新人教版初三数学二次函数公式及知识点总结

1、新人教版初三数学二次函数 知识点总结一、二次函数概念：21二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c a, b , c是常数，a 0的函数，叫做二次函数。22. 二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2a , b , c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0向下0, 0y轴

2、x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .2. y ax2 c的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h , 0X=hx h

3、时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .24. y a x h k的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h , kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一：将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k，确定其顶点坐标 h , k ；保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:y=ax2平移|k|个

4、单位y=a(x h)2向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或向下(k y=ax 2+k向右(h0)【或左(*0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位y=a (x-h)2+k2.平移规律 在原有函数的根底上方法二：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减y ax2 bx c沿y轴平移：向上下平移 m个单位，yax2 bx c变成2 2y ax bx c m或 y ax bx c my ax2 bx c沿轴平移：向左右平移m个单位，y ax2 bx c变成a(x m)2 b(x m) c或 ya(x m)2 b(x m)

5、c四、二次函数ya x h $ k与y ax2 bx c的比拟从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前2 2 2b 4ac bb , 4ac b者，即卩y a x，其中h, k2a4a2a4a五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点0, c、以及0 , c关于对称轴对称的点2h , c、与x轴的交点 为,0 , X2, 0 假设与x

6、轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为b 4ac b22a 4a当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最小2a2a2a值4ac.4a2当a 0时，抛物线开口向下， 对称轴为x一，顶点坐标为2ab 4ac b22a 4aA时,2ax的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x b时，y有最大值 竺 b2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c a， b， c

7、 为常数，a 0；2. 顶点式：ya(xh) k a， h， k为常数，a 0丨；3. 两根式：ya(xxj(x X2) a 0,捲，他是抛物线与x轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化.八、1.二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 .0时，抛物线开口向上，a的值越大,0时，抛物线开口向下，a的值越小, 开口越小，反之 a的值越小，开口越

8、大; 开口越小，反之 a的值越大，开口越大.2.总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.0的前提下，当b0时，b0 ,即抛物线的对称轴在 y轴左侧;2a当b0时，_b_0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，b0 ,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a0的前提下,当b0时，b0 ,即抛物线的对称轴在 y轴右侧;2a当b0时，_b_0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，_b_0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a结论刚好与上述相反，即总结起来，在a确定的前提下,ab的

9、符号的判定：对称轴xb决定了抛物线对称轴的位置.K在y轴左边那么ab 0 ,在y轴的右侧那么ab 0,概括的说就是“左2a同右异3.常数项c0时，抛物线与y轴的交点在X轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； y轴交点的纵坐标为负.九、二次函数图象的对称1.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x轴对称2y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是2 axbx2.2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是关于y轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是ax2bx c ；y轴的交点

10、为坐标原点，即抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与总结起来，c决定了抛物线与 y轴交点的位置.总之，只要a , b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式确实定:根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式;3. 抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是3.关于原点对称

11、y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是ax2bx2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180 y ax2bx c关于顶点对称后，得到的解析式是2 axbx2b2ak关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点对称k关于点 m , n对称后，得到的解析式是2h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原 抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，

12、然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与X轴交点情况：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况 图象与x轴的交点个数：当b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点，0 , B x?, 0 (论x?)，其中的人，他是一元二次方程ax2bx c 0 a0的两根这两点间的距离 AB xb2 4ac 当 当12i a0时,a0时,2 axbx2.抛物线y0时，图象与0时，图象与都有都有x轴只有一个交点;x轴没有交点.图象落在x轴的上方，无论x为任何实数, 图象落在x轴的下方，无论x为任何实数,c

13、的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 , c);3.二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a , b , c的符号，或由二次函数中 a , b , c的符号 判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和一点对称的点坐标，或与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a 0时为例，

14、揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根0抛物线与 x轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根y=3(x+4)2y=3x 2y=3(x-2)二次函数图像参考:y=-2(x-3) 2十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:以x为自变量的二次函数 y (m 2)x2 m2 m 2的图像经过原点，那么

15、m的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1的图像大致是3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。34. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：抛物线y ax2 bx c0与x轴的两个交点的横坐标是一1、3，与y轴交点的纵坐标是1确定

16、抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例11二次函数yax2 bx c的图像如图1,那么点A 第一象限2二次函数和x=3时，函数值相等;A. 1个 B . 2个B .第二象限 C .第三象限y=ax2+bx+c a丰0的图象如图4a+b=0;当 y=-2 时，xCM (b,C)在aD 第四象限2所示，？那么以下结论：a、b同号；当x=1 的值只能取0.其中正确的个数是(1)【点评】弄清抛物线的位置与系数b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.二次函数 y=ax2+bx+c

17、的图象与x轴交于点(-2 , 0)、(x 1, 0)，且1X12，与y轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方.以下结论：ab04a+c0,其中正确结论的个数为()A 1 个B. 2 个C. 3 个D . 4个会用待定系数法求二次函数解析式2 2例3.：关于x的一元二次方程 ax +bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax +bx+c的对称轴是直线x=2，那么抛物线的顶点坐标为()A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3) D . (3 , 2)答案：C例4、如图单位：m等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到 AB与CD重合.设 x秒时，三角形与正方形重叠局部

18、的面积为ym2.1写出y与x的关系式；AD2当x=2, 3.5时，y分别是多少？3当重叠局部的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.1 5例5、抛物线y= x2+x-.2 21用配方法求它的顶点坐标和对称轴.2假设该抛物线与 x轴的两个交点为 A B,求线段AB的长.【点评】此题1是对二次函数的“根本方法的考查，第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.1 2例6、“函数yx2 bx c的图象经过点 Ac, 2，2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。题目中的矩形框局部是一段被墨水污染了无法识别的文字。1根据和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函

19、数解析式？假设能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；假设不能，请说明理由。2请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第1小题，要根据和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3当作来用，再结合条件“图象经过点 Ac，- 2，就可以列出两个 方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第2小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交

20、点的坐标等。解答11根据y 丄x22bx c的图象经过点 A c,- 2，图象的对称轴是 x=3,-c2 bc c22,解得3,3,2.所以所求二次函数解析式为1 2y x 3x 2.图象如下列图。21 22在解析式中令y=0,得x2 3x 220，解得X135, x235.所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是3+ 5,0 或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是35,0.5令x=3代入解析式，得y ,21 25所以抛物线y x 3x 2的顶点坐标为3,2 2所以也可以填抛物线的顶点坐标为3, 5等等。2函数主要关注：通过不同的途径图象、解析式等了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数;

21、将函数视为“变化过程中变量之间关系的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE如图，其中AF=2, BF=1 .试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.【评析】此题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学 生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价 x元？与产品的日销售量y件之间的关系如下表：假设日销售量x元152030y件252010y是销售价x的一次函数.?此时每日销售利润是多少元?1求出日销售量

22、y件与销售价x元的函数关系式； 2要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?15k b 25,【解析】1设此一次函数表达式为 y=kx+b 贝U解得k=-1 , b=40, ?即一次函数表达2k b 20式为 y=-x+40 2设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为 w元w= x-10 40-x=-x 2+50x-400=- x-252+225.产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：1设未知数在“当某某为何值时，什么最大或最小、最省的设问中，？“某某要设为自变量，“什么要设为函数

23、；2 ?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, 11) B. 2, 7 C.2, 11 D.2, - 32. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是2 2 2 2A. y 2(x 1) B. y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y 2x12k3. 函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x那么以下结论4.二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象如下列图x 1和x 3时，函数值相等；4a b 0当y的个数是()A.1 个B.2个C. 3个5.二次函

24、数1A丿a,b同号；当2时,x的值只能取0.其中正确D. 4由图象可知关于A.1ax2 bx c(a0)的顶点坐标-1 , -3.2丨及局部图象(如图),元二次方程 ax2 bx c 0的两个根分别是为1.3和X26.二次函数2ax bx c的图象如下列图，那么点(ac, bc)在 A.第一象限B.第二象限D.第四象限2 27.方程2x x的正根的个数为xA.0 个B.1个C.28.抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且0C=2那么这条抛物线的解析式为A.y2小x x 2B.C.yx2 x 2 或 y2x2x 2D2小yxx2yx2x2 或 yx2x2二、填空题29 .二次函数y x bx 3的对称轴是x 2，那么b 。x的取值范围是10. 抛物线y=-2 x+3各5，如果y随x的增大而减小，那么11. 一个函数具有以下性质：图象过点一 1, 2，当x v 0时，函数值y随自变量x的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可。212.