数学建模暑期练习题

1、2021年数学建模暑期练习题1.食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见表1表1糖果有关数据原料A原料B原料C价格元/kg高级奶糖> 50%P > 25%< 10%厂 24水果糖20%20%羽5%15各种原料的可供量和本钱见表2。表2各种原料数据原料可供量公斤本钱员/公斤A500 20B75012C6258该厂根据订单至少需要生产600公斤高级奶糖，800公斤水果糖，为求最大 利润，试建立线性规划模型并求解。2.某商业公司方案开办5家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由 5家 建筑公司分别承建。建筑公司 A i 1,2,34,5丨对新商店Bj : j 123

2、,4,5丨的建造费用的报价万元为q i, j 123,4,5，见表3。商业公司应当对5家建 筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？表3各建筑公司的建筑费用数据B1B2B3B4B5A4871512A79171410A691287A46714610A569121063.上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了如表4所示的数据。表4小鼠肉瘤的实验数据时 间021623911252713151719体0.0040.0310.0610.0740.1030.1520.2100.339积0.5200.8131.269 1.5581假设t时刻肿瘤的体积v(t)满足指数模型dvrv

3、 dtv(0) Vo请拟合参数r。2假设t时刻肿瘤的体积v(t)满足Logistic模型dv2v vdtv(0) vo请拟合参数，。4数据见表5。试求y对Xi,X2,X3的线性回归方程并检验回归效果，能否剔除一个变量？表5回归分析数据序号X1X2X3y序号X1X2X3y10.453158641012.6581125120.423163601110.9371117633.11937711223.1461149640.634157611323.1501347754.72459541421.644739361.765123771523.1561689579.4444681161.9361435481

4、0.131117931726.858202168911.629173931829.951124995 炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀作用，随着 使用次数的增加，容积不断增大，实测得到 15组数据如表6。表6出钢数据使用次数X23456789增大容积y6.78.29.589.59.7109.969.99使用次数X10111213141516增大容积y10.4910.5910.610.810.610.910.76试分别按以下两种形式建立y对x的回归方程，画出散点图和回归曲线，并根据适当的指标判断哪一种好八1byxb2y cex .6 数据见表7。x00.511.522.5

5、33.544.555.5y3.67.510.712.713.112.511.310.711.815.422.23.6表7数据表试求形式为y a0 a1x2 a2x3 a3sinx的回归方程并检验回归效果。7.一枚导弹，以初始速度V。，水平夹角离开原点(0,0)。如果导弹在(xe, ye)点着陆，且在飞行中受到一拉力，其大小和速度的平方成比例, 轨迹的四个一阶方程为那么控制导弹飞行dVxdxdVydx，2 2Cd VxVygGVyjv； V：VxdydxdtdxVy其中y是导弹的垂直高度，x是飞行的水平距离，t是时间，Vx和Vy分别是速度V的水平和垂直分量，Cd是拉力系数，g是重力加速度。这些方

6、程仅当V0足够大 且Vx大于零时才有效。初始条件为vxt 0 v0cos ，Vyt0 v0sin ，yt 0 01当 V0 600 f/s，Cd 0.002，45时，画出导弹到达ye 0前的飞行轨迹。2求导弹的最大上升高度及出现这一高度时的飞行距离3求ye 0时的值及到达这一点时所需的时间。8. 1989年度西山矿务局五个生产矿井实际资料如表8所示，请对西山矿务局五个生产矿井1989年的企业经济效益进行综合评价。表81989年度西山矿务局五个生产矿井技术经济指标实现值指标白家庄 矿杜尔坪矿西铭矿官地矿西曲矿原煤本钱99.89103.6997.42101.1197.21原煤利润96.91124.

7、7866.44143.9688.36原煤产量102.63101.85P 104.39100.94100.64原煤销售量98.47103.16109.17104.3991.90商品煤灰分87.5190.2793.7794.3385.21全员效率108.35106.39142.35121.91158.61流动资金周转天 数71.67137.1697.65171.31204.52资源回收率103.2510010099.13100.22百万吨死亡率171.251.3515.9053.7220.789 友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每 亩需施化肥分别为0.12吨、0.2

8、0吨、0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获 500千 克，售价为0.24元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元/千克，小麦 每亩可收获350千克，售价为0.70元/千克。农场年初规划时考虑如下几个方面。1年终收益不低于350万元；2总产量不低于1.25万吨；3小麦产量以0.5万吨为宜；4大豆产量不少于0.2万吨；5玉米产量不超过0.6万吨；6农场现能提供5000吨化肥；假设不够，可在市场高价购置，但希望高 价采购量愈少愈好。试就该农场生产方案建立数学模型。10设有9个节点A(i 1,9)，他们的坐标分别为(x,yj，具体数据见表9。任意两个节点之间的电缆长度为dj | Xi Xj

9、| | yi yj |问怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆长度为最短？表9点的坐标数据表i123456789Xi0516203323352510y15202420251170311.最廉价飞机线路的选择北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子 公司之间，其出行所乘坐的交通工具是飞机， 各个城市间的飞机线路，及票价如 下表城市北京天津南京青岛上海广州深圳西安武汉杭州北京1050INF4025 :101214 :INF15天津5001520INF2520INF1716南京INF1501020INFINF2628INF青岛402010010 :253222182

10、1上海25INF201005516INF2124广州1025INF255501724INF25深圳1220INF3216 :170162718西安14INF2622INF241601819武汉INF17281821INF2718020杭州1516INF2124251819200注：数字代表价格，INF表示城市之间没有线路。 问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。12.选址问题某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上 的数字为小区间公路距离单位：千米，各个小区的人数如表10所示，问区中 心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最 近？

11、表10 各个小区的人数小区1234567人数5359896096007890673厂7694813613.高速公路修建费用问题A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，如图给出了整个地区的大致地貌情况，图中坐标系原点为O, 0B为X轴，OA为丫轴，经测量，曲线CD、EF、GH、IJ分别近似满足方程y2213sin x 、y3387 .1sin - x23151 3cos x 、5168 4cos x图中显示可分为三条沿东西方向的地形带。每个地形带的造价如下：地形带平原高地高山造价万元/公里5008

12、001400你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最廉价的路线。图中直线 AB显然是路径最短的，但不一定最廉价。你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？(a) 当道路转弯是，角度至少为140°。(b) 图中P是个重要的城市，其坐标为(44, 60)，道路必须通过P城。14. 一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种 子如果可以活过冬天，其中一局部能在第 2年春季发芽，然后开花，产种，其中 的另一局部虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，那么其中一局部可在第三年春 季发芽，然后开花，产种，如此继续，一

13、年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上x° 500颗某种一年生植物。记一棵植物春季产种的平均数为 c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的 2岁种子比例仍为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的3岁种子比例仍也为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2,3岁种子发芽率a3 .设c 10,q 0.7,a2 0.4,a3 0.2,为固定，b是变量，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。15. 船票价格某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，轮船的平均载

14、 客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比， 轮船的最大速度为25公里/小时，当船速为10公里/小时，它的燃料费用是每小 时30元，其余费用不管速度如何都是每小时480元，假设公司打算从每个 乘客身上获得利润10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格。16. 湖水的自我净化问题3设一容积为V单位：m丨的大湖受到 某种物质的污染，污染物均匀的分布在3湖中。假设从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r单位：m /天试建立求污染物浓度下降至原来的 3%需要多长时间的数学模型。某湖的容积为335176*109 m,湖水的流量为4.121*10M0m /天，求污染终止

15、后，污染物下 降到原来的3%所需的时间。2计算由下面3条曲线222Xx y 25，8所围成的面积。3计算由下面2个几何体围成的体积:8.6.4.2.0.-2 .y2 1，(x 2)2 (y 1)2 92 2x yy 133610,故总要保持-10 -1018.库存问题在物资的供给过程中,由于到货与销售不可能做到同步、 同量,17.长度、面积与体积的计算1某平原地区的一条公路经过如下坐标点，请用不同的插值方法绘出这 条公路不考虑公路的宽度。对于下表给出的数据，并估计的公路长度。X(m)03050708090120148170180Y(m)80644742486680120121138X(m)20

16、2212230248268271280290300312Y(m)160182200208212210200196188186X(m)320340360372382390416430478440Y(m)200184188200202240246280296308X(m)420380360340320314280240200Y(m)334328334346356360392390400一定的库存储藏。如果库存过多，就会造成积压浪费以及保管费的上升； 如果库 存过少，会造成缺货如何选择库存和订货策略，就是一个需要研究的问题库 存问题有多种类型，一般比较复杂，下面讨论一种简单的情况.某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略，当库存量降低到P辆自行车时就向厂家订货，每次订货 Q辆，如果某一天的需求量越过了库存量， 商店就有销售损失和信誉损失，但如果库存量过多，会导致资金积压和保管费增 加.假设现在已有如下表所示的五种库存策略，订货方案表方案编号重新订货点P/辆重新订货量Q/辆万案1125150万案2125250万< 31502