工程流体力学：第11讲（第3章-4沿流线的伯努利方程）

1、控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。形心坐标：形心坐标： x, y, z三方向质量力及速度：三方向质量力及速度： fx , fy , fz； vx , vy , vz压强：压强：ppyfxfzfyxzo),(zyx下面分析六面体微团的受力，并根据牛顿第二定律写出运动方程。x轴方向的受力轴方向的受力2dxxpp2dxxpppyfxfzf左面中心受力：左面中心受力：()2p dxpdydzx右面中心受力：右面中心受力：()2p dxpdydzx质量力：质量力： x方向的运动微分方程：方向的运动微分方程：()()22xxdvp dxp dxd

2、xdydzfdxdydzpdydzpdydzdtxxdd ddxxfmfxyz1xxdvpfdtx同理可得 y、z方向的运动微分方程。111xxyyzzdvpfxdtdvpfydtdvpfzdt上式就是理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动方程式。 将理想流体运动方程中三个方程式两边分别乘以dx、dy、dz，然后相加： 1()()yxzxyzdvdvdvpppf dxf dyf dzdxdydzdxdydzxyzdtdtdt定常流动中，第二个括号中的三项和即为压强p的全微分 dp定常流动中的流线和迹线互相重合，则 xyzdxdydzvvvdtdtdt如果作用在流体上的质量力只有重力，则 0, 0

3、, xyzfffg上式便可写成： 21102gdzdpdv对于不可压缩流体，密度为常数，积分上式可得： 22pvzCgg上式就是在重力场中理想不可压缩流体在定常条件下，沿流线的伯努利方程。 应用限制条件： （4）沿同一条流线。 （1）理想不可压流体；（2）作定常流动；（3）作用于流体上的质量力只有重力；物理意义：物理意义：不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。单位重量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。bc1aa2cbH总水头线静水头线gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z22v

4、pzCgg常速速度度水水头头位位置置水水头头压压强强水水头头总总水水头头管管AhB管管uApgBpg管管 静压管静压管管管 总压管总压管 动压动压 22vhgp1z2z2122122pvpzzggg1122()gppgzpg zhg h1212()()gppzzhgg22gvgh一、粘性流体的伯努利方程一、粘性流体的伯努利方程 在粘性流动中，为克服粘性产生的阻力，需要消耗一部分机械能，因此，粘性流体在没有能量输入的情况下，流体所具有的机械能沿流动方向将不断下降。 22112212g2g2wpupuzzhgg 总流是由许多微小流束所组成，则 ：缓变流截面上pzg常 2211221222wpvpv

5、zzhgggg能量损失能量损失22112212()d()d22vvvwvqqpupuzgqzhgqgggg1()dvvqvppzgqzgqgg设动能修正系数为： 22dvvqvuqv q22211dd222vvvqvvuvvgqgqgqggqgg动能修正系数总是大于1的。流道中的流速越均匀，其值越接近于1。在一般工程流动中，动能修正系数在1.05到1.10之间，所以在工程计算中可近似取为1。 （1）实际流体总流伯努利方程）实际流体总流伯努利方程二、总流伯努利方程二、总流伯努利方程 （2）有分流或汇流时的总流伯努利方程 如图为沿程有分流或汇流的情况。 在分流时， 。可分别列出断面 1、2及断面1

6、、3之间可伯努利方程 总能量守恒的伯努利方程 123qqq2211 122 2121 222wpvpvzzhgggg2233 311 1131 322wpvpvzzhgggg22233 311 122 2111 3222 333222wwpvpvpvgqzhgqzhgqzgggggg22233 311 122 211221 2331 3222wwpvpvpvgqzgqzhgqzhgggggg 沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装置，流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去能量。设流体获得或失去能量头为 ，则总流伯努利方程为H二、总流伯努利方程二、总流伯努利方程22112212

7、1 222wpvpvzHzhgggg式中 前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。 H（3）有机械能输入或输出时总流伯努利方程）有机械能输入或输出时总流伯努利方程水泵 扬程H： 单位重量流体获得的能量，m风机 全压P： 单位体积流体获得的能量，Pa伯努利方程伯努利方程三、应用范围：三、应用范围： 重力作用下不可压缩粘性流体定常流动任意两缓变重力作用下不可压缩粘性流体定常流动任意两缓变流截面。两截面间可以出现急变流。流截面。两截面间可以出现急变流。四、应用步骤：四、应用步骤：取缓变流截面。（取研究对象）要求己知参数要多，取缓变流截面。（取研究对象）要求己知参数要多，并包括要求解的问题。并包括要

8、求解的问题。取基准面。（水平面）取低一些，使取基准面。（水平面）取低一些，使z为正。为正。确定确定p的基准。（液体用相对压强，气体用绝对压强）。的基准。（液体用相对压强，气体用绝对压强）。列方程求解未知数。列方程求解未知数。142421412sdwQHHHhgd241420013000.12 9.8 3600 3.140.2H例例1 某矿井输水高度某矿井输水高度Hs+Hd=300m，排水管直径，排水管直径d2=0.2m,流量流量Q =200m3/h，总水头损失，总水头损失hw =0.1H，试求水泵扬程，试求水泵扬程H应为多少应为多少解：列解：列1-1与与2-2截面的伯努利方程截面的伯努利方程H

9、 = 337m矿水矿水2224Vqvd2211221222wpvpvzHzhgggg五、总流伯努利方程的应用五、总流伯努利方程的应用例2 图示为一轴流风机，已测得进口相对压力p1= -103 Pa，出口相对压力p2 = 150 Pa。设截面1-2间压力损失 100Pa，求风机的全压P ( P为风机输送给单位体积气体的能量 ) 。解： 151250PPa10000150 100p22112212Pg2gg2wpvpvzzhgg五、总流伯努利方程的应用五、总流伯努利方程的应用例例3 文丘里流量计文丘里流量计原理：文丘里管由收缩段和扩张段原理：文丘里管由收缩段和扩张段组成，根据两截面的静压差组成，根据两截面的静压差和截面积可计算管道流量。和截面积可计算管道流量。由伯努利方程由伯努利方程2211221222pvpvzzgg1212AvvA142g(1)1 () Hvd D242g(1)41 () vHqDd D流速：流速：体积流量：体积流量：1zh2oo1z2z不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重量不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重量