数字信号处理

1、数字信号处理绪论1. 模拟信号，离散信号，数字信号的定义； 模拟信号：信号随时间空间连续变化，并且幅度值取自连续数据域。自 然界中大局部信号时模拟信号。离散信号 : 信号随时间空间以一定规律离散变化， 幅度值取自连续数据域。 自然界中这样的信号很少，一般通过对模拟信号的采样形成， 数字信号：信号随时间空间以一定规律离散变化，并且幅度值取自以二 进制编码的离散数据域，一般通过对离散信号进行量化得到。2. 数字信号处理的组成； 数字信号处理系统并不是孤立的数字系统，一般以数字处理系统为核心，结 合A/D和D/A数字-模拟转换器、滤波器和放大器等子系统组成，前置低 通滤波器将信号中大于 1/2 采样

2、频率的高频分量过滤掉，防止采样是出现频 谱混叠现象， A/D 转换包含采样和量化，采样得倒离散信号，量化后每个离 散信号将被数字编码形成数字信号，经过 D/A 转化后形成跳变的模拟信号必 须通过拼花滤波器将信号变成平滑的连续信号。3. 数字信号处理的优点；1. 软件可实现： 纯粹的模拟信号必须完全通过硬件实现， 而数字化处理那么不 仅可以通过微处理器、 专用数字器件实现， 而且可以通过程序的方式实现。 软件可实现特性带来的出处之一就是处理系统能进行大规模的复杂处理， 而且暂用空间极小2. 灵活性强： 模拟信号处理系统调试和修改不便， 而数字处理系统的系统参 数一般保存在存放器或存储器中， 修改

3、这些参数对系统进行调试非常简单， 软件实现尤其如此。 由于数字器件以及软件的特点， 数字信号处理系统的 复制也非常容易，便于大规模生产。3. 可靠性高： 模拟器件容易受电磁波、 环境温度等因素影响， 模拟信号连续 变化，稍有干扰立即反映。 而数字器件是逻辑器件， 一定范围的干扰不会 引起数字值得变化， 因此数字信号处理系统抗干扰性能强， 可靠性高， 数 据也能永久保存。4. 精度高：模拟器件的数据表示精度低。第一章 离散时间信号与系统1. 奈奎斯特定理定义假设要从采样后的信号频谱中不失真的恢复信号， 那么采样频率Qs必须大于 等于两倍的原信号频谱的最好截止频率 狂，即Qs>2Q或fs&g

4、t;2。输入连续信号 在A/D转换前需要经过前置滤波器，其作用是将信号中高于 QS/2的频率分量滤 除才能防止频谱混叠现象。2. 设系统的输入输出关系为 y n =2x n+1 +x n +3，判断系统是否为线 性系统？是否为时不变系统？解：当系统的输入为xin=cxn其中c为常数时， 该系统的响应为 y1n =2cxn+1 +cx n +3 而系统应满足齐次性，即 cy n =c2x n+1 +x n +3。 显然cyn丨工yi n 所以，该系统不是线性系统。 是移不变系统 。3. 设系统的输入输出关系为yn=2sin (nn /2)x(n),判断系统是否为线性系，是 否为移不变系统解：当系

5、统输入为xin= cxn其中c为常数时， 由差分方程得到该系统的响应为 yin=2csin(nn /2)x(n), 而线性系统应满足齐次性，即cy(n)=c2sin(n n /2) x(n), 满足 cy(n)= yi n 说明该系统满足齐次性，下面判断是否满足叠加性。当系统的输入为xin时，该系统响应为yin=2sin(nn /2) xi (n); 当系统的输入为X2n时，该系统响应为y2n=2sin(nn /2) X2 (n); 当系统的输入为X3n= xin+ X2n时，该系统响应为y3 n=2sin(n n /2) x i (n)+ X2 (n),显然满足y3n= yin+ yn,说明

6、该系统满足叠加性. 因此该系统式线性系统，不是移步变系统。4. 判断系统y(n)=x(n)2是否为移不变系统。解：设系统的输入为x(n)，系统对x(n)的响应为y(n)= x(n)2当系统的输入为xin= xn-no时，系统的响应为：yin=x(n)2 =x(n-no)2 = yin- no显然，输入输出满足T xn- no= yin-no的关系，说明系统是移 不变系统。5. 判断系统y(n)= nx(n)是否为移不变系统。解：设系统的输入为x(n)= S (n)，那么该系统响应为y(n)= nx(n)= n S (n)=0当系统的输入为xin= xn - i= S (n -i)，那么系统响应

7、为 yin= n xi (n) = n S (n -i) = S (n -i)而y(n-i)=(n-i) S (n-i)工yin，因此，该系统不是移不变系统。6. 判断系统y(n)= x(n)+ x(-n)是否为移不变系统解：设系统的输入为xi (n)= S (n)，那么该系统响应为yi (n)= xi (n)+ xi (-n)= S (n)+ S (-n)=2 S (n)i/a当系统的输入为X2n= S (n -i)那么该系统响应为y2 (n)= X2 (n)+ X2 (-n)= S (n -i)+ S (- n -i)而yi (n-i)= 2S (n -i)，显然yi (n-i)工y2n因

8、此，该系统不是移不变 系统.7. 求双边序列x(n)=aM 的Z变化，其中a为正实数。解：双边序列x( n) =a'nl可以分解为一个左边序列a- n u - n-i和移个因果 序列a n un，即oooomX(z)=爼'nl z-n =舀n z-n +舀 z-nn= - oon= - oon= O当收敛域满足a< l z l <i/a时-zI zX(z)=不厂匚厂反之当收敛域不满足a< l z l <i/a时，那么双边序列x(n)= a"的Z变化不存在。8. 求序列x(n)=anu(n)- u(n-N)的Z变化,其中a为正实数。N为正整数.

9、解:x( n)= anu( n)- u( n-N)= a nu( n)-sfi-N u (n-N)X(z)= J z-Nzz-azN - aNN-1/、z (z- a)这是一个因果的有限长序列的 Z变换。虽然在X(z)的结果中z=a是极点，但 是分子zN - aN中可以分解出z=a的零点，零极相消，收敛域扩大，所以收 敛域丨z | >09. 序列x(n)的图形如图，试画出以下序列的示意图图(1) y= x( n -4) y= ( 2 - 4)(4) y= x ( n / 2 - 4 )y = x(2i)n)+(n-4)(6) y =x(2i)*8(n-4)10.计算以下序列的Z变换，并标

10、明收敛域(1)(1/4)n u(n)解：Z (1/4)n u(n) )=, Z>1/4(1/4) n u(-n-1)解：Z( f/4)n u(-n-1)=-ZZ-1/4Z<1/4(1/4)n u(-n)解Z( (/4)n0)=佥+ 1,Z<1/4(1/4)lnl解("4)n = (1/4)n u(n)+ (1/4)- nu(-n-1),1 ln lZZZ( (/4)=三荷-三厂收敛域不存在1/4)lnlu(n)-u(n -M，其中N为正整数.解(1/4)n u(n)-u(n_N)=(1/4)nu(n)-(1/4) n-N u(n-N) 4 NZ( (/4) n u(

11、n)-u(n N )=zZ-1/4Z(N-1)Z-1/4Z>1/411.假设存在一离散时间系统的系统函数z(z+5)(z-3)(z-1/3)根据下面的收敛域，求系统的单位脉冲响应h(n),并判断系统是否因果？是 否稳定？解:(1)H ( z )=z(z+5)3z| -2z(z-3)(z-1/3)z-31z-1/3(1)|z| >3 ,(2) 1/3<|z| < 3,I z | < 1/3宀1 f n| z | >3, h(n)=3n 1 u(n)- 2 /3u(n),因果不稳定系统1 n1/3< | z | < 3, h(n)=-3n+1 q-n

12、-1)- 2 /3u(n),非因果稳定系统1n| z | < 1/3 , h(n)=-3n+1 u(-n-1)+ 2 /3u(-n-1),非因果非稳定系统12. 一个因果系统由下面的差分方程描述y (n)+5/6y (n - 1 + 1/6y ( n - 2) =x (n) + 2x ( n- 1 )1求系统函数H(z)及收敛域，(2)系统的单位脉冲响应h(n)解: y (n)+5/6 y (n - 1 +1/6y ( n- 2) = x ( n) +2x ( n- 1 ),1+5/6z-1 +1/6Z-2Y(z)=(1+2 z-1)X(z)(1) H ( z )=丫X(z)1+2 z1

13、+5/6 z -1 + 1/6 z -2I z | >1/21+2 z -1-9z 丄 10z H ( z )= 1 + 5/6 z -口仍 z -2 =z+1/2z+1/3收敛域为-1/2, -1/3，. | z | >1/2为因果I z=0，因稳定。°.| z | >1/2既因果又稳定 h( n) =-9(1/3) nu (n) + 10(-1/3) nu(n)13. 假设线性移不变移不变离散系统的单位阶跃响应g ( n)=4/3 - 3/7(0.5)n +2/21( - 0.2) n u (n),(1) 求系统函数H (z )和单位脉冲响应h (n);(2)

14、使系统的零状态 y ( n) =10/74/3 - 3/7(0.5) n + 2/21(-0.2) n u (n), 求输入序列x (n)假设鼓励x ( n)= u (n)求系统的稳态响应ys ( n)。解：(1) g ( n)=4/3 - 3/7(0.5)n + 2/21( - 0.2) n u(n)z .G(Z)= 3(z-1)7(z-1/2)21(z+1/5)鼓励信号为阶跃信号x( n ) = u ( n ) zIz|>1Y(z)G(z)= H (z )X(z) , H (z )=而3/7z=z-0.54/7zh (n)=3/7(0.5)n u (n)+4/7(-0.2) n u

15、(n)(2)根据题意:y ( n)=10/7 g ( n),/. x( n )=10/7 u(n)zz假设 x( n)= u(n)z » X(z) =77Y(z)= X(z) H (z )=4/33/7z2/21z+ z-1从丫(z)可以判断出稳定分量:丫 s(z)=z-1z -1 . y s ( n)=3/4 u(n)12. 序列 X1(n)=3nu(n),X2(n)=(3/5)nu(n),求 y(n)=X1(n)*X2(n.)解：X1 z=Zx1(n)=z/(z-3), | z | >3X2z=ZX2(n)=z/(z-3/5), | z | >(3/5)根据Z变换的卷

16、积性质，有Yz=X1 zX2 z=z/(z-3) z/(z-3/5)=(4/5) z /(z-3)+(-1/4) z/(z-3/5),I z | >3.因此 y(n)=Z-1Y(z)=5/43nun-1/4(3/5)nu(n)13. 一个离散时间系统的差分方程如下：y( n+2)-3y( n+1)+2y( n)=x( n+1)-2x( n)(1) 试求该系统的系统函数 Hz；(2) 假设x(n)=u(n),试求系统的单位阶跃响应y(n).解：1对差分方程 y(n+2)-3y(n+1)+2y(n)=x(n+1)-2x(n)两边求 Z 变 换得z2-3z+2Y(z)=(z-2)X(z),即丫

17、(z)= (z-2)/( z 2-3z+2)X(z)所以，系统函数为H二丫(z)/X(z)= (z-2)/( z2-3z+2)(2) 当鼓励x(n)=u(n)输入时，该输入信号的Z变换为x(n)=u(n)X(z)=z/(z-1)所以 丫二(z-2)/( z2-3z+2) z/(z-1)= z/(z-1)2因此系统的单位阶跃响应为y(n)=nu(n)14. 系统函数为 h(n) nu(n)，输入信号为 x(n)=u(n)-3u(n-1)+2u(n-2) 求 y(n)x(n)=u(n)-3u(n-1)+2u(n-2)= u(n)- u(n-1)- 2u(n-1)+ 2u(n-2)=S (n)-2

18、S (n-1)y(n)=h(n)*x(n)= h(n) * S (n)-2 S (n-1)= h(n)-2h(n-1)=nu( n)- n-1u( n-1)15. 因果系统 y(n)-ay(n-1)= x(n)-bx(n-1)求H z系统函数Y(z)-az -1Y(Z)=X(z)-bz -1X(z)(1-az -1) Y(z)= (1- bz -1) X(z)H z= Y(z)/ X(z)= (1-az-1)/ (1- bz -1)收敛域：极点z=a, | z | > | a |Ps:假设是稳定系统，贝U| a | <1,b任意值。第二章.傅里叶变换与频谱分析1. 离散时间信号x(

19、n)的傅立叶变换：X(ejw)=刀x(n)e-jwn,这里w为角频率，其 与普通频率f和采样频率fs的关系式如下：w=2冗f/f s.2. 离散信号的傅里叶变换与Z变换的关系：X :ejw= X(Z) | z= ejw.离散信号 傅里叶变换存在的条件是信号时收敛的。3. 线性移不变系统的输入和输出信号之间的关系在时域是线性卷积关系，在频域是乘积关系。系统单位脉冲响应H(ejw)=刀h(n)e-jwn,设输入信号x(n)=ejwn,系统单位脉冲响应为h(n),那么系统的输出y(n)为：y(n)= H(e jw)ejwn=H(ejw)x(n)4. 设输入信号为3© nn求 线性移不变系统

20、 h(n) 的输出 y(n).y(n)= H(e j )3ej =3d nnH(ej)5. 有一个稳定的因果线性移不变系统，其差分方程如 y(n)-0.5 y(n-1)= x(n),当输入信号x(n)=cos n n时，求系统输出y(n).解：两边同时Z变换，得到系统函数H(z)-1),由于收敛于包含单位圆，因此相应的傅里叶变换存在，由H(z)推导出得H(z) -jw cossinw)当输入信号x(n)=cos n n时，系统的频率响应为H(ej )，相应的幅度相应和相位相应为I H(ej) | = | 1/| =1/21/20 h w=-tan -1()因此，系统的输出信号y(n) nn)p

21、s: y(n)=| H(ejw0)| cos(w0n-0 Hw0 ), 输入信号为 cos(wn)6. 给定一个线性移不变系统的系统函数为：H(z)=(1-ejn Z-1)(1- e -j n/Z-1)求： 1系统的频率响应 H(ejw)2画出OW*2n以及-n<*2n范围的幅度谱| H(ejw) |3当输入信号x(n)=Acos( nn/4)时，求系统输出y(n).解：1因为 Z= ejwH(ejw)= (1-e jn /2e-jw)(1- e -j nl4e -jw) 23因为 y(n)=| H(ejwO)| cos(wOn- 0 H wO )Wo= n /4, H(e jw)= (

22、1-e j /4ed n/4(1- e -jn/zb-j n/4=O所以 y(n)=O7. 设一个线性移不变系统的系统函数为H(z)=1-z-1-1)求：1系统的零极点是多少;2H(ejw)，并画出OW*n范围的幅度谱;3B hw。解：11-z-1=0，所以z=1为零点; -1=0,所以z=-0.8为极点;2310 h w =-tan - (w°)H(ejw)=：1- e -jwe-jw)+ C-|X丿第一胃住其=*sinx = 一=一£2ieiX = wfjc - iiim8. 对于离散信号x(n),设其傅里叶变换Xejw,证明:刀 x(n)x *(n)= 1/2 n/-

23、nX ejwX* dwdw证明：1/2 n上 nX ejwX* ewdw=1/2 n/ n X ejw刀 x*(n) ejwndw=1/2 nf-n X ejw刀 x*( n) e-jwn: *dw=1/2 nf n X ejw X* ewdw第三章.离散傅里叶变换与快速算法1. 设有一个离散信号x(n),其采样频率fs=1000Hz,对它短时窗获取512点信 号值，试答复下问题。(1) 如果求512点的DFT那么离散频谱采样点之间的间隔是多少；(2) 如果信号通过补0至2048点，那么频率分辨率指标变成多少；(3) 有限长信号补0后其傅里叶变换频谱Xejw和DFT离散频谱Xk会变化吗；(4)

24、 如果信号因为时域采样频率太低倒是频谱混叠，那么，可以通过 补0的方法来消除混叠吗。解：1Af=fs2Af=fs/N=1000/3补零后：X(ejw)不变；X(k)变化，变的更加逼近X(ejw)4不能2. 一个频率为6kHz的正弦信号经过40kHz的时域采样形成离散信号，问当计 算以下不同点数的DFT时幅度频谱谱峰的位置k分别是多少？132 点 DFT264 的 DFT3128 的 DFT解：Af=fs/Nk=f/ A f=f/(fs/N)=(f/f s)N=(6000/40000)N1N=32,k=6/40 ，考虑对称位置取k=5272N=64,k=6/40 64=考虑对称位置取 k=105

25、43N=128,k=6/40 128=考虑对称位置取 k=191093. 对以下4个信号计算16个点DFT，设采样频率为12kHz，预测个信号离散幅 度频谱谱峰的位置k(1)x(n)=cos(n n /7(2)x(n)=sin(2n n /3(3)x(n)=cos(3n n /4(4)x(n)=cos(n n /4+ cos(5n n /9解：A w=(2 n /N)k=w/ A w=(w/2 n w=n /7,k=(w/2 n=( n /7)/2 76=16/14k=115(2) w=2 n /3,k=(w/2 dN=(2 n /3)/2 n6=16/3k=511(3) w=3 n /4,k

26、=(w/2 dN=(3 n /4)/2 n6=6k=610(4) w=n /4,k=(w/2 nN=( n /4)/2 n6=2k=241214 w2=5 n /9,k2=(w/2 nN=(5 n /9)/2 n6=40/9第四章 无线脉冲相应数字滤波器设计1. 数字滤波器的技术指标：滤波器的主要性能指标 ：1.频带：包括通带，过渡带，阻带。 2.误差：通带 和阻带误差2. 数字滤波器频率响应： 1.幅频响应平方函数 2.相位响应 3.群延迟响 应3. IIR滤波器类型：a.直接I型；b.直接II型；c.级联型；d.并联型； e全通滤波器。4. 常用滤波器分类及特点(1 ) 巴特沃兹滤波器 幅

27、度频率响应在通带内具有最大平坦的特性，并且在通带和 阻带内，随着频率的增加而单调地下降。(2) 切比雪夫滤波器I 型特点是在通带内有等滤纹变化，阻带内单调下降。II 特点在通带内单调下降，阻带内有等波纹变化。(3) 随圆滤波器 幅度频率响应在通带和阻带内均匀等波纹的，且与上述两种滤波器相比，过渡带的下降斜度更大。5. 模拟滤波器到数字滤波器的转换方式及其优点1 .脉冲响应不变法优点是模拟频率到数字频率的转换时线性的，即w=QTs,用此方法设计的滤波器将很好的重现模拟滤波器的频率特性。缺点是会产生频谱混叠现象， 只适合带限滤波器， 如低通、带通滤波 器的设计，不适合高通、 带阻滤波器的设计， 因

28、为混叠对高频段影响 较大。2.双线性变换法双线性变换法设计的数字低通滤波器，其频率特性曲线在w=n处丨H(ew) | =0，这种Q与w非线性变换关系消除了频率混叠现象，但 是其频率特性曲线与原模拟低通滤波器特性曲线相比，有较大失真，因 此双线性变换只适合分段常数滤波器设计。6. IIR 滤波器的设计步骤：1将数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，主要是 Wp， Ws。2根据通带阻带的衰减，Q p,Q s,解析两个方程。3根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的阶数n。4根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的频率QC。 5根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的 N 个极点。6根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的系统函数Has。7根据脉冲响应不变法， 将模拟巴特沃兹滤波器的 N 个极点， 映射到 数字 Z 平面上，得到数字滤波器的系统函数 H(z)。第五章 有限脉冲响应数字滤波器设计1. 线性相位是什么？有什么影响？如何来实现？(1) .相位是线性的(2) .仅仅引起一个延时只要满足中点对称条件h(n)=