微积分B版-上册--1[1].3常用经济函数

1、1.3 常用的经济函数单利与复利单利与复利利息是指借款者向货款者支付的报酬利息是指借款者向货款者支付的报酬, ,它是根据本它是根据本金的数额按一定比例计算出来的金的数额按一定比例计算出来的. .单利计算公式单利计算公式 设初始本金为设初始本金为p(元元), ,银行年利率为银行年利率为. r则第一年末本利和为则第一年末本利和为rppS 1)1(rp 则第二年末本利和为则第二年末本利和为rprpS )1(2)21(rp 第第n年末的本利和为年末的本利和为)1(nrpSn 复利计算公式复利计算公式 设初始本金为设初始本金为p(元元), ,银行年利率为银行年利率为. r则第一年末本利和则第一年末本利和

2、rppS 1)1(rp 第二年末本利和第二年末本利和22(1)(1)(1)Sprrprpr第第n年末本利和年末本利和(1)nnSpr例例1 现有初始本金现有初始本金100元元, , 若银行年储蓄利率为若银行年储蓄利率为7%, ,问问: :(1) 按单利计算按单利计算, , 3年末的本利和为多少年末的本利和为多少? ?(2) 按复利计算按复利计算, , 3年末的本利和为多少年末的本利和为多少? ?(3) 按复利计算按复利计算, , 需多少年能使本利和超过初始本金需多少年能使本利和超过初始本金解解 (1) 已知已知,100 p,07. 0 r由单利计算公式得由单利计算公式得121)07. 031(

3、100)31(3 rps(元元)即即3年末的本利和为年末的本利和为121元元. .(2)由复利计算公式得由复利计算公式得5 .122)07. 01(100)1(333 rps(元元)的一倍的一倍? ?例例1 现有初始本金现有初始本金100元元, , 若银行年储蓄利率为若银行年储蓄利率为7%, ,问问: :(3) 按复利计算按复利计算, , 需多少年能使本利和超过初始本金需多少年能使本利和超过初始本金解解的一倍的一倍? ?prpsnn2)1( 2)07. 1( n2ln07. 1ln n2 .1007. 1ln/2ln n即需即需11年本利和可超过初始本金一倍年本利和可超过初始本金一倍.(3)0

4、7. 0 r若若n年后的本利和超过初始本金的一倍年后的本利和超过初始本金的一倍, ,即要即要多次付息多次付息单利付息情况单利付息情况 因每次的利息都不计入本金因每次的利息都不计入本金, ,故若故若一年分一年分n次付息次付息, , 则年末的本利和为则年末的本利和为)1(nrnpS )1(rp 即年末的本利和与支付利息的次数无关即年末的本利和与支付利息的次数无关. .复利付息情况复利付息情况 因每次支付的利息都记入本金因每次支付的利息都记入本金, ,故故年末的本利和支付利息的次数是有关系的年末的本利和支付利息的次数是有关系的. .设初始本金为设初始本金为p(元元), ,年利率为年利率为, r息息,

5、 则一年末的本利和为则一年末的本利和为若一年分若一年分m次付次付(1)mrSpm贴贴 现现若银行年利率为若银行年利率为7%,今年的今年的100元钱到明年为多少？元钱到明年为多少？若银行年利率为若银行年利率为7%,明年的明年的107元钱到今年值多少？元钱到今年值多少？100元元未来值现值票据的持有人票据的持有人, ,为在票据到期以前获得资金为在票据到期以前获得资金, ,从票面从票面金额中扣除到期期间的利息后金额中扣除到期期间的利息后, ,得到所余金额的现得到所余金额的现金称为金称为贴现贴现. .考虑更一般的问题考虑更一般的问题:确定第确定第n年后价值为年后价值为R元钱的现元钱的现值值. .假设在

6、这假设在这n年之间复利年利率年之间复利年利率r不变不变. .利用复利计算公式有利用复利计算公式有nrpR)1( (1)nRnRpr得到 年后价值为 元钱的现值：Rnrp表示第 年后到期的票据金额；表示贴现率；表示现在票据转让时银行付给的贴现金额。1202(1)(1)(1)nnRRRpRrrr若票据持有人有若干张不同期限及不同面额的票据；设贴现率相同，则一次性转让而得的现金为：贴现因子1rn表示在贴现率 下 年后到期的 元钱的贴现值例例2 某人手中有三张票据某人手中有三张票据, , 其中一年后到期的票据金其中一年后到期的票据金额是额是500元元, , 二年后到期的是二年后到期的是800元元, ,

7、 五年后到期的是五年后到期的是2000元元,已知银行的贴现率已知银行的贴现率6%, , 现在将三张票据向银现在将三张票据向银行做一次性转让行做一次性转让, , 银行的贴现金额是多少银行的贴现金额是多少? ?解解 由贴现计算公式由贴现计算公式, , 贴现金额为贴现金额为55221)1()1()1(rRrRrRp 其中其中,5001 R,8002 R,20005 R.06. 0 r故故21.2678)06. 01(2000)06. 01(800)06. 01(50052 p(元元).需求函数需求函数)(PfQ Q表示需求量表示需求量,价格价格. .需求函数的反函数需求函数的反函数)(1QfP P表

8、示表示习惯上将价格函数也统称为需求函数习惯上将价格函数也统称为需求函数.称为称为价格函数价格函数,而减少而减少, , 因此因此, ,调减少函数调减少函数. 例如例如, , 函数函数)0, 0( babaPQd称为称为线性线性需求函数需求函数(如图如图).一般地一般地, , 商品的需求量随价格商品的需求量随价格随价格的上涨随价格的上涨的下降而增加的下降而增加,需求函数是单需求函数是单OPQd)(PfS 表示需求量表示需求量, ,SP表示价格表示价格. .供给函数供给函数一般地一般地, , 商品的供给量随价格的上涨而增加商品的供给量随价格的上涨而增加,随价格的下降而减少随价格的下降而减少, 因此因

9、此, , 供给函数是单调供给函数是单调增加函数增加函数. .例如例如, , 函数函数)0, 0( dcdcPQs称为称为线性线性供给函数供给函数(如图如图). .OPQs市场均衡市场均衡对一种商品而言对一种商品而言, , 如果需求量等于供给量如果需求量等于供给量, , 则则这种商品就达到了这种商品就达到了市场均衡市场均衡. . 以线性需求函数以线性需求函数和线性供给函数为例和线性供给函数为例,令令sdQQ dcPbaP 0PcabdP 这个价格这个价格0P称为该商品的称为该商品的市场均衡价格市场均衡价格. .市场均衡价格就是需求函数和市场均衡价格就是需求函数和两条直线的交点的横坐标两条直线的交

10、点的横坐标. .供给函数供给函数市场均衡市场均衡当市场价格高于均衡价格时当市场价格高于均衡价格时, 将出现将出现供过于求供过于求的的而当市场价格低于均衡价格时而当市场价格低于均衡价格时,0QQQsd 称称0Q为为市场均市场均将出现将出现供供当市场均衡时有当市场均衡时有根据市场情况的不同根据市场情况的不同, ,需求函数与供给函数还可以是二次函数、多项需求函数与供给函数还可以是二次函数、多项衡数量衡数量.式函数式函数现象现象,不应求不应求的现象的现象.的的市场均衡点市场均衡点).,(00QP都可以找到相应都可以找到相应与指数函数等但其基本规律是相同的与指数函数等但其基本规律是相同的,例例3 某种商

11、品的供给函数和需求函数分别为某种商品的供给函数和需求函数分别为,1025 PQsPQd5200 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量. .解解 由均衡条件由均衡条件sdQQ 得得10255200 PP21030 p70 P165102500 PQ即市场均衡价格为即市场均衡价格为7, , 市场均衡数量为市场均衡数量为165. .产品成本固定成本可变成本产品成本固定成本可变成本成本函数成本函数不随产量变化的成本随产量变化的成本)(xCC )0( x成本函数成本函数表示费用总额与产量表示费用总额与产量(或销售量或销售量)之间的依赖关系之间的依赖关系数值数值)0(C

12、就是产品的固定成本值就是产品的固定成本值. .设设)(xC为成本函数为成本函数, , 称称)0()()( xxxCxC为为单位成本函数单位成本函数或或平均成本函数平均成本函数. .成本函数是单调增函数成本函数是单调增函数, 其图像称为其图像称为成本成本曲线曲线.例例5 某工厂生产某产品某工厂生产某产品, ,每日最多生产每日最多生产200单位单位. .日固定成本为日固定成本为150元元, , 生产一个单位产品的可变成本生产一个单位产品的可变成本为为16元元. . 求该厂日总成本函数及平均成本函数求该厂日总成本函数及平均成本函数. .解解 据据,)(变变固固CCxC 可得总成本可得总成本,1615

13、0)(xxC 200, 0 x平均成本平均成本.15016)()(xxxCxC 它的它的收入函数与利润函数收入函数与利润函数销售某种商品的收入销售某种商品的收入,R等于商品的单位价格等于商品的单位价格P乘以销售量乘以销售量,x即即,xPR 称其为称其为收入函数收入函数. . 而销售利润而销售利润L等于收入等于收入,R减去成本减去成本,C即即当当0 CRL时时, , 生产者盈利生产者盈利; ;当当0 CRL时时, , 生产者亏损生产者亏损; ;当当0 CRL时时, , 生产者盈亏平衡生产者盈亏平衡; ;使使0)( xL的点的点0 x称为称为盈亏平衡点盈亏平衡点(又称为又称为保本保本点点). .称

14、其为称其为利润函数利润函数,CRL 例例6 某工厂生产某产品年产量为某工厂生产某产品年产量为x台台, , 每台售价每台售价500元元, , 当年产量超过当年产量超过800台时台时, , 超过部分只能按超过部分只能按9折出售折出售. .这样可多售出这样可多售出200台台, , 如果再多生产如果再多生产, ,去了去了. .本年就销售不出本年就销售不出试写出本年的收益试写出本年的收益(入入)函数函数. .解解 因为产量超过因为产量超过800台时售价要按台时售价要按9折出售折出售, ,又超过又超过1000台台(即即800台台+200台台)时时, ,多余部分销售不出去多余部分销售不出去, ,而超出部分无

15、收益而超出部分无收益. .因此因此, ,要把产量分三阶段来考虑要把产量分三阶段来考虑. .依题意有依题意有从从.1000,4900001000800),800(4504000008000,500 xxxxx 1000,2005009 . 08005001000800),800(5009 . 08005008000500)(xxxxxxR例例8 某电器厂生产一种新产品某电器厂生产一种新产品, ,在定价时不单是根据在定价时不单是根据生产成本而定生产成本而定, , 还要请各消费单位来出价还要请各消费单位来出价, ,意以什么价格来购买意以什么价格来购买. . 根据调查得出需求函数为根据调查得出需求函数为.45000900 Px该厂生产该产品的固定成本是该厂生产该产品的固定成本是270000元元, ,的变动成本为的变动成本为10元元. . 为获得最大利润为获得最大利润, , 出厂价格应为出厂价格应为解解 以以x表示产量表示产量,C表示成本表示成本, ,P为价格为价格, , 则有则有.27000010)( xxC而需求函数为而需求函数为,45000900 Px即他们愿即他们愿而单位产品而单位产品多少多少? ?代入代入)(xC中得中得.7200009000)( PPC收入函数为收