第1章 Fouier变换

1、1.1 1.1 Fourier积分和积分和变换的定义变换的定义 1.2 1.2 Fourier变换的性质变换的性质 1.3 1.3 d d 函数的函数的Fourier变换变换第一章第一章 Fourier 变换变换第一章第一章 Fourier 变换变换定义定义 设函数设函数 和和 都是都是 上的上的 1( )f t2( )f t(,) 绝对可积函数绝对可积函数, 积分积分12( )()df x f txx 称为称为函数函数 和和 在区间在区间 上上的卷积的卷积. 记记1( )f t2( )f t(, ) 为为 或或 , 即即 12()( )fft 12( )( )f tf t 121212( )

2、( )()( )( )()d .f tf tfftf x f txx 预备知识预备知识-函数的卷积函数的卷积如果如果 t0), 2( )0, t2Etp t 的幅谱的幅谱.ot2 2 E( )p t .由频谱函数的定义由频谱函数的定义( )( )di tFp t et 22d ,i tEet Fourier变换物理意义变换物理意义-频谱分析频谱分析 |F( | |OE 2 4 6 2 4 6 222( ) sin.2i tEeEFi 故幅谱为故幅谱为1( )2sin.2FE (如图所示如图所示) Fourier变换物理意义变换物理意义-频谱分析频谱分析1.3 Fourier变换的性质变换的性质

3、第一章第一章 Fourier变换变换1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质以下假定所讨论的函数满足以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理积分定理的条件的条件.(1) 线性性质线性性质 设设 , 是常数，是常数， 11( )( ),Ff t F F22( )( ),Ff t F F则则 1212( )( )( )( )f tf tFF F F12( )( ).f tf tFFFF1111212( )( )( )( ).FFFFFFFFFF(2) 对称性质对称性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 ( )2().F tf F F证明证明 由由Fourier逆变换有逆变

4、换有 1( )( )d.2i tf tFe 于是于是1()( )d .2i tftFe 将将t与与 互换互换, 则则 1()( )d ,2i tfF t et 所以所以( )2().F tf F F特别地特别地, 若若f (t)是偶函数是偶函数, 则则 ( )2( ).F tf F F1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质2( )sin.2p t F F例例2.1 求求 的频谱函数的频谱函数.sin( )tf tt f (t)to函数函数 的频谱函数为的频谱函数为( )p t 当当 =2时时, 根据根据Fourier 变换的线性性质变换的线性性质由例由例1.3知知, 单位幅度单位幅

5、度 (即即E=1) 的矩形脉冲的矩形脉冲1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质21sin( ),2p t F F其中其中 是宽度为是宽度为2, 幅度为的幅度为的 矩形脉冲函数矩形脉冲函数, 21( )2p t12它是偶函数它是偶函数. 由由Fourier变换的变换的 , sin ( )tf tt F FF F, 1;0, 1. 212( )2po 11 ( )F .宽度为宽度为2 幅度为幅度为 的的矩形脉冲函数矩形脉冲函数 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质(3) 相似性质相似性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 1 () f atFaa F F(其中其

6、中 为常数为常数). 0a 证明证明 由由Fourier变换的定义变换的定义, ()()d .i tf atf at et F F令令 则则 于是当于是当a0时时, ,xat 1dd .txa 11 ()( )d;ixaf atf x exFaaa F F1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质当当a0时时, 1 ()( )dixaf atf x exa F F11( )d.ixaf x exFaaa 综上所证综上所证, 即得即得1 (). f atFaa F F(4) 翻转性质翻转性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 (). ftF F F由相似性质可直接得到由相似性质

7、可直接得到 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质(5) 时移性质时移性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 00 ()( )i tf tteF F F(其中其中t0为常数为常数). 证明证明 由由Fourier变换的定义变换的定义, 00 ()()d .i tf ttf tt et F F令令 代入上式得代入上式得 0,xtt 0()0 ()( )dix tf ttf x ex F F00( )d( ).i ti tixef x ex eF 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质利用利用 和和 , 易见易见 1 (), biaf atbeFaa F F其中其

8、中a, b为常数为常数, 并且并且 事实上，事实上， 0.a ()bf atbfa ta F FF F1 ().bbiiaaef ateFaa F F1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质例例 计算计算 20().t te F F于是根据于是根据 得得2200 )4.i tt tee （F F(6) 频移性质频移性质设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 (其中其中 0为常数为常数). 00( )()itf t eF F F证明证明 由由Fourier变换的定义变换的定义, 00( )( )dititi tf t ef t eet F F0()0( )d().itf t etF

9、 22 4.tee F F由前例易知由前例易知, 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质例例 计算计算 和和 20costet F F20sin.tet F F根据根据 00000011cos, in22ititititteesteei 于是由线性性质、于是由线性性质、 以及公式以及公式(1.1.3)知知, 22002()() 440cos,2tetee F F22002()() 440sin.2teteei F F1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质(7) 微分性质微分性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F并且并且 在在 ( )( )nft(,) 上存在上存在

10、(n为正整数为正整数). 如果当如果当 时时, t ( )( )0 (0,1,2,1),kftkn则则 ( )( )()( ).nnftiF F F( )( )di tftft et F F( )( )di ti tf t eif t et ( )d( ).i tif t eti F 只证明只证明n=1的情形的情形, 类推可得高阶情形类推可得高阶情形.1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质频域的微分性质频域的微分性质: 设设 ( ) ( ),Ff t F F并且并且 在在 ( )( )nF (,) 上存在上存在(n为正整数为正整数). 如果当如果当 时时, ( )( )0 (0,1

11、,2,1),kFkn 则则 1( )( )( ).nnni Ft f t F F从而可知从而可知 ( )( )( ).nnnt f ti F F F1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质例例 设设 求求 , 0( ) (0), 0, t0ttetf t ( ).f tF F令令 于是由于是由 例例1.4 可知可知 , 0( ), 0, t0tetg t 1 ( ).g ti F F所以所以 ( )( )f ttg t FFFF211.()iii 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质(8) 积分性质积分性质设设 ( ) ( ),Ff t F F并且并且(0)0.F 如果

12、如果 则则 ( )( )d ,tg tf 1 ( )( ).g tFi F F 证明证明 因为因为 并且并且 lim( )lim( )d0,tttg tf 0lim( )( )d( )d(0)0,itg tffeF 所以根据所以根据 可知可知( )( )g tf t ( )( )di tg tg t et F F111( )( )d().ititg t ef t etFiii 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质(9) 卷积性质卷积性质设设 1122( )( ), ( )( ),Ff tFf t F FF F则则 1212()( )( )( ).fftFF F F证明证明 由卷积

13、和由卷积和Fourier变换的定义变换的定义, 可得可得1212()( )()( )di tfftfft et F F12( )()ddi tfx f txx et 12( )()ddi tfxf tx etx 1221( )( )d( )( )dixixfx FexFfx ex12( )( ).FF 1.3 1.3 Fourier变换的性质变换的性质利用卷积公式来证明积分公式)()0()()(, 0)0()(lim)()(dFiFdssfFdssfFtfttt FF则，若设( )( )( )( )( )tty tf s dsfu tdf tu t令( )( )( )( )( )1( )( )

14、( )(0) ( )tf s dsf tu tf tu tFFFjjd d FFFF证明：证明：1.2 d d 函数的函数的Fourier变换变换 第一章第一章 Fourier变换变换因为因为d d 函数是广义函数函数是广义函数, 所以其所以其Fourier变换不变换不 是通常意义下的是通常意义下的Fourier 变换变换. 根据根据Fourier 变换的变换的定义定义, 以及以及d d 函数的性质函数的性质, 可可 得得 ( )( )d1,i ttt et d dd d F F111 ( )( )d.22i te d d d d F F通常通常, 没有意义没有意义. 然而由然而由 1F F1

15、1 ( ),2d d F F在广义函数意义下在广义函数意义下, 12( ). d d F F1.2 d d 函数的函数的Fourier变换变换 因为因为d d (x)是是d d 逼近函数逼近函数 的弱极限的弱极限, 所以由所以由 ( )xe e 例例1.3， 也可以理解为也可以理解为 ( )xd dF F0 ( )lim( )xxe ee ed d F FF F(1) d d 函数函数Fourier变换的时移和频移性质变换的时移和频移性质 00 () ( ),i tttet d dd d F FF F0012().ite d d F F0sinlim1.e eeeee 1.2 d d 函数的函

16、数的Fourier变换变换 根据根据Fourier变换的定义以及变换的定义以及d d 函数的性质函数的性质, 00 ()()di ttttt et d dd d F F000() ( ),iti ti teeetd d F F1001 ()()d2i te d d d d F F01,2ite 即即 0012().ite d d F F1.2 d d 函数的函数的Fourier变换变换 例例 计算计算 和和 0cos t F F0sin.t F F根据根据d d 函数函数Fourier变换的变换的 , 可得可得 00011cos22itittee F FF FF F00()() , d d d

17、 d 00011sin22ititteeii FFFFFF00()() .id d d d 1.2 d d 函数的函数的Fourier变换变换 例例 计算计算 22sin 3.t F F利用上例利用上例, 可得可得 22sin 31cos6 1cos6 ttt FFFFFFFF 2 ( )(6)(6) .d d d d d d (2) d d 函数函数Fourier变换的微分性质变换的微分性质 ( )( )() ,nntidd F F( )2( ),nnntidd F F其中其中n为正整数为正整数. 1.2 d d 函数的函数的Fourier变换变换 根据根据Fourier变换的定义变换的定义

18、, 以及以及d d 函数的性质函数的性质, ( )( )( )( )dnni ttt et d dd d F F( 1) ()() .nnnii 又因为又因为1( )( )12( )2( )d2nnnni tiie d d d d F F( 1)( ),nnnniitt 所以所以 ( )2( ).nnntidd F F1.2 d d 函数的函数的Fourier变换变换 例 5 证明：0,0( ),1,0tu tt单位阶跃函数1 ( )( ).u tjd F证：10111()()2111()2211cossin2211sin11sin222jtjtjtedjjededjtjtdjttddd d

19、d F1.2 单位阶跃函数单位阶跃函数函数的函数的Fourier变换变换 0,20,2sin0ttdt1110,02211( ),0( )2111,022ttu tjtd F1.2 单位阶跃函数单位阶跃函数函数的函数的Fourier变换变换 Peter Gustav Lejeune-Dirichlet(1805.2.13 -1859.5.5)德国数学家德国数学家. 柏林大学的教授柏林大学的教授,创始人之一创始人之一, 先后给出了先后给出了n=5和和n=14时时, Fermat方方1855年年Guass去世后去世后, 哥廷根大学哥廷根大学聘任他接任聘任他接任Guass的位置的位置. Dirich

20、let是解析数论的是解析数论的程无整数解的证明程无整数解的证明. 他在分析学和数学物理方面也他在分析学和数学物理方面也有很多重大贡献有很多重大贡献. 1829年得到给定函数的年得到给定函数的Fourier级数收敛的充分条件级数收敛的充分条件, 1837年证明了绝对收敛级数年证明了绝对收敛级数相关数学家相关数学家Jean le Rond DAlembert(1717.11.16-1783.10.29)法国数学家和物理学家法国数学家和物理学家, 被被一个贫穷家庭收养的弃婴一个贫穷家庭收养的弃婴.他是他是18世纪的大数学家世纪的大数学家, 在在很多领域取得了成就很多领域取得了成就, 特别在微分方程和力学等特别在微分方程和力学等方面的贡献尤为突出方面的贡献尤为突出.可