传热学课件第4章

1、第第4章章 热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法 重点内容：重点内容： 掌握导热问题数值解法的基本思路；掌握导热问题数值解法的基本思路； 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点 的离散方程。的离散方程。 掌握内容：掌握内容：数值解法的实质。数值解法的实质。 热平衡法建立节点的离散方程。热平衡法建立节点的离散方程。了解内容：了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式了解非稳态导热问题的两种差分格式 及其稳定性。及其稳定性。 本章重点内容本章重点内容作业作业4-9引言引言求解导热问题的三种基本方法：求解导热问题的三种基本方法： 理论分析法；理论分析法； (2)

2、(2)数值计算法；数值计算法； (3)(3)实验法实验法 4.1 4.1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想一一. .数值解法的基本概念数值解法的基本概念1.1.实质：实质： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。 数值解：离散点上被求物理量值的集合。数值解：

3、离散点上被求物理量值的集合。2.2.基本思路：（基本思路：（1 1）物理模型简化成数学模型是基础；）物理模型简化成数学模型是基础；（2 2）建立节点离散方程是关键；）建立节点离散方程是关键；（3 3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。导数的阶数。二二. .数值求解的步骤数值求解的步骤建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立

4、温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初场改进初场是是否否二二. .数值求解的步骤数值求解的步骤（1 1）建立控制方程及定解条件）建立控制方程及定解条件 0y2222txt控制方程：控制方程：0 x0tt Hx 0yWy 定解条件：定解条件：二维矩形域二维矩形域内稳态无内内稳态无内热源，常物热源，常物性的导热问性的导热问题题fHxtH,ythxt2二二. .数值求解的步骤数值求解的步骤（2 2）区域离散化（确立节点）区域离散化（确立节点） mnxy步长：相邻两节点间的距离步长：相邻两节点间的距离元体：每个节点都可以看成是以它为中心的一个元体：每个节点都可以

5、看成是以它为中心的一个小区域的代表，把节点代表的小区域称为元体，小区域的代表，把节点代表的小区域称为元体，又叫控制容积。又叫控制容积。 节点：网格线的交点，用（节点：网格线的交点，用（ ， ）表）表示示二二. .数值求解的步骤数值求解的步骤（3 3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）建立节点物理量的代数方程（离散方程）mnxy 1,1, 1, 1,41nmnmnmnmnmttttt 对节点（对节点（ , , ）的代数方程，当）的代数方程，当时，有：时，有： 二二. .数值求解的步骤数值求解的步骤（4 4）设立迭代初场）设立迭代初场（5 5）求解代数方程组）求解代数方程组求解时遇到的问题：求解

6、时遇到的问题： 线性；线性； 非线性；非线性； 收收敛性等。敛性等。线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不再变化；不再变化；非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不断更新。程中不断更新。是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。之解的偏差是否小于允许值。 （6 6）解的分析）解的分析 热流量热流量 热应力热应力 热变形热变形

7、建立离散方程常用的方法建立离散方程常用的方法（1 1）TaylorTaylor（泰勒）级（泰勒）级数展开法数展开法(2)(2)控制容积平衡法控制容积平衡法( (也称也称为热平衡法为热平衡法) )xyxynm(m，n)MN二维矩形域内稳态无内热二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题源，常物性的导热问题4.2 4.2 内节点离散方程的建立内节点离散方程的建立一一. .泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)(m,n)的温度的温度t tm,nm,n来表示节点来表示节点(m+1,n)(m+1,n)的温度的温度t tm+1,nm+1,n! 3! 23

8、,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm用节点用节点(m,n)(m,n)的温度的温度t tm,nm,n来表示节点来表示节点(m-1,n)(m-1,n)的温度的温度t tm-1,nm-1,nxyxynm(m，n)MN将上两式相加将上两式相加)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截断误差截断误差nmnmnmnmnmxtxxtxttt,444,222, 1, 1122移项整理即得二阶导数的中心差分：移项整理即得二阶导数的中心差分

9、：同样可得：同样可得：一一. . 泰勒级数展开法泰勒级数展开法 n对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：热微分方程为：0y2222txt0222,1,1,2, 1, 1ytttxtttnmnmnmnmnmnmxy= 1,1, 1, 1,41nmnmnmnmnmtttttn其节点方程为：其节点方程为：n若若 ，则一一. . 泰勒级数展开法泰勒级数展开法二二. 热平衡法热平衡法基本思想：基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和从而获得温度场的代数方程组

10、，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：能量守恒： 流入控制体的总热流量控制体内热源生成热流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量ovi即：即：voi)(ovi即：从所有方向流入控制体的总热流量即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热控制体内热源生成热 控制体内能的增量控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用二二. 热平

11、衡法热平衡法稳态、无内热源时：稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量从所有方向流入控制体的总热流量001,1, 1, 1nmnmnmnm内部节点：内部节点：0右左下上(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)二二. 热平衡法热平衡法以二维、稳态、有内热源的导热问题为例以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：此时：0v右左下上xtyxtAdddd左可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里假定温度呈分段线性分布

12、。假定温度呈分段线性分布。xt dd二二. 热平衡法热平衡法(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,nxttyxtynmnm, 1dd左xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下内热源：内热源：yxVv二二. 热平衡法热平衡法0v右左下上0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnmyx时：时：042,1,1, 1, 1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,4二二. 热平衡法热平衡法xtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,41无内热

13、源时变为：无内热源时变为： 1,1, 1, 1,41nmnmnmnmnmttttt重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流流(或热流密度或热流密度)前的系数。前的系数。二二. 热平衡法热平衡法4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解1.1.边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立(1) 平直边界上的节点平直边界上的节点2,1,1, 1,2241xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1

14、, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx若xywqwq4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解(2) 外部角点外部角点22212,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmxywqwqyx若4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解(3) 内部角点内部角点,1,1,11,2,1(22632)2m nmnm nm nmnm nwtttttxxq0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmxywqwqyx若

15、4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解(3) 辐射边界条件：辐射边界条件：)(4,4nmfwTTq或其他或其他 的情况：的情况：wqconstqw (1) 第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，代入上面各，代入上面各式即可式即可 )(,nmfwtthq 第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，代入上面，代入上面各式即可各式即可 绝热或对称边界条件？绝热或对称边界条件？2.2.节点方程组的求解节点方程组的求解11 112 21121 122 2221 12 2.n nn nnnnn nna ta ta tba ta ta tba ta ta tb写出所有内节点和边界节点的温度差分方写

16、出所有内节点和边界节点的温度差分方程程 , ,n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数方程式：个代数方程式：代数方程组的求解方法：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭代解法4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解通过有限次运算获得代数方程精确解; ; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设先对要计算的场作出假设, ,在迭代计算在迭代计算过程中不断予以改进过程中不断予以改进, ,直到计算结果与假定值的结直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。果相差小于允

17、许值。称迭代计算已经收敛。缺点：缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题。于非线性问题。迭代解法有多种：简单迭代（迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高迭代）、高斯斯-赛德尔迭代等赛德尔迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点：赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点每次迭代时总是使用节点温度的最新值温度的最新值4.3 4.3 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解及代数方程的求解1112 21112221 12221 12 21.1.1.n nn nnnnnnntba ta tatba ta tatba ta t

18、a迭代解法求解步骤迭代解法求解步骤（1）构建迭代方程）构建迭代方程（2）迭代求解）迭代求解假设迭代初场，记为假设迭代初场，记为t1(0)、 t2(0)、 tn(0)，由，由上式逐一计算出改进值上式逐一计算出改进值t1(1)、 t2(1)、 tn(1)。注意：每次迭代均用温度的最新值代入。注意：每次迭代均用温度的最新值代入。（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已经到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已经达到迭代收敛，迭代计算终止。达到迭代收敛，迭代计算终止。4.3 4.3 边界节点离散方程的建立边界节

19、点离散方程的建立 及代数方程的求解及代数方程的求解在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第例如：根据第 k 次迭代的数值次迭代的数值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得节点温度：可以求得节点温度：(1)( )( )1112 21111.kkkn ntba ta ta(1)(1)( )2221 1222(1)(1)(1)(1)1 12 2111.1.kkkn nkkkknnnnnnnnntba ta tatba ta tata4.3 4.3 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解及代数方程的求解判断迭代是否

20、收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及及k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最次迭代得到的最大值大值(k)maxt当有接近于零的当有接近于零的t 时，第三个较好时，第三个较好36 1010 允许的偏差；相对偏差 值一般取4.3 4.3 边界节点离散方程的建立边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解及代数方程的求解主对角线占优：主对角线占优：对于常物对于常物性导热问题所组成的差分性导热问题所组成的差分方程组方程组,迭代公式的选择迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系应

21、使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和其他变量系数绝对值之和,此时用迭代法求解代数方此时用迭代法求解代数方程一定收敛程一定收敛.121311212322313233111aaaaaaaaa4.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法1.一维非稳态导热时间一维非稳态导热时间空间区域的离散化空间区域的离散化 1n 1i niNIxx, n i1,ni1,ni,1n i,1n i非稳态项的离散非稳态项的离散 向前差分：向前差分： n,in,iinintttt22212 tttininn,iO1 tttininn,i1向后差分：向后差

22、分： tttininn,i1中心差分：中心差分： tttininn,i2114.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法2.一维非稳态导热微分方程的离散方法一维非稳态导热微分方程的离散方法（1）泰勒级数展开法）泰勒级数展开法 21112xtttattininininin inininintxattxat21121210,022xxtat中心中心差分差分向前向前差分差分显式差显式差分格式分格式优点：计算工作量小；优点：计算工作量小；缺点：受时间及空间步长的限制。缺点：受时间及空间步长的限制。4.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法 21111112xt

23、ttattininininin中心中心差分差分向向后后差差分分优点：不受时间及空间的步长影响；优点：不受时间及空间的步长影响；缺点：计算工作量大。缺点：计算工作量大。隐式差隐式差分格式分格式4.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法 优点：优点：不受网格是否均匀限制；不受网格是否均匀限制； 不受物性是否为常数限制。不受物性是否为常数限制。（2）热平衡法）热平衡法 xttqiNiNiNN1, 1 iNfctthq iNiNjNttxcxtcq1,22 iNiNiNfiNiNttxctthxtt112 fiNiNiNtxchtxaxaxchtt2222112214.4 4.4

24、 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法2aFoxBiFoxhxcxch2h xBi fiNiNiNtBiFotFoFoBiFott2222111网格傅网格傅立叶数立叶数网格网格毕渥毕渥数数4.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法0,022xxtatxtxt00 ,00,0 xxxtxxxttth, 1, 2 , 121111NntFottFotinininin Nnttn, 2 , 1,01 fiNiNiNtBiFotFoFoBiFott2222111 iitt124.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法3.讨论一维导热问题显式差分格

25、式稳定性限制的讨论一维导热问题显式差分格式稳定性限制的 物理意义物理意义 1111 2iiiinnnntFottFot212xaFo120Fo fiNiNiNtBiFotFoFoBiFott22221110221FoBiFo12FoBi1以较小的为依据确定所以较小的为依据确定所允许采用的时间步长允许采用的时间步长4.数值解法的求解步骤数值解法的求解步骤4.4 4.4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法xyx （1）首先选择空间坐标间隔）首先选择空间坐标间隔 ，即距离步长。对二维即距离步长。对二维问题一般使问题一般使 ； 2141Fox（2）对显式格式差分方程，根据方程的稳定性条件选）对显式格式差分方程，根据方程的稳定性条件选择允许的最大时间步长