必修1-322函数模型的应用实例(1)

1、2022年年3月月22日星期二日星期二2022年年3月月22日星期二日星期二 数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动 预测既是一门科学，也是一门艺术科学预测的力预测既是一门科学，也是一门艺术科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法

2、例如根据月亮的盈亏来预测的人我国数学工作者例如根据月亮的盈亏来预测的人我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制例如，中科院系统线或曲线，用于进行预测和控制例如，中科院系统对我国粮食产量的预测对我国粮食产量的预测. 连续连续11年与实际产量的平均年与实际产量的平均误差只有误差只有1（2）假设这辆汽车的里程表在汽车）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶

3、这段路程时汽车里试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数程表读数s km与时间与时间t h的函数解析的函数解析式，并作出相应的图象。式，并作出相应的图象。例例1 1 一辆汽车在某段路程中的行驶一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：速度与时间的关系如图所示：908070605040302010vt1 2 3 4 5（1）求图中阴影部分的面积，并说）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；明所求面积的实际含义；例例1 1 一辆汽车在某段路程中的行驶一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：速度与时间的关系如图所示：908070605040302010vt1 2 3 4

4、 5（1）求图中阴影部分的面积，并说）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；明所求面积的实际含义；解解(1)(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积为 阴影部分的面积表示汽车在这阴影部分的面积表示汽车在这5 5小时内行驶小时内行驶的路程为的路程为360km360km。360165175190180150例例1 1 一辆汽车在某段路程中的行驶一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：速度与时间的关系如图所示：908070605040302010vt1 2 3 4 5解解(2)(2)根据图形可得：根据图形可得：S200450 t10 t2054) 1(80t21 t2134)2(9

5、0t32 t2224)3(75t43 t2299)4(65t54 t（2）假设这辆汽车的里程表在汽车）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数表读数s km与时间与时间t h的函数解析式，的函数解析式，并作出相应的图象。并作出相应的图象。这个函数的图像如下图所示：这个函数的图像如下图所示：例例2 2 某某桶装水桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定经营部每天的房租、人员工资等固定成本为成本为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单价与日元，销售单价与日均销

6、售量的关系如表所示：均销售量的关系如表所示：销售单价销售单价/ /元元日均销售量日均销售量/ /桶桶6 67 78 89 910101111121248048044044040040036036032320 0280280240240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知：销售单价每增加分析：由表中信息可知：销售单价每增加1 1元，日元，日均销售量就减少均销售量就减少4040桶。桶。销售利润销售额成本（水销售利润销售额成本（水房租和人员房租和人员工资工资）例例2 2 某某桶装水桶装水经营部每

7、天的房租、人员工资等固定经营部每天的房租、人员工资等固定成本为成本为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单价与日元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：均销售量的关系如表所示：销售单价销售单价/ /元元日均销售量日均销售量/ /桶桶6 67 78 89 910101111121248048044044040040036036032320 0280280240240解：解：设在进价基础上增加设在进价基础上增加x x元后，日均经营利润为元后，日均经营利润为y y元，元，则有日均销售量为则有日均销售量为 xx40520) 1(40480 （桶）（桶） 而 130, 0405

8、20, 0 xxx即且(52040 )200yx xyx时，当5 .6有最大值有最大值 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。 240520200 xx 240(6.5)1490 x 例例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：身高身高/cm60708090100110120130140150160170体重体重/kg6.137.99.9912.1515.0217.520.9226.8631.1138.8547.2555.05根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数根据上

9、表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数 baxybxaylnxbay 中找到一种函数中找到一种函数,使它使它比较近似地反映该地未成年男性体重比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高关于身高x的函数的函数关系，试写出这个函数的解析式关系，试写出这个函数的解析式,并求出并求出a,b的值的值若体重超过相同身高男性平均值的若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重体重78 kg，他的体重是否正常？，他的体重是否正常？确定模拟函数的解析式是解答本题的关键确定模拟函数的解析式是解答本题的关键

10、 例例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：身高身高/cm60708090100110120130140150160170体重体重/kg6.137.99.9912.1515.0217.520.9226.8631.1138.8547.2555.05根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数 baxybxaylnxbay 中找到一种函数中找到一种函数,使它使它比较近似地反映该地未成年男性体重比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高关于身高x的函数的函数关系，试写出这个函数的解析式关系，试写

11、出这个函数的解析式,并求出并求出a,b的值的值分析：分析：根据上表的数据用根据上表的数据用Excel图表功能描点画出图表功能描点画出折线图，观察这个图象，折线图，观察这个图象，发现各点的连线是一条向发现各点的连线是一条向上弯曲的折线：上弯曲的折线：给上表添加趋势线：给上表添加趋势线：例例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：baxybxaylnxbay可以看出其增量基本是逐步增大的可以看出其增量基本是逐步增大的.根据题中所提供的根据题中所提供的参考函数模型，可以判断它不能用函数参考函数模型，可以判断它不能用函数 来近似反映来近似反映 根

12、据这些点的走向趋势根据这些点的走向趋势及趋势线，我们可以考及趋势线，我们可以考虑用函数虑用函数 身高身高/cm60708090100110120130140150160170体重体重/kg6.137.99.9912.1515.0217.520.9226.8631.1138.8547.2555.05增量增量1.772.092.162.872.483.425.944.257.748.47.8来近似反映来近似反映 例例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：xbay身高身高/cm60708090100110120130140150160170体

13、重体重/kg6.137.99.9912.1515.0217.520.9226.8631.1138.8547.2555.05增量增量1.772.092.162.872.483.425.944.257.748.47.8来进行拟合来进行拟合 解：解：可选择函数可选择函数 选取较接近于趋势线的两个点选取较接近于趋势线的两个点(80,9.99),(130,26.86)得得801309.9926.86a ba b解得解得b1.02，a2.05. 所以，该地区未成年男所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数性体重关于身高的函数关系式可以选为关系式可以选为 2.05 1.02xy 例例3 以下是某地不同身高的

14、未成年男性的体重平均值表：以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：xbay来进行拟合来进行拟合 解：解：可选择函数可选择函数 选取较接近于趋势线的两个点选取较接近于趋势线的两个点(80,9.99),(130,26.86)得得801309.9926.86a ba b解得解得b1.02，a2.05. 所以，该地区未成年男所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数性体重关于身高的函数关系式可以选为关系式可以选为 2.05 1.02xy 将将x=175代入代入 若体重超过相同身高男性平均值的若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高倍为偏

15、瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重体重78 kg，他的体重是否正常？，他的体重是否正常？2.05 1.02xy 1752.05 1.02y 得得 65.58 由于由于 781.191.265.58所以，这个男生体重几乎所以，这个男生体重几乎开始超重，应注意合理饮开始超重，应注意合理饮食和锻炼食和锻炼 精确度的误差直接精确度的误差直接 影响结果！影响结果！ 与课本的例与课本的例6加以比较：加以比较：函数模型应用的基本步骤函数模型应用的基本步骤第一步：阅读理解，认真审题第一步：阅读理解，认真审题 第二步：引进数学符号，建立数学模型第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为设自变量为x，函数为，函数为y，并用，并用x表示各相关量，表示各相关量，然后根据问题已知条件，如数据表，作出散点图然后根据问题已知条件，如数据表，作出散点图及趋势线，选取适当的函数模型。及趋势线，选取适当的函数模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予