ch1绪论03人口模型与混沌

1、人口模型与混沌数学建模 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 洛伦兹 数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序。 倍尔在那个混沌的体制中，结构上的微小差异几乎都会造成行为方式上的巨大变化，可控制的行为似乎已被排除。 斯图尔特.考夫曼明年在得克萨斯的大风暴吗？背背景景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.

2、3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长如何预报人口的增长如何预报人口的增长kkrxx)1 (0 x(t) - - 时刻时刻t t的人口的人口基本假设基本假设 : : 人口人口( (相对相对) )增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxtrextx)()(0trx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长建立数学模型建立数学模型1、指数增长模型、指数增长模型(Malthus模型）模型）口数成正比,从而

3、xn+1 xn r xn xn+1 a xn其中 a=r+1. 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人即是常用的计算公式常用的计算公式记 g (x) = a x，则是函数迭代 xn= a xn1= a2xn2 = an x0 于是Malthus的结论：人口增长呈几何级数 据统计1951年-1961年人口增长率为2%，则a=1.02, 1.0235 1.99989955 与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的. xn1 g( xn ) 容易得到 所以,人口约35

4、年增加一倍，则与17001961年世界人口统计结果一致。 以此方法，到2626年世界人口将是1961年的19番，地球表面积为1.731014m2的话,每平方米就有9个人。指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与1919世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于1919世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口

5、数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )2、阻滞增长模型、阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxx

6、rxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2x txxxemmrt( )()110 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢tx0 xmx0 xm/2参数参数估计估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r r 或或 r, xr, xm m 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位- -百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 25

7、1.4阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557, xm=392.1)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk连续连续形式形式t t, x, xN N, x=N, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点( (与与r r大小无关大小无关) )离散离散形式形式x(t) : :某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量( (人口人口) )yk ：某种群第：某种群第k k代的数量代的数量( (人口人口) )若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点 生存资源是重要的因素，修改模

8、型为：yn+1 yn= r yn b yn2 b yn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则 yn+1= a yn- byn2 ， （a=r+1）这是一个非线性映射的迭代 f1(x)= ax - bx2数据观察（利用Mathematica）a = 1.029; b = 1.48654*10(-11); f1x_ := a*x - b*x2;gg = 1979, x1979/108; Forn = 1979; x1979 = 9.7542*108, n , xn + 1/108; gg = Appendgg, n + 1, xn + 1/108;sawline = Linegg; sawgr

9、aph = ShowGraphicssawline, Axes - True与统计数字接近1980 9.89564 1981 10.0371982 10.17841983 10.31951984 10.46051985 10.60121986 10.74161987 10.88151988 11.02111989 11.16011990 11.29861991 11.43651992 11.57381993 11.71031994 11.84601995 11.98091996 12.11501997 12.24821998 12.38031999 12.51152000 12.6417200

10、1 12.77012002 12.89862003 13.0245LogisticLogistic映射映射 (Robert.May的研究）的研究）f(x)= a x(1- x)， x 在0,1内变化xn+1= f(xn) 从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成xn= f n(x0), n = 0,1,2,序列xn称为x0的轨道轨道种群数的模型简化：相应的迭代为了一个序列，即什么是混沌什么是混沌? ? 数值迭代数值迭代 （ a 逐渐增加，迭代会有何结果）逐渐增加，迭代会有何结果）1倍周期分叉现象 当0a 1时，由于0 xnaxn+1 当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于

11、事实上，由方程 ax(1-x)=x 可以解出两个不动点x1* =1-1/a, x2* =0, 一个稳定 (吸引),另一个不稳定，轨道xn趋向稳定点，xn 0 食物不够物种逐渐灭亡x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点（周期1点)例：a =1.5时 xn 1/3. 种群数量趋于稳定 这两个数满足 当3a1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动, x2k-1 0.799455 x2k 0.513045 当1+61/2a3.5440903506时, 从任意的点x0出 x4k 0.44391661 x4k+1 0.84768002 x4k+2 0.445967

12、56 x4k+3 0.85242774也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期)(),(2xfxxfx例 a =3.2点失稳)发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例 a = 3.45这四个数满足),(),(),(),(324xfxxfxxfxxfx称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点 若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定分叉值如何求? 又失稳)周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点. ，(请考虑什么是周期n) 这种过程称为倍周期分叉倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck.其极限值为c*=3.5

13、69945557391。MATHEMATICAMATHEMATICA程序程序分叉图分叉图混沌的特点混沌的特点 当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的的是：轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次. 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感轨道也终将以某种方式分离. Feigenbaum常数(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口，还有 存在周期小窗口 混沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近其他映射 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代 图象方法图象方法-蛛网迭代蛛网迭代 在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1a xn(1- xn)的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代蛛网迭代. MATHEMATICAMATHEMATICA程程序序11