关于总体平均数的推断

1、关于总体平均数的推断统计关于总体平均数的推断统计样本平均数的抽样分布样本平均数的抽样分布 需考虑的问题：需考虑的问题： 总体方差总体方差2是否已知；是否已知； 总体是否正态分布；总体是否正态分布； 样本为大样本还是小样本。样本为大样本还是小样本。 五个定理，五句话：五个定理，五句话： 样本平均数的平均数，样本平均数的标准差样本平均数的平均数，样本平均数的标准差 总体正态，方差已知（未知）总体正态，方差已知（未知） 总体非正态，方差已知（未知）总体非正态，方差已知（未知）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布正态总体、正态总体、 2已知时已知时XXE)(nXDX22)(),(2nNX)1 , 0(

2、/2NnXZ例题（例题（P121） 某心理测验得分服从正态分布。总体平某心理测验得分服从正态分布。总体平均数为均数为100，标准差为，标准差为5。从该总体中抽。从该总体中抽取一个容量为取一个容量为25的随机样本，则该样本的随机样本，则该样本的样本平均数介于的样本平均数介于99-101的概率多大？的概率多大？ 该样本的样本平均数有该样本的样本平均数有95%的概率落在的概率落在什么区间？什么区间？样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布正态总体、正态总体、2未知时未知时1/ntnSXt1)(12nXXSniit 分布的特征分布的特征 t 分布与正态分布的相似之处：分布与正态分布的相似之处： t 分布基

3、线上的分布基线上的t值从值从； 从平均数等于从平均数等于0处，左侧处，左侧 t 值为负，右侧值为负，右侧 t 值为正；值为正； 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。 区别之处在于：区别之处在于： t 分布的形态随自由度（分布的形态随自由度（df=n-1）的变化呈一簇）的变化呈一簇分布形态（即自由度不同的分布形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同）。分布形态也不同）。 自由度逐渐增大时，自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。分布逐渐接近正态分布。例题（例题（P1

4、23） 某测验分数服从正态。总体均数为某测验分数服从正态。总体均数为100。从该总体中抽取一个容量为从该总体中抽取一个容量为16的简单随的简单随机样本，估计总体的标准差为机样本，估计总体的标准差为4。则估计。则估计其样本平均数有其样本平均数有95%的概率落在什么区的概率落在什么区间？间？样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布总体非正态时总体非正态时 总体非正态、总体方差已知时总体非正态、总体方差已知时大样本大样本时，样本均数近似服从时，样本均数近似服从正态分布正态分布 总体非正态、总体方差总体非正态、总体方差2未知时未知时当总体为非正态分布时，若总体方差未当总体为非正态分布时，若总体方差未知，样

5、本为知，样本为大样本大样本，可以利用，可以利用 t 分布分布或或正态分布正态分布近似求解；样本为近似求解；样本为小样本小样本时时无无解解。例题（例题（P124） 分数总体不服从正态。总体均数为分数总体不服从正态。总体均数为100。从该总体中随机抽取一个容量为从该总体中随机抽取一个容量为16的简的简单随机样本，估计总体标准差为单随机样本，估计总体标准差为4。试估。试估计总体平均数的分布？当容量为计总体平均数的分布？当容量为64时如时如何？此时样本平均数大于何？此时样本平均数大于102的概率？的概率？样本均值的抽样分布（小结）样本均值的抽样分布（小结）示意图示意图总体平均数的推断总体平均数的推断

6、总体平均数的参数估计总体平均数的参数估计 点估计点估计 区间估计区间估计 总体平均数的假设检验总体平均数的假设检验总体平均数的参数估计总体平均数的参数估计 点估计量的评价标准点估计量的评价标准 无偏性无偏性 有效性有效性 一致性一致性 充分性充分性 总体平均数与总体方差的点估计量总体平均数与总体方差的点估计量总体平均数的区间估计总体平均数的区间估计 总体正态，方差已知总体正态，方差已知 总体非正态，方差已知总体非正态，方差已知 总体正态，方差未知总体正态，方差未知 总体非正态，方差未知总体非正态，方差未知例题（例题（P143） 某技能测试，成绩服从正态。已知总体某技能测试，成绩服从正态。已知总

7、体标准差为标准差为5。从被测学生中随机抽取。从被测学生中随机抽取25人，人，平均成绩为平均成绩为80分。试估计全部学生平均分。试估计全部学生平均成绩的成绩的95%置信区间。置信区间。例题（例题（P144） 学生购书费用调查。已知总体标准差为学生购书费用调查。已知总体标准差为50元。元。 20名学生的平均费用为名学生的平均费用为300元。试元。试估计总体平均费用的估计总体平均费用的99%置信区间。置信区间。 400名学生？名学生？ 若总体标准差未知，估计总体标准差为若总体标准差未知，估计总体标准差为50时，如何？时，如何？例题例题 从一零售商店全年的帐目中随机抽取从一零售商店全年的帐目中随机抽取

8、25天的帐目，计算出这天的帐目，计算出这25天的平均零售额天的平均零售额为为780元，元，S为为100元。若已知该店的日零元。若已知该店的日零售额服从正态分布，全年的平均日零售售额服从正态分布，全年的平均日零售额为额为825元，问：随机抽取元，问：随机抽取25天帐目，其天帐目，其平均零售额不到平均零售额不到780元的概率是多少？元的概率是多少？例题例题 某总体总体均值为某总体总体均值为80，总体分布形式及，总体分布形式及方差未知。从该总体中抽取一容量为方差未知。从该总体中抽取一容量为64的样本，得出的样本，得出 S = 2。问当。问当 n = 64 时，样时，样本均值大于本均值大于80.5的概

9、率是多少？的概率是多少？总体均值的区间估计总体均值的区间估计待估待估参数参数已知条件已知条件 置信区间置信区间 备注备注 XN(,2)，或非，或非正态总体、大样本，正态总体、大样本，已知已知XN(,2)，或非，或非正态总体、大样本，正态总体、大样本，未知未知自由度自由度df=n-1nZX2nStX2例题例题 某种零件的长度服从正态分布。已知总某种零件的长度服从正态分布。已知总体标准差体标准差=1.5厘米。从总体中抽取厘米。从总体中抽取200个零件组成样本，测得它们的平均长度个零件组成样本，测得它们的平均长度为为8.8厘米。试估计在厘米。试估计在95%置信水平下，置信水平下，全部零件平均长度的置

10、信区间。全部零件平均长度的置信区间。 若样本容量为若样本容量为2000,置信区间如何变化置信区间如何变化?例题例题 为了制订高中生体锻标准，某区教育局为了制订高中生体锻标准，某区教育局在该区高中生中随机抽取在该区高中生中随机抽取36名男生测验名男生测验100米短跑成绩。结果这些男生的平均成米短跑成绩。结果这些男生的平均成绩为绩为13.0秒，秒，S为为1.2秒。试估计在秒。试估计在95%置置信水平下，全区高中生信水平下，全区高中生100米跑的平均成米跑的平均成绩。绩。总体平均数的假设检验总体平均数的假设检验 假设检验的思路假设检验的思路 两个假设两个假设 两种检验两种检验 两类错误两类错误 显著

11、性水平显著性水平两个假设两个假设 零假设（虚无假设）零假设（虚无假设） 研究假设（备择假设）研究假设（备择假设） 零假设包含等于；两者互为对立事件零假设包含等于；两者互为对立事件双侧检验与单侧检验双侧检验与单侧检验 双侧检验（双侧检验（two-tailed test，two-sided test）：零假设为无显著差异的情况；）：零假设为无显著差异的情况； 左侧检验（左侧检验（left-tailed test）：零假设为）：零假设为大于等于的情况；大于等于的情况； 右侧检验（右侧检验（right-tailed test） ：零假设：零假设为小于等于的情况。为小于等于的情况。两类错误两类错误 I类

12、错误：拒绝零假设所犯的错误类错误：拒绝零假设所犯的错误 类错误：接受零假设所犯的错误类错误：接受零假设所犯的错误 两类错误的关系：两类错误的关系：不同条件下所犯的错误，不可能同时发不同条件下所犯的错误，不可能同时发生，但两者概率之和不为其他条件生，但两者概率之和不为其他条件不变时，一个增大，另一个减小不变时，一个增大，另一个减小错误的概率错误的概率 若真实的总体平均数若真实的总体平均数0，拒绝区域，拒绝区域在左侧时在左侧时错误的概率错误的概率 错误的概率错误的概率 若真实的总体平均数若真实的总体平均数0，拒绝区域，拒绝区域(region for rejection)在双侧时在双侧时错误的错误的

13、概率概率错误的概率错误的概率 若真实的总体平均数若真实的总体平均数0，拒绝区域，拒绝区域在右侧时在右侧时错误的概率错误的概率 总体均值的假设检验总体均值的假设检验已知条件已知条件假设假设检验统计量检验统计量H0的拒绝域的拒绝域XN(,2)，或非正态或非正态总体、大总体、大样本，样本，已知已知H0:0H1:0|Z|Z/2 H0:0H1:0 ZZ H0:0H1:0 ZZ XN(,2)，或非正态或非正态总体、大总体、大样本，样本，未知未知 H0:0H1:0 自由度自由度df= n-1|t|t/2H0:0H1:0 ttH0:0H1:0 ttnXZ/0nSXt/0例题（例题（P168） 某小学采用实验教

14、材，一年后随机抽取某小学采用实验教材，一年后随机抽取10名学生，得到平均分为名学生，得到平均分为82。而过去使而过去使用旧教材的全体学生平均分为用旧教材的全体学生平均分为77，标准标准差为差为5。能否认为两者有显著差异？能否认为两者有显著差异？ 能否认为实验教材优于旧教材？能否认为实验教材优于旧教材？例题（例题（P169） 英语测验成绩偏态分布，平均分为英语测验成绩偏态分布，平均分为60分分，标准差为，标准差为6分。采用新教法后，随机抽分。采用新教法后，随机抽取取16人，平均分为人，平均分为65。能否认为平均成能否认为平均成绩有显著变化？抽取绩有显著变化？抽取36人呢？人呢？例题例题某车间生产

15、的铜丝的折断力服从正态某车间生产的铜丝的折断力服从正态分布，其平均折断力为分布，其平均折断力为570公斤，标准差公斤，标准差为为8公斤。公斤。现由于原料更换，虽然认为标准差不现由于原料更换，虽然认为标准差不会有什么变化，但不知道平均折断力是会有什么变化，但不知道平均折断力是否与原先一样。否与原先一样。从新生产的铜丝中抽取从新生产的铜丝中抽取16个样品，测个样品，测得其平均折断力为得其平均折断力为574公斤。公斤。问：能否认为平均折断力无显著变化？问：能否认为平均折断力无显著变化？例题例题 某区初三英语测验平均分数为某区初三英语测验平均分数为65，该区，该区某校某校25份试卷的平均分数和标准差分别份试卷的平均