数列通项公式的求法(有答案)

1、数列通项公式的求法近6年全国卷20222022求数列通项公式的试题概览年份试题特点或条件类型或方法2022 卷 1a11,an 1 (1 丄)anan 1p(n) an q(n)转化，累加n2法2022 卷 2a11, Sn 14an2an 1p an r qn，Sn 与 a.的关系，构造等差数列2022 卷 1彳51a11, an 1_an 1p an q，转化，构造等比2 an数列2022新课标a12, an 1an3 22n 1an 1 an p qn累加法2022新课标an是等比数列，定义法，an a1qn 122a1 3a2 1,a3 9a2ae2022全国卷4xn 3Van 1 p

2、 an q，转化，构造等比入n 1Xn2数列2022课标1c21Sna*Sn与K的关系，定义法，33n 1anaq2022课标2an是等差数列，a125，定义法，an q (n 1)da!，an，a13成等比数列2022大纲卷an是等差数列，S3 a2，定义法，an a (n 1)dS1，S2，S4成等比数列2022课标1an是等差数列，a2，a4是定义法ana1(n 1)d方程x2 5x 6 0的根2022课标2a1 1,an 1 3an 1an 1p an q，构造等比数列二、 数列通项公式的求法(一) 数列的通项公式：如果数列an的第n项an和项数n之间的函数关系可以用一个公式an f(

3、n)来表示，这个公式叫做数列的通项公式。(二) 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一。 在很多情况下，各种数列综合问题的 求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数 列综合问题的突破口和关键。求数列通项公式的方法和类型通常归结为一下几 种：1观察法通过观察数列各项与项的序号的关系，找出各项共同的规律特征，归纳出通项公式的方法。数列为等差数列或等比数列时，由条件求出首项和公差或公比代入 等差数列或等比数列的通项公式求得。(1 丨等差数列：an a1 (n 1)d，或 an am (n m)d2等比数列：an a1qn 1，或 an amqm例12022新课标

4、全国卷等差数列的公差不为 0，a1 25，且a1，a11，a13成等比数列，求数列an的通项公式。解：设an的公差为d d 0 ,由a!，an，a成等比数列得a；a013，10d)2 aja 12d)，d(2a 25d)0， d 0©25d 2，an 2n 27, (n N )例2 2022全国卷等差数列an的前n项和为Sn，a1 10，a?为整数，且Sn S4，求an的通项公式。解：由a1 10， a2为整数，知等差数列an的公差d为整数。又因为Sn S4，10 3d 0105所以，a40 且 a50 .，解得 10 d 5 . d 310 4d 032an a1 (n 1)d10

5、 3(n 1) 3n 13, a. 3n 13,n N .练习1： 1设an是公比大于1的等比数列，&为an的前n项和。S37 ，且 a1 3， 3a2， a3解:由得d a?7q 3 a3 4 6a2 'as2q，代入a1a2 a37，得一qan2n 1 , nN .4成等差数列，求数列an的通项公式2a22 .设an的公比为q，那么ai-，q12 2q 7， q 2 或 q(舍去)，222022.湖北高考Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2 a3 a418，求an的通项公式假设数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项公式可用公式解：因为S

6、4，S2，S3成等差数列，所以2S2 S4 S32(a1 a2)2(a1a2a3)a4 ，2a3 a40，a42a3，q23又 a2 a3 a418，2aiqaq3aq18，a13an aqn1 3 ( 2)n1，a. 3 ( 2)n 1，n N2 133"3，那么数列的yin 2求解。例32022.全国卷假设数列an的前n项和为Sn通项公式为an 2 121解：当 n 1 时，a1 3a1 1n，a1 1 ； 当 n 2时，Sn 3an 3.21Sn1 3an1 1，两式相减，得an222an 1 ，an2anan 1，an33an 1ann 1(2)n1所以an为等比数列，公比q

7、 2，首项a1 1，agSn为正项数列an的前n项和，且满足Sn - a22数列an的通项公式1 1解：当 n 1 时，a1a；a1，即 a： a1，又 a1 0， a1 12 21111当n 2时，因为Sna： an，所以Sn 1 a 1an 1.两式相减得:22221 21121槪工彫曰22anananan 1an 1，整理得：anan 1anan12 22 2(an an 1 )(anan 1) (anan 1 )0， (anan 1 )(anan 1 1)1，an n的通项公式。又an 0， an an 1 1， an为等差数列，d 1，又a1练习2： 1数列an的前n项和Sn 3n

8、2，求数列a.解：当n 1时，a11.当n 2时，因为Sn 3n 2，所以Sn 13n 12.两式相减得：an 3n 3n 12 3n 1，又a1 1不适合上式，an1,( n 1)2 3n 1,(n2)2 2022。江西高考正项数列 an的前n项和Sn满足:S： (n2 n1)Sn (n2 n) 0.求数列an的通项公式。解：因为 S"(n2 n1)Sn(n2n) 0，所以Sn(n2n)(Sn1)0Sn 0，Snn2 n，可求得 an 2n,n N对于由递推公式确定的数列，通常可以对递推式进行变形、转化构造 差数列或等比数列的问题得以解决。为等1累加法：求形如an an1 f (n

9、)其中f(n)可求和的数列的通项。可用累加法，即令n 2,3,4 ,n，得到n 1个等式累加求得通项。例5 (2022全国新课标)设数列an满足ai2 ， an 1 an3 22n 1，nN求数列an的通项公式解：因为 an 1 an 3 22n 1，N，分别令n 1,2,3,4,n 1代入上式，得n 1个等式累加，即：(a? aj 包 a2) 4a3)(an an 1 )3 21 3 233 253 22n 3ana13(2 232522n 3)3n 1、2(1 4)22n12,又 a12练习3:1数列an满足a11， a* 1an 2n，那么数列an的通项公式为解:an2解：an 1an数

10、列anan2累乘法:n 1,2,3,4、卄1an 满足 a1，a* 12an，那么数列n nan的通项公式为n(n1 _ 丄 11) n n 1，累加得ana1131an2 n对于形如an 1an,n 1.得到nf (n)的数列的通项求解，可用累乘法,即令1个等式累乘求得通项。例6 数列an满足a12，an 1an，求数列a.的通项公式3n 1解：由得：an 1n分别令n1,2,3,4,n 1，代入上式得n 1个ann 1等式累乘之，即a?a3a4an1 2 3n 1%a?a3an 12 3 4nan122，又a1，an，nNan33n练习4.数列an满足a1 1， an n(an 1 an)

11、,n N，那么数列an的通项公式为an .解：由得也亠，累乘可得an n .an n3构造法：求形如an 1 pan q p、q为常数或形如a“ 1 pq f(n)的数列通项，可以构造新数列，使得新数列是等差数列或是等比数列， 从而求得通项1例7 2022新课标2数列an满足ai 1 , an! 3an 1,证明数列an - 是等比数列，并求数列an的通项公式。C “1 o 31 61 13解：由an 1 3an 1得an 1-3兔，即可13(an 2)，又印？2，13所以数列an - 是首项为2，公比为3的等比数列an -(3n 1)，n N2练习5.数列an的前n项和Sn 2an 2n 1

12、，求数列an的通项公式。解：当 n 1 时，a1 2a1 22， d 4 ；当 n 2 时，Sn 2an 2n 1，Sn 1 2an 12n，两式相减得：an 2an 2an 12n，an 2am 2n，两边同除以2n，得：寻 册 1-(n 2)，又予2， 克是以2为首项、以1为公差的等差数列。窪2 (n 1) 1 n 1， a. (n 1) 2n2三求数列通项公式 课后练习1.2022课标1等差数列an的前3项和Sn ,且S3 0 , S55.求an的通项公式。2 .2022全国大纲卷等差数列 an的前n项和Sn，且S3 a2 , S1 , S ,S4成等比数列，求an的通项公式。3. :2

13、022天津首项为3的等比数列an不是递减数列，其前n项和为& , 2S3 a3, S5 a5, S4 a4成等差数列，求a.的通项公式。4.2022山东等差数列an的公差为2,前n项和为Sn，且S，S2，S4成等比数列，求an的通项公式。5.数列an的前n项和Sn，且Sn1)，求 an的通项公式6.数列an满足丄-a1a? a3nan8八，nan的通项公式。7.2022湖南设Sn为数列an的前Sa3 n项和,a10，2ana1Sn，n N，求an的通项公式。8.数列an的前n项和Sn，且c2 , Snan 1 n 2 , n Nan通项公式。9. 2022全国卷2等差数列a的前n项和Sn，且a11，Sn1 4an1证