材料力学 13章1-5能量方法

1、变形能：变形能： U U = W 在弹性变形范围内在弹性变形范围内 在准静载荷在准静载荷(Quasi Static Loads)的作用下的作用下13-1 13-1 概述概述外力功：外力功：W准静载荷：外力是逐渐缓慢地从准静载荷：外力是逐渐缓慢地从0增大到最终值，在加载增大到最终值，在加载 的每一个的每一个 瞬间，弹性体都保持平衡。瞬间，弹性体都保持平衡。1、轴向拉伸或压缩变形：、轴向拉伸或压缩变形：PlPABPlOlP 21PN AElNlABOSW外力功：外力功：若若)(xNN 2( )2Nx dxdUEA则总的变形能则总的变形能20( )2lNx dxUEA变形能变形能 ：22N lUEA

2、l13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算注意：恒载做功：注意：恒载做功：P准静载荷做功：准静载荷做功：12P1PNa212aP lUEA2PNb222bP lUEA21PPNcEAlPPUc2)(221cbaUUU?对于对于杆杆C先加先加1P1121lPEAlPl11再加再加2PEAlPl222221lP21lP2122112121lPlPlPUc21lPUUba特性特性1：计算：计算U时不时不能用叠加原理。能用叠加原理。(a)1P(c)2P2P1P(b)例：现有例：现有a，b，c三根杆，已知其长度三根杆，已知其长度l 和刚度和刚度EA 相相等，等， 求：各杆的变形能。求：各杆的

3、变形能。特性特性2：U 只与载荷的最终数值有关；只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关。与加载方式无关。(a)1P(c)2P2P1P(b)212P lEA222P lEA12PPlEAEAlPPUc2)(221对于对于杆杆C先加先加1P1121lPEAlPl11再加再加2PEAlPl222221lP21lP2122112121lPlPlPUc212P lEA222P lEA12PPlEA2、扭转变形：、扭转变形：mABmOm21mT PIGlTABOSW外力功：外力功：若若)(xTT 2( )2PTx dxdUGIm变形能变形能 ：22pT lUGI则总的变形能则总的变形能20( )2lpTx

4、 dxUGI3、弯曲变形：、弯曲变形：mABmOm21ABOSW外力功：外力功：若若)(xMM 2( )2Mx dxdUEImM IElM？（横力弯曲）（横力弯曲）注：横力弯曲的注：横力弯曲的QMUUU，但对于细长梁，但对于细长梁QMUU，所以，所以MUU m（纯弯曲）（纯弯曲）变形能变形能 ：22M lUEI则总的变形能则总的变形能:20( )2lMx dxUEIPWU21广义力广义力广义位移广义位移*注：此式仅适用于注：此式仅适用于线弹性变形线弹性变形广义位移与广义力不仅要在种类上匹配，而且还要在位置和广义位移与广义力不仅要在种类上匹配，而且还要在位置和方向上匹配。方向上匹配。即：广义位移

5、与广义力要求即：广义位移与广义力要求能量共轭能量共轭。 变形形式变形形式 外力功外力功 变形能变形能（内力为常量）（内力为常量） 变形能变形能（内力为变量）（内力为变量） 轴向拉压轴向拉压lPW21EAlNU2220( )2lNx dxUEA扭转扭转mW21PGIlTU2220( )2lPTx dxUGI弯曲弯曲mW21EIlMU2220( )2lMx dxUEI1P2P3P12310 123dd1d2d3dPdPdPdW332211dPPP)(332211dPPPdWW)(33221111122330()PPPd 1122331()2WPPP1122331()2UWPPPU 1P2P3P克拉

6、贝依隆原理克拉贝依隆原理1P2P3P123dP1dP32Pd13-3 13-3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式假定：外载荷按照同一比例假定：外载荷按照同一比例 变化变化注意：注意：P Pk k， k k (k=1,2,)(k=1,2,)应理解为广义力和应理解为广义力和广义位移广义位移将克拉贝依隆原理应用到组合变形中：将克拉贝依隆原理应用到组合变形中：EAdxxN)(dxT)(21dxM)(111( ) ()( )( )222dWN x dlT x dM x d dx)()(ldxN)()(21ldxNPGIdxxT)( dxT)(EIdxxM)(dxM)(21T(x)M(x)N(X)UW

7、 222000( )( )( )222lllPNx dxTx dxMx dxEAGIEI222( )( )( )222PNx dxTx dxMx dxEAGIEI111( ) ()( )( )222dWN x dlT x dM x d dxT(x)M(x)N(X)问题：问题：此处变形能的计算为什么用叠加的形式？变形能的计算为什么用叠加的形式？解解: 1)BCABUUUBC杆杆弯曲变形弯曲变形11( )M xPx1x12110( )2lBCMx dxUEI1012122lEIdxxPEIlP6312AB杆杆扭转变形扭转变形弯曲变形弯曲变形12)(PlxT2x22()M xPx2222222200

8、()()22llABPMx dxTx dxUEIGI232221262PP lP l lEIGI2323221212662PP lP lP l lUEIEIGI2)求求:1)刚架的变形能刚架的变形能U; 2)截面截面C沿沿y方向的位移方向的位移cycPyW21又又UW 332121233cPPlPlPl lyEIEIGI例例1:1l2lxyzBCA已知已知:1, l2,l,d,EP,G0()3AMlaEI 已知已知:0,M, a, lEI求求:A截面的转角截面的转角A解解:lMRRCB01)2) 列弯矩方程列弯矩方程)(xM0Max, 0)(00axlMMlaax,(以以A为原点为原点)3)

9、计算变形能计算变形能UlaaaEIdxaxlMMEIdxM2)(2200020EIlMEIaM6220204) AMW021又又UW 例2:ABC0MlaBRCRWU1P2P1）先加）先加1P2P1222112121PP122）再加）再加3P4P3P4P341II2II44332121PP1 122IIIIPP111223344112211112222IIIIUPPPPPP方式一方式一1II2II341P2P:I3P4P:II13-4 13-4 互等定理互等定理方式二方式二1）先加）先加3P4P3444332121PP2）再加）再加1P2P123I4I22112121PP3344IIPP211

10、223344334411112222IIUPPPPPP111223344112211112222IIIIUPPPPPP3P34P41P2P123I4I11223344IIIIIIPPPP12UU功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功就等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。功就等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。如果如果02P，04P1 133IIIPP又如果又如果31PP 13IIIi 表示位移产生的位置和方向，表示位移产生的位置和方向，j 表示引起位移的力的作用位置和方向。表示引起位移的力的作用位置和方向。所以位移

11、互等定理又可表示为所以位移互等定理又可表示为ijji 位移互等定理位移互等定理注：位移互等定理中位移一般用双角标表示，即注：位移互等定理中位移一般用双角标表示，即ij11223344IIIIIIPPPP例例1：要求在只有一个挠度计要求在只有一个挠度计的情况下，测出的情况下，测出P力作力作用在梁的用在梁的5点时：点时：1、2、3、4各点的挠度。各点的挠度。解：解：1551P的作用下而引起的作用下而引起1点的挠度应该是点的挠度应该是P的作用下而引起的作用下而引起2点的挠度应该是点的挠度应该是P的作用下而引起的作用下而引起3点的挠度应该是点的挠度应该是P的作用下而引起的作用下而引起4点的挠度应该是点

12、的挠度应该是255235534554所以应把挠度计放在所以应把挠度计放在5点上点上,分别让分别让P作用在作用在1,2,3,4点点上上,这样测出的挠度就是题中要求的挠度这样测出的挠度就是题中要求的挠度.51234P例例2:已知：已知：P作用在作用在C点时，在点时，在C，E，D点产生的挠度分别是点产生的挠度分别是123, 将力分为两组将力分为两组P（C点）点）1P（C点），点），2P（D点）点）解：解：1） 求求cy根据功的互等定理：根据功的互等定理：3211PPPPyccPy3211PP2） 求求dy将力分为两组将力分为两组P（D点）点）1P（C点），点），2P（D点）点）根据功的互等定理：根据

13、功的互等定理：dPy1231PP1231PPPPyd123EaaaCD1P2Pcyeydy求：当求：当C点作用载荷点作用载荷1P，D点作用点作用2P时，时，在在C，E，D点引起的挠度点引起的挠度,cy,eydy123PEaaaCDEPaaaCD3） 求求eyceec2deed2将载荷分为两组将载荷分为两组P（E点）点）1P（C点），点），2P（D点）点）根据功的互等定理：根据功的互等定理：ePy2221PP1212222()ePPPPyPPPcedeEPaaaCDEaaaCD1P2Pcyeydy123PEaaaCD123EPaaaCDBR 静定基静定基（基本静定系统）（基本静定系统）相当系统相

14、当系统受力相当受力相当变形相当变形相当B Al1 1、变形协调方程：、变形协调方程：0By0)()(BBBBRyqyy2 2、物理方程：、物理方程：多余反力多余反力B Alq多余约束多余约束qyB(q)Blq=+ AlqEIqlqyB8)(4EIlRRyBBB3)(303834EIlREIqlBlyB(RB)BABR0:0qlRRYBA02:02qllRMmBAA3 3、平衡方程、平衡方程: :作业作业 13-1 13-3 13-4（一）卡氏定理（推导略）（一）卡氏定理（推导略） UP （13-9） 变形能对变形能对 P 的偏导数等于的偏导数等于 P 作用点在作用点在 P 作用方向的位移作用方

15、向的位移 。 式中：式中： 广义位移（线位移，角位移）广义位移（线位移，角位移） p广义力（力、力偶）广义力（力、力偶） 若有很多外力（广义力）作用于杆上，则该杆的变形能若有很多外力（广义力）作用于杆上，则该杆的变形能U对于任一外力的偏导数，就等于该力作用点沿该力作用方向的对于任一外力的偏导数，就等于该力作用点沿该力作用方向的位移（广义位移），表达式可写成位移（广义位移），表达式可写成 (1,2, )nnUnnP （13-10） 13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理 （二）卡氏定理的应用（二）卡氏定理的应用 1. 横力弯曲时（不计剪力的影响）横力弯曲时（不计剪力的影响） 2( )( )( )(

16、)2nllnnnUMx dxM xM xdxPPEIEIP （13-11） 3. 对于桁架结构（各杆受拉或压）对于桁架结构（各杆受拉或压） 21(1,2,)2miiiiN lUimEA 1mi iinininN lNUPEAP （13-12） 2. 当需要求广义位移之处并无对应的广义力作用时，可以虚加当需要求广义位移之处并无对应的广义力作用时，可以虚加一广义力一广义力Pk，对此力求导数后，令其为零：，对此力求导数后，令其为零： 2000( )( )( )()2kkkkllkkkPPPUMx dxM xM xdxPPEIEIP （13-11(a)） 3. 组合变形（不计剪力的影响）组合变形（不计

17、剪力的影响） ( )( )( )( ).( )( ).nnlnlnnlPUPN xN xdxEAPM xM xdxEIPnMxMxdxGIPn (13-13) 222( )( )( )222nlllPMx dxNx dxMx dxUEAEIGI例例4 求图示梁求图示梁 B 处的挠度和转角。处的挠度和转角。 例例4图图解解（一）求（一）求 B 处挠度处挠度 由于由于C、B 截面都作用着集中截面都作用着集中力力 P，为了将二个，为了将二个P区分开，区分开，可设作用在可设作用在 B 处的处的 P 为为 （图（图a） BP图图a两段梁的弯矩方程为：两段梁的弯矩方程为： BC段：段： 11()BM xP

18、 x AC段：段： 2221212()()()(),BBBM xP xP xaM xM xxxPP 1(0)xa2(2 )axa由式（由式（13-11）得）得 ： 21122120212211220()()()()()()()()aaByaBBBaaBBaM xM xM xM xUdxdxPEIPEIPP xP xP xax dxxdxEIEI 令：令： BPP 上式为：上式为： 2232122120272aaByaPxPxPaxPadxdxEIEIEI （二）求（二）求 B 处的转角处的转角 由于由于 B 处没有相应的力偶与转角相对应，可处没有相应的力偶与转角相对应，可假设在假设在 B 作用

19、作用一力偶一力偶 见图见图b 。fM两段弯矩方程为：两段弯矩方程为： BC段：段： 111()(),1ffM xM xPxMM AC段：段： 2222()(),()1ffM xPxMP xaM xM 10 xa 22axa图图bfM由式（由式（13-11）得：）得： 122212011BfffaaaUMPxMPxMP xadxdxEIEI 令：令： ，上式为：，上式为： 0fM 2221120252aaBaPxP xaPxdxdxEIEIPaEI BC： 21( )( ),;2yyM xM xP xqxxP AB： 2,1;1( )( ),.2yyyyNNqlPPM xM xqlP llP 例例 5 求图示刚架求图示刚架 C 点的垂直位移，水平位移及转角。点的垂直位移，水平位移及转角。 例例 5图图yp解解（一）垂直位移（一）垂直