以消除输出量对外部参考信号的静态误差为目标，还可以在状态反馈控制的基础上加上输入变换来达到。 1系统结构取系统的控制量

43、为: uKxL 为q维定值参考输入向量 L为 维输入变换矩阵 qp控制量由两部分组成： ( )( )xtt uKx状态量负反馈 ( ) tuL输入量变换 假设了 ，和 的逆阵存在要求 ，得：2输入变换矩阵L的确定当系统稳态运行时，原系统有：（下标表示稳态值） xAxBuyCx因为 ，故有： 0 x0AxBux uuuKxL 又：1()xBKABL 得：假设了 的逆阵存在 ()BKA1()yCxC BKABL y 11 ()LC BKABpq1()C BKABL还与状态反馈矩阵K有关，应先确定状态反馈矩阵 K。 3系统的动态调节：( )( )xxttuuuuu( )( )( )xttt uuKx

44、控制作用仅为状态反馈控制。 ( ) tx xx( )xxxtuuuu不变( ) tuuu例例510 给定线性定常系统为 0100000101000100011011000uy x =x+x 确定使系统输出对单位阶跃参考信号实现跟踪控制的具有输入变换的状态反馈控制系统。 解解：（：（1）先按极点配置算法设计状态反馈控制。 系统能控。并设期望的闭环极点为： 11 21 3,41j 则期望的闭环特征多项式为： 2432( )(1) (1)(1)4762sssj sjssss 状态反馈控制系统的系统矩阵为： 12341234123401000100010010100010001011001101kkk

45、kkkkkkkkk Abk对应的特征多项式为：432241321( )det()()(11)1010ssskkskksk skIAbk( )( )ss由 ，解得： 10.2k 20.6k 318.2k 44.6k （2）因为系统为单输入单输出，由上面式子式求得输入变换系数为： 110.2()l c bkAb可画出具有输入变换的跟踪控制系统为： 5 解耦控制问题解耦控制问题一、问题的描述一、问题的描述 xAxBuyCx可以得出系统输入到输出的传递关系式： 1112121222112( )( )( )( )( )( )( )()( )( )( )ppqqqpgsgsgsgsgsgsssgsgsgs

46、GCIAB =1122 ( )( )( )( )( )( )( )iiiippy sgs u sgs usgs us即：1,2,iq每一个输入量会影响多个输出量，每一个输出量受到多个输入量的作用。 解耦控制的目标是在合适的控制量u作用下，使递函数矩阵为一对角阵: 1122( )000( )0( )00( )ppgsgssgsG则有：( )( ) ( )iiiiy sgs u spq( )0(1,2, )iigsip每一个输入量仅影响一个输出量，每一个输出量只受到一个输入量作用。 二、串联补偿解耦二、串联补偿解耦频域综合方法。结构框图： 寻求合适的串联补偿器 ，使闭环系统传递函数矩阵为对角阵。

47、( )csG由第一章，闭环系统的传递函数矩阵为： 1( )( )( )( )( )pcpcsssssIGGGG ( )( )( )( )( )pcpcsssssIGGGG ( )( )( )( )pcssssGGI 11( )( )( )( )cpssssGGI ( )psG( )sI 的逆阵存在 1( )( )( )( )pcssssGGI 的逆阵存在前向通道传递函数矩阵 必须为对角阵。 ( )( )( )fpcsssGGG例例511 已知受控对象的 传递函数矩阵为： 1021( )111psss G设计一串联补偿器 ，使闭环系统的传递函数矩阵为： ( )csG101( )1051sss 解

48、：解： 111100011( )( )( )( cssssssssssssGGI1112211100021( )( )( )( )11231110155cpsssssssssssssssGGI串联补偿解耦系统方框图： 串联补偿解耦增加了系统的维数，而且补偿器的某些元传递函数会出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次现象，带来工程实现困难及增加外部扰动作用等问题。三、状态反馈动态解耦三、状态反馈动态解耦（一）状态反馈解耦问题（一）状态反馈解耦问题时域综合方法，控制采用状态反馈与输入变换相结合的方案，即 ： uKxLv解耦控制系统结构图为： 解耦控制系统的状态空间表达式为：

49、() xABK xBLvyCx寻求合适的矩阵对 ，使闭环传递函数矩阵为： K,L111( )( )()( )kLppgsssgsGCIA+ BKBL =还有两个限制条件： rankrankpBCpq( )0iigs det0L（二）可解耦条件（二）可解耦条件1 阶积分逆系统解耦： 对于 ，最简单的解耦设想是在被控对象前串联 ，则串联后系统的传递函数矩阵为单位阵 。但是逆系统 通常是物理上不可实现的，所以这种解耦设想实际上行不通。 ( ) sG1( ) sGpI1( ) sG 按此思路，如果 的逆系统存在，前面串联一个补偿器 ，使系统的传递函数矩阵为: ( ) sG( ) sG1211( )(

50、)1psssssGG 补偿器 称为系统的 阶积分逆系统，这种解耦形式称为 阶积分逆系统解耦。结构图为： ( ) sG2基于状态反馈和输入变换的 阶积分解耦 即解耦后输入 和输出y之间满足: ()( )( )iiityt1,2,ip向量形式为：1()1()()ppyy y=表示 是使 的最小k值，有 。2iiiiy c Ax = c A x+ c ABu如果 ,上式显含u,则令对应的 ,并停止求导运算；否则继续进行求导，直至 为止。这时为: 0ic AB2i10iic AB()1iiiiiiy c A x+ c ABu上面的求导运算过程可以得出p个常数 ，它们被称为解耦阶常数。其定义为: imi

51、n0iikk-1c AB1,2,ipi0ik-1c AB1kn如果 ，上式显含u ，则令对应的 ，并停止求导运算；否则 0ic B1iiiiiy c x = c Ax+c Buiiy c x1,2,ip受控系统的输出方程可写为: 其中：11ppc AF =c A1111ppc ABE =c ABpnpp可解耦性矩阵 结论：线性定常系统能通过状态反馈和输入变换实现解耦的充要条件是系统的可解耦性矩阵E非奇异。 111()1111( )()1ppppppyyc Ac ABy=x+u=Fx+Euc Ac AB于是有向量形式： （1）解耦阶常数 是传递函数矩阵G(s)的第i个行向量 各元素阶差（分母多项

52、式与分子多项式s最高阶次的差值）的最小值。 因为上面已表示，解耦后系统的输入和输出满足关系： () y 可见，当且仅当系统的可解耦性矩阵E非奇异，系统能实现解耦。 可求得这时的控制量 的矩阵对 为： uKxLvK,L1K = E F1L = E而 表示为：()y= Fx+ Eu()y3解耦阶常数的性质：( )isg这是因为： 121230111kkksssssAIAI +A+A1223111( )()iiiiisssssgcIAB =c B+c AB+c A Bi10 0 ikiikk=c AB而：min0iikk-1c AB11201111111( )()11 iiiiiiiiiiiiiii

53、issssssssgc B+c AB+c ABc A B+c AB+c A B结论成立。解耦阶常数的取值范围应为：1in（2） 1lim( )iiiiisssec AB =g由上式1peE =e所以E可写为：（3）闭环系统的解耦阶常数 及对应的行向量 为： iieiiiiee L（三）（三） 阶积分解耦算法阶积分解耦算法（1）计算受控系统的解耦阶常数 及其对应的行向量 。有二种算法： iie1）给出空间表达式： min0iikk-1c AB1iiiec AB2）给出传递函数矩阵： i( )isg是G(s) 第i个行向量 各元素阶差的最小值;lim( )iiissseg（2）构造可解耦性矩阵E，

54、若非奇异则进入下一步。 12peeE =e（3）按 ， 确定控制律 ， 其中： 1K = E F1L = E uKxLv1212ppc Ac AF =c A（4）得出实现 阶积分解耦的闭环系统： () xABK xBLvyCx其闭环传递函数矩阵为： 1211( )1pKLssssG例例512 求出将下面系统实现 阶积分解耦的矩阵对 。 K,L01000030021000010002000110000010 xxuyx解：解：（1）给出状态空间表达式，所以按1）计算 和 ： iie100101000000001c B1010000003002101010000100100001000002000

55、101c AB122200100010000001010000003002101000100001010001000002000101c Bc AB221111110ec ABc AB2122201ec ABc AB（2）系统的可解耦性矩阵为： 121001eE =e非奇异，系统满足可解耦条件。 （3）求得F为： 1221122230020200c Ac AFc Ac A130020200K = E F =11001L = E得：（4）闭环系统的各系数矩阵分别为：10100000100300210103002000000010001020000010200010000ABE F10010000

56、1BLBE10000010C实现了 、 的 阶积分解耦。 闭环系统的传递函数矩阵为： 12121000010100000010( )()0010001001000001KLssssssssGCIABKBL =1222（四）具有期望闭环极点的动态解耦（四）具有期望闭环极点的动态解耦 阶积分解耦，所得解耦系统的每个子系统都由多重积分器组成，显然不能满足系统的动态要求。输出的频域表达式为： 如果对第i个子系统提出极点配置要求，其期望的 个极点为 ，对应的特征多项式为: i*(1,2,)ijij1*(1)101( )()iiiiiijiiijsssss1( )( )iiiy sss则输出的频域表达式应

57、为: 1*(1)1011( )( )( )( )iiiiiiiiiiy sssssss()(1)*(1)10( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiitytyty ty t时域式子：按照上面对 的求导过程，把 、 、 、 、 代入上式，得： iy()iiy(1)iiyiy iy11*(1)10iiiiiiiiiiiiic A xc Axc Axc x+c ABu仍按上面式子将p个参考输入分量写成向量形式，即: Fx+ Eu 显然这时F矩阵变为: 1111*11(1) 111 110 111*1*(1)10( ) ( )ppppppppppppc Ac Ac AccAF =cAc Ac

58、 Ac Ac 与上面的讨论类似，当系统的可解耦性矩阵E非奇异，则取状态反馈 和输入变换 ，在控制 作用下，系统实现了 阶极点配置的解耦。 可解耦性矩阵E仍为： 11111pppc ABeE =ec AB1K = E F1L = E uKxLv注意点: （1）实现 阶极点配置的解耦，使闭环系统能正常运行并具有良好的动态性能，受控系统为能控仍是需要的。 （2）实现 阶极点配置的解耦算法除了体现分配给各个子系统的期望极点的F矩阵，其它计算与无极点配置的 阶积分解耦一样。 例例513 求出将例512所示系统实现 阶极点配置解耦的矩阵对 ，要求闭环系统极点位于 ：*12 *24 K,L3,42j 解：解

59、： 例512中第（1）、（2）步已求得 121001eE =e并根据其非奇异判定系统能实现解耦控制。并能判定系统能控。 （3）将期望极点 ， 安排给子系统1， 安排给子系统2，则有： *12 *24 3,42j *21( )(2)(4)68sssss*22( )(2)(2)45ssj sjss求得对应的： *2111602187012( )68028661204AAAI =*22840212408( )4502546801AAAI =于是得： *11*2211602( )0254( )cAF =cA1116020254K = E F进一步求得：11001L = E（4）闭环系统的各系数矩阵分别

60、为：101000001003002101011602860000010001025400010200010054ABKABE F100100001BLBE10000010C闭环系统的传递函数矩阵为： 1122( )()1000010100086001068 0010001001045005401KLssssssssss GCIABKBL=显然实现了极点位于期望位置的 阶极点配置解耦。 四、状态反馈静态解耦四、状态反馈静态解耦 上面讨论的动态解耦，解耦系统完全按独立的子系统运行，但是这种解耦对系统模型的依赖性很强。从工程需求角度提出的静态解耦对模型误差和参数摄动的敏感性要小得多。 1静态解耦问题