工程流体力学流体静力学

1、工程流体力学流体静力学第2章 流体静力学1. 流体处于绝对静止或相对静止状态下的力学规律。2. 静止流体内部压强的分布规律，静止流体对物体表面的作用力的计算方法。 流体处于静止时，表面力中粘性力可不予考虑,仅考虑静压强。主要研究内容：作用于静止流体上的力的平衡问题。第2章 流体静力学2.1 静止流体的压强特点只有法向应力的作用，亦即压应力或压强。属于表面力，作用于流体微团表面，具有传递性。（1）压强的作用方向沿作用面的内法线方向 静止流体内部，切应力为零，只有沿作用面内法线方向的应力压强0limFAAp 第2章 流体静力学（2）压强的大小与作用面的方向无关pyzxpyppdzdydxAO图 .

2、7 1微分四面体平衡 2/2/2/dxdypPdxdzpPdydzpPSpPzzyyxxnn斜 面：YOZ平面：XOZ平面：XOY平面：0)cos(0XxnPPFnxx 11co026s()xnxSnpdydzpfdxdydxzX , fx 质量力和单位质量力取流场中微元四面体，做受力分析：cos2()1Sn xdydz第2章 流体静力学1110226xnxpdydzpdydzfdxdydz031dxfppxnx对于无限小的流体质点，dx0, 即可得：pppnxppppzyx同理，可得： 在静止流体中，压强的大小与作用面的方向无关！沿任意方向压强的变化，可以用下式来表示： pppdpdxdyd

3、zxyz第二次课第2章 流体静力学2.2 静止流体平衡方程dxdydzpppdxxyzxo 在静止流体内部取六面体，做x轴方向受力分析：表面力：x轴正方向x轴负方向质量力：x轴正方向上的分量pdydz()ppdx dydzxxf dxdydzx轴方向力的平衡方程为：()0 xpf dxdydzpdydzpdx dydzx第2章 流体静力学整理可得：xpfx同理：zpfzypfy写成矢量式：p f 上式称为静止流体平衡方程静止流体平衡方程，或欧拉平衡微分方程（Euler，1755）。 方程式的物理意义：在静止流体中，作用在单位体积流体上的质量力与压强合力（压强梯度）平衡。在静止流体内部，如果压强

4、在某个方向有变化，即压强有梯度，必是由于那个方向有质量力分量存在。第2章 流体静力学 左式中，第一、第二及第三式两端分别乘以dx、dy及dz，然后等号的左边和右边分别相加，并考虑到 可得： pppdpdxdydzxyz()xyzdpf dxf dyf dzzpfypfxpfzyx 该方程是流体静力学基本方程的另一种形式，也称为压差公式（直角坐标系下）。 欧拉平衡微分方程既适用于不可压缩流体，也适用于可压缩流体。它既适用于绝对静止的流体，也适用于相对静止的流体。 第2章 流体静力学圆柱坐标系中的压差公式：()rzrf ddpf drf dz等压面 将连通的同种流体内部压强相等的点连接起来所得到的

5、曲面。constxyxp),(0dzfdyfdxfdpzyx0dzfdyfdxfzyx0 lf d质量力与等压面垂直在等压面上，即dp=0则：可得：写成矢量式：第2章 流体静力学图(a) 当流体处于绝对静止时，等压面是水平面。图(b) 当流体在作相对运动时，此时等压面是倾斜的平面。图(c) 两种重度不同互不相混的液体在同一容器中处于静止状态。两种液体之间的分界面也是等压面。Ag(a)(b)(c)g12图 .3 2质量力与等压面a质量力与等压面第2章 流体静力学2.3 重力场中静止流体内部的压强 不可压缩流体.hzp0Bgfffyxz ; 0; 0gdzdzfdyfdxfdpzyx当质量力为重力

6、时：由压差公式得：在等压面上，dp=0，则dz=0, 故等压面方程为： z=常数 即重力场中，水平面为等压面。 对为常数的不可压缩流体，积分压差公式：Cgzp第2章 流体静力学 设液体表面压强为p0，即z=0时，p=p0，故积分常数 C=p0，由此可得： 式中：p 静止液体内某点的压强； p0 液体表面压强； z 垂直坐标，水面处z=0，向上为正。 0pgzp 据此，水面下B点的压强P为：z=-h0ppgh 可见，液体内部的力由液面压力和液柱自身产生的重力两部分组成。 流体静力学基本方程流体静力学基本方程第2章 流体静力学静水压强等值传递帕斯卡定律 如果液面压强 p0 有所增减 p0，那么内部

7、压强p 亦相应地有所增减 p，且 p = p0。 关于压强的几点说明：（1）压强的表示方法以大气压 为基准相对压强（表压） 以完全真空为基准绝对压强eapppappgh相对压强为负值真空度vapppeppvpap第2章 流体静力学绝对压强真空度 p pv v绝对压强大气压强绝对真空压强值表压强（相对压强）peappapapp0p各种压强之间的关系： （2）压强的大小只与深度有关，沿深度呈线性分布。 深度相同，底面积相同，产生的压力就相同，与液体多少无关。第2章 流体静力学（3）压强的度量单位 a.从压强的基本定义出发，用单位面积上的力来表示，在国际单位制（SI）中以N/m2来表示或者是帕（帕斯

8、卡），用Pa表示。 工程单位中规定大气压用符号at表示（海拔200m处正常大气压）为1kgf/cm2，即1at= 1kgf/cm2，称为工程大气压。 b.以大气压来表示。国际上规定标准大气压用符号atm表示(温度为0C时海平面上的压强)。 511.01325 10atmPa419.81 10atPaPatmPat第2章 流体静力学 c.以液柱高度来表示。通常用水柱高度或者汞柱高度，单位为mH2O、mmH2O或mmHg。例如一个标准大气压相应的水柱高度为：2232101325N/m10.33mH O1000/9.81/atmPhgkg mm s水相应的汞柱高度为 2332101325N/m0.7

9、6mHg760mmHg13.6 10/9.81/atmPhgkg mm s汞一个工程大气压相应的水柱和汞柱高度分别为： 422329.81 10 N/m10mH O1000/9.81/atPhgkgmm s水735.5mmHgatPhg汞第2章 流体静力学 气体压强的分布1.1.按不可压缩流体计算按不可压缩流体计算 气体的密度很小，对于一般的仪器、设备，由于高度z有限，重力对气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点的压强相等，即 pC2 2. .大气层压强的分布大气层压强的分布大气受重力作用，密度、温度都随高度变化。标准大气（温度、压强、密度）对流层、同温层划分，温度变化规律规定第2章 流

10、体静力学（1）对流层标准大气压分布 5.256101.3144300zp（2）同温层 1100022.6exp6334zp式中，z=011000m，p的单位为Pa式中，z=1100024000m，p的单位为Pa第2章 流体静力学2.4 非惯性坐标系中的静止液体 流体质点随特定坐标系一起运动，质点有加速度，非静力学问题仍可使用静止流体平衡方程和压差公式。 质量力 = 重力 + 惯性力 等加速直线运动中的相对静止液体gaahshzxAfpa 盛液容器以加速度a作直线运动，液面与水平面呈角度，建坐标随容器一起运动，液体相对静止。 物体受与加速度相反方向的惯性力作用质量力第2章 流体静力学gaahsh

11、Afpazx作用于A点上的质量力：,0,xyzfaffg 质量力的合力：22fga 质量力与等压面（与水面呈角的平面族，虚线）垂直，且tan=a/gd()()xyzpf dxf dyf dzadxgdz由压差公式得：积分并带入边界条件x=0, z=0, p=pa,可得：()()(tan)aaaappaxgzpgxzpgxzg()asapg hzpghz =-(h+hs) ！相对静止液体和绝对静止液体内的任意一点压强完全相同！【例】如图，为了测定运动物体的加速度，在运动物体上装一直径为d的U形管，测得管中液面差h=0.05m，两管的水平距离l=0.3m，求运动物体的加速度a。 【解】 选动坐标系

12、Oxyzxyzdpf dxf dyf dz质量力 xfa 0yf zfg图 .10 2物体加速度的测定第2章 流体静力学代入压差公式 ()adxgdzdpadxgdzpaxgzC积分第2章 流体静力学边界条件1 x =0，z =0，p =0（大气压为相对压强，即表压） C=0 20.05 9.8071.635m/s0.3haglx = l，z = h，p =0带入得：边界条件2paxgz带入上式得：0algh第2章 流体静力学 等角速度旋转运动中的相对静止液体rzrpao 盛液容器以角速度 作旋转运动达到稳定状态，液体与容器之间处于相对静止状态。取如图所示柱坐标。 液体的离心力质量力z0zfg

13、 2rfr0f 使用圆柱坐标系下的压差公式得：()rzdpf drrf df dz2()rdrgdz 积分得：22()2rpgzC 第2章 流体静力学代入边界条件：r=0, z=z0时，p=pa，得0aCpgz2201()2apprg zz所以压强分布在等压面上，2()0dprdrgdz 积分得：222rgzC等压面方程设自由表面的z坐标为zs，则有边界条件：r=0时，zs=z0得C=-gz0，则自由表面方程为：22012szzrg2201()2srg zz代入压强分布方程得：00()()aaspppg zzgzgzh第2章 流体静力学2.5 静止液体对平板的作用力 平板AB，斜放于静水液体中

14、，自由表面为大气压。建立如图所示直角坐标系。阴影为AB的正视投影。 作用力的大小一般取相对压强进行计算。作用在微分面积dA上的压力：sindFg dAdhgyA作用在整个面积A上的合力：sinAydAFdFgAydAAB平面对Ox轴的面积矩cAAydAyyc为面积A形心的纵坐标第2章 流体静力学则：sincccFgAyg Ap Ah式中：FAB上静水总压力；hc形心C的淹没深度； pc形心C点的压强 作用在任意位置、任意形状平面上的总压力，等于该平面面积与其形心点所受静压强的乘积。总压力的方向沿平面的内法线方向。 力的作用点 作用在AB上的相对总压力作用点为D（压强中心），在形心C以下。到x轴

15、距离yD，由合力矩定理得：2sinsinADAF ydF ygydy dA yAg2xAy dAIAB平面对Ox轴的惯性矩第三次课第2章 流体静力学sinsincDxgy A ygIxDcIyy A惯性矩的平行移轴定理：2xCCIIy A代入上式CDCCCIyyyey A式中：yD相对总压力作用点D到Ox轴的距离 yCAB平面形心到Ox轴的距离 ICAB平面对通过形心C的形心轴xC的惯性矩 e 压强中心对形心的纵向偏心距相对总压力作用点D到Oy轴的距离：xyCDCCCIxxxfy A第2章 流体静力学式中：xC AB平面形心到Oy轴的距离 IxyCAB平面对平行x、y轴的形心轴xC、yC的惯性

16、矩 f 压强中心对形心的横向偏心距xyCAIxydA 工程中，AB平面形状往往有纵向对称轴（与Oy轴平行），故相对总压力作用点D必定在对称轴上（f=0)。实际计算只需算出yD，作用点的位置即可完全确定。常见图形的几何特征量可查表（找到yC, Ix的计算公式）第2章 流体静力学2.6 静止液体对曲面的作用力 在工程中，还经常要计算如圆形储水池壁面、弧形闸门以及球形容器等，这些壁面多为柱面或球面。其计算方法可推广到其它的曲面。 液体作用在柱面上的总压力空间力系，合成总压力第2章 流体静力学 柱面上的总压力图 .15 2曲面上的总压力dFdFzdFxAxzdAxdAzO( ) yBVpFFzFx 柱

17、型曲面AB，一侧受静止液体压力，建立如图所示直角坐标系，z轴垂直向下，xOy为自由表面。 沿柱面母线方向取一条形微分面积dA，受到的相对总压力为dF，其大小为 dFghdAh分解为水平和垂直分力：coscosxxdFdFghdAghdAsinsinzzdFdFghdAghdAdAx 、dAzdA在铅垂平面和水平平面上的投影第2章 流体静力学相对总压力的水平分力xxAxxFAFdghd其中 是柱面在铅垂平面上的投影面Ax对Oy轴的静矩： dxxAh AxcxcxFgh Ap AFx柱面上总压力的水平分力Ax柱面在铅垂平面上的投影面积hc投影面Ax的形心点的淹没深度pc投影面Ax形心点的压强 水平

18、分量Fx静止液体对平面的作用力,作用线通过压力中心第2章 流体静力学 若曲壁在水平方向的投影有重叠部分，如右图A-B-C-D曲线中的BCD段，BC和CD段的水平分力大小相等，方向相反，合力为零，总压力的水平分力则由AB段决定。 图 .16 2曲壁上的水平分力zxOBDAC相对总压力的垂直分力pZzzAzhdFdgVAFg 是柱面到自由液面（或者是到自由液面的延伸面）之间铅垂柱体（称为压力体压力体）的体积。 pdzzAh AV 垂直分量Fz压力体内液体的重量，作用线通过压力体重心第2章 流体静力学液体作用在柱面上的相对总压力为： 22xzFFF相对总压力方向与水平面的夹角为： tg,arctan

19、zzxxFFFF即 相对总压力的作用点： 静止流体对二维曲壁总压力的水平分力Fx的作用线和垂直分力Fz的作用线交于一点，相对总压力的作用线通过该点，并与水平方向的夹角为。第2章 流体静力学 压力体的概念压力体的界定范围界定范围： 假设沿着柱面边缘上每一点作自由液面（或延伸面）的铅垂线，这些铅垂线围成的壁面和以自由液面为上底、柱面本身为下底的柱体压力体压力体。通常压力体有以下三种情况：实压力体虚压力体半虚半实压力体图 .17 2压力体(a)(b)(c)第2章 流体静力学（a）实压力体 压力体和液面在柱面的同侧，压力体内充满液体。Fz方向向下， Fx方向向右。（b）虚压力体 压力体和液面在柱面的两

20、侧，一般上底为自由液面的延伸面，压力体内无液体。Fz方向向上，Fx方向向左。（c）半实半虚压力体 压力体和液面在柱面同侧，但其为自由液面的延伸面，压力体部分充有液体。Fz方向向下，Fx方向向右。图 .20 力2圆滚门上的总压H1H2D第2章 流体静力学第2章 流体静力学第2章 流体静力学【例】密闭盛水容器，水深h1=60cm、h2=100cm，水银测压计读值h=25cm，试求半径R=0.5m的半球形盖AB所受总压力的水平分力和铅垂分力。 【解】由于 HgH O201pg hgh 自由液面上压强不是大气压，需虚设一个自由面（用水来代替p0的压强），其上移的高度为：图 .182BARh2h1hP0

21、HgH O220 113.6 0.25 0.62.8mH Ogph hgg 20H Opg球盖AB所受总压力的水平及铅垂分力为： H O2222() 9807 (12.2.88) 3.14 0.529.25kNxhFgRH OH O223349807 0.53.14 0.52.566kN31 42 3zPVgRFg方向向左（把半球分成上下两部分）方向向下第2章 流体静力学【例】一半径R=10m的圆弧形闸门如图，上端淹没深度h=4m，设闸门的宽度b=8m，若圆弧的圆心角=30o，求: （1）闸门上受到水的相对总压力F的大小和方向（2）相对总压力的作用点D的淹没深度图 .19 2圆弧形闸门上的总压

22、力O( )yhDhaABebxzFD【解】选取O-xyz坐标：在自由液面上取原点O，取自由液面为xOy平面，z轴铅垂向下。 闸门AB所受的水总压力F在x方向的分力大小Fx：sinsin2xCxCxRFp Ag hb Rgh A2549.8kN（方向向右） 第2章 流体静力学水总压力F在z方向的分力大小Fz：pzFgV其中压力体Vp是图中abeBAa所围成的柱体体积。 23p21sincos279.cos36012VRRhRmRbp9807 79.12775.93kNzFgV（方向向上） 222665.25kNxzFFF775.93arctgarctg16.932549.8zxFF相对总压力：相

23、对总压力与水平面的夹角： 圆弧形闸门，构成平面汇交力系，总压力的作用线通过圆心，过圆心作与x轴成=16.93的力作用线交闸门于D。D点即是总压力F的作用点。故D的淹没深度为： sin4 10 sin16.936.91mDhh R 第2章 流体静力学【例】有一圆滚门如图，长度l=10m，直径D=4m，上游水深H1=4m，下游水深H2=2m，求作用于圆滚门上的水平和铅垂方向的分压力。 图 .20 力2圆滚门上的总压H1H2D【解】求圆滚门的左侧水平及铅垂方向分力11498074 10784.56kN22xHFgD l （方向向右）2219807410616.19kN88zFgDl （方向向上）圆滚

24、门的右侧222298072 10196.14kN22xHFgHl 2229807410308.1kN1616zFgDl （方向向左）（方向向上）第2章 流体静力学故圆滚门上水总压力的水平分力大小 12588.42kNxxxFFF（方向向右） 铅垂分力大小 12924.29kNzzzFFF（方向向上） 2.7 浮力 浮力基本定律 沉没在液体内的物体表面受到液体作用力的合力方向垂直向上，大小等于沉没物体排开液体的重力。 ABCDEFGHzyxMNPQ物体表面受到的作用力在x、y方向分量为零 如右图所示：第2章 流体静力学z方向铅垂分力： ()()()zz ABCDz EFGHABCD MNPQEF

25、GH MNPQFFgVVFg V物体阿基米德浮力定律 液体比重计 中空玻璃，头部有重物，上部圆杆上有刻度。在液体中受到的浮力等于比重计的重力。放入不同密度的液体中，圆杆露出液面的长度不同，由圆杆上刻度读出液体比重。第2章 流体静力学2.8 流体静压强的测量 重力作用下流体静力平衡方程的几何意义zzAgApABpp0aBpzB00测压管水头线gv在各点的测压管水头必然相等v当p0= pa时，测压管液面和容器液面在同一水平面。0pgzpgpzgp0ConstzgpzgpBBAA 在如右图所示的坐标系下，静力平衡方程可表示为：papa() pfzzAgApABpp0aBpzB00测压管水头线papa

26、h2h1第2章 流体静力学0102ABppghppgh12ABpphhgg1212ABABzhzhhzzh22ABABppzzhhggABABppzzgg第2章 流体静力学上式写成： pzC其中g流体重度式中各项物理意义： z位置水头位置水头，即某流体质点（如图中A、B点）在基准面以 上的高度，可以直接测量。 物理意义单位重量液体具有的重力势能（或称位能） 压强高度压强高度，在某流体质点处设置一竖直向上的开口玻 璃管，称为测压管，液体沿测压管上升的高度 /p/php hp称为压强水头压强水头。 物理意义单位重量液体具有的压强势能（简称压力能） 单位重量液体具有的重力势能和压强势能之和称为单位重

27、量的流体质点具有的总势能总势能，亦称为测压管测压管水头水头。 第2章 流体静力学注意：注意：1.使用条件为同种、连续、静止液体。如果不是， 应根据水静力学基本公式分别计算每一种液体所 产生的压力。2.方程式中各物理量单位统一。各测点位置水头基 准面要统一。 静压力的测量1.U形管测压计 流体力学研究、实际工程中，测量流体中的压强分布第2章 流体静力学 一端与测点相连，一端与大气相连。 求pA（A处是水，密度为，测压计内是密度为 的水银）正U形管1 水平面12为等压面，则ghgapA所以，gaghpA正U形管2 用于测量两个容器或同一容器（如管道）流体中不同位置两点的压强差。 水平面12为等压面

28、，则)(11hhgppAA第2章 流体静力学ghghppBB22)(12hhgghghppABBA所以，倒立U形管 上例，U形管测压计也可以倒立使用。 两端流体密度分别为1、 2 ，U形管内流体密度为 ，且 1， 221 水平面BB为等压面，则111222pghghpgh所以，121 122ppghhhg U形管测压计广泛应用与科研、实际工程。第2章 流体静力学2.多管组合测压计 当两点的压差很大时，采用多管测压计。 在如右图所示的双U形管测压计中，水平面11、22和33为等压面，则111232322315434()ABppghpghppghpg hhgh所以，2321122315434()ABppghghppghg hhgh32342311154()ABppghghghghg hh 若给定流体和指示液密度以及各高度，可计算出A、B两点的压强差。第2章 流体静力学3.微压计 当压强或压差值非常小时，