通信原理新讲稿第3章--随机过程

1、13.1 随机过程基本概念3.2 平稳随机过程3.3 高斯随机过程3.4 平稳随机过程通过线性系统3.5 窄带随机过程3.6 正弦波加窄带高斯噪声3.7 高斯白噪声和带限白噪声 第第3章章 随机过程随机过程23.1 随机过程基本概念随机过程基本概念一、随机过程一、随机过程(t)的定义：的定义：l随机样本函数的总体；l不同时刻随机变量的集合。33.1 随机过程基本概念随机过程基本概念二、随机过程的分布函数l随机过程 (t)的一维分布函数：l随机过程 (t)的一维概率密度函数：)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf43.1 随机过程基本概念随机过程基本概念l随机过

2、程 (t)的二维分布函数：l随机过程 (t)的二维概率密度函数：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf53.1 随机过程基本概念随机过程基本概念随机过程 (t)的任意n维分布函数：随机过程 (t)的任意n维概率密度函数：nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，63.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、 随机过程的数字特征1、均值a (t )();()(1tadxtxfxtE

3、73.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、 随机过程的数字特征2、方差2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatE均方值均值平方83.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、 随机过程的数字特征3、相关函数4、协方差函数2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 93.2 平稳随机过程平稳随机过程一、定义、性质与特点：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无

4、关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。103.2 平稳随机过程平稳随机过程性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf113.2 平稳随机过程平稳随机过程数字特征：特点：（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。具有以上两个特点称为广义平稳随机过程广义平

5、稳随机过程。adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 123.2 平稳随机过程平稳随机过程二、各态历经性：设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），若2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)()(ETTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxt即：过程的数字特征（统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。133.2 平稳随机过程平稳随机过程例例3-1 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。解：(

6、1)先求(t)的统计平均值：数学期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac143.2 平稳随机过程平稳随机过程自相关函数20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc2)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(12122212121ttttEAtAtAEttEttRcccc153.2 平稳随机过程平稳随机过程 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。(2) 求(t)的时间平均值20122122212)(cos2)(cos2dttAttAcccA

7、cos22163.2 平稳随机过程平稳随机过程220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22173.2 平稳随机过程平稳随机过程比较统计平均与时间平均，可见：结论：随机相位余弦波是各态历经的。)()(,RRaa183.2 平稳随机过程平稳随机过程三、自相关函数：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：l (t)的平均功率l 的偶函数l R()的上界，即最大值。l (t)的直流功率l (t)的交流功率)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0

8、( RR)()0(2tER193.2 平稳随机过程平稳随机过程四、功率谱密度：定义：TfFmi lfPTT2)(E)()( fFT203.2 平稳随机过程平稳随机过程l功率谱密度的计算：维纳-辛钦关系自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。记为deRPj)()(dePRj)(21)(推论213.2 平稳随机过程平稳随机过程l对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：l各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。l功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有dffPR)()0(0)(fP)()(fPfP223.2 平稳随机过程平稳随机过程例例3-2求随机相位余弦波(t)

9、= Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。解：在例3-1中，已经求出(t)的相关函数为由维纳-辛钦关系，以及得到cAcos2)(R2)()(cosccc)()(2)(2ccAP233.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程一、定义若任意n维概率密度函数可表示为njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；则称该随机过程为高斯（正态）随机过程。式中243.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程B为归一化协方差矩阵的行列式，即 其中22)(),(kkkkkatEtEa11121221112nnn

10、nbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(253.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程二、重要性质1、 n维概率密度函数由数字特征确定；2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的；3、若不同时刻的取值是不相关的，则也是互相独立的；4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。263.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程三、高斯随机变量高斯过程在任一时刻上是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为221()( )exp22xaf x273.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程性质：lf (x)对称于直线

11、x = al la表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的正态分布。aadxxfdxxf21)()(283.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程计算：正态分布函数令 得221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(azt2() /2( )22121122xatF xedtxaerf293.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：当x 2时，22( )1( )txerfc xerf xedt 2211)(axerfcxF21( )xerfc xex30

12、3.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(313.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统1、输出过程o(t)的均值 由于设输入过程是平稳的 ，则有可见输出过程的均值是常数。dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE323.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统2、输出过程o(t) 的自相关函数

13、：根据输入过程的平稳性，有于是ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 333.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3、输出过程o(t) 的功率谱密度令 = + - ，代入上式，得到即deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii343.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统输出过程o(t)的概率

14、分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 353.5 窄带随机过程窄带随机过程 定义：若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。功率谱密度图 363.5 窄带随机过程窄带随机过程波形：窄带随机过程的表示：0)(,)(cos)()(tatttatcttttcsccsin)(cos)(373.5 窄带随机过程窄带随机过程式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 (t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a (t)和

15、 (t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。 )(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats383.5 窄带随机过程窄带随机过程3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性l数学期望：对(t)求数学期望得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E(t) = 0 ，所以ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，393.5 窄带随机过程窄带随机过程l(t)的自相关函数： 因为(t)是平稳的，故有 这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令 t = 0，上式仍应成立，)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin

16、),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)(),(RttR403.5 窄带随机过程窄带随机过程它变为因与时间t无关，以下二式自然成立所以，上式变为ccsccttRttRRsin),(cos),()(ccsccRRRsin)(cos)()()(),()(),(cscsccRttRRttR413.5 窄带随机过程窄带随机过程再令 t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄带过程(t)是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。l进一步分析，下两式应同时成立，csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRR

17、sin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(423.5 窄带随机过程窄带随机过程故有同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到 ，表明Rsc()是 的奇函数，所以 。因此，同一时刻的同相和正交分量是互相正交的。)()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR433.5 窄带随机过程窄带随机过程将 代入 得即结论：(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 0)0(csRcsccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()()0()0()0

18、(scRRR222sc443.5 窄带随机过程窄带随机过程l根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式 得到因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc时)()(,2222ttttsc时453.5 窄带随机过程窄带随机过程l根据 可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。l结论结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值

19、为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。0)0(csR463.5 窄带随机过程窄带随机过程3.5.2 a(t)和(t)的统计特性l联合概率密度函数 f (a , )根据概率论知识有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff473.5 窄带随机过程窄带随机过程于是有式中 a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa483.5 窄带随机过程窄带随机过程la的一维

20、概率密度函数可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa493.5 窄带随机过程窄带随机过程l的一维概率密度函数可见， 服从均匀分布。20212exp21),()(02220daaadaaff503.5 窄带随机过程窄带随机过程l结论一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计独立的 ，即有 )()(),(fafaf513.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中)()cos

21、()(tntAtrc)(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(costttzttzttzttnAttnAccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss523.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：相位：l包络的概率密度函数 f (z)由0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs222sincosnscscAzEAzE533.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声根据zc，zs与z，之间的随机变量关系，求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数222

22、2)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznn543.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声然后求给定条件下的边际分布， 即由于故有式中I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数dAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(220222220)(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz553.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声因此由上式可见，f (, z)与无关，故称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn563.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l 讨论l 当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。l 当(Az/n2)很大时，有这时上式近似为高斯分布，即xexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf5