大学物理实验误差与数据处理

1、 误差理论与数据处理误差理论与数据处理空间科学与物理学院实验中心空间科学与物理学院实验中心2014.032014.03实验的任务实验的任务 1.1.选用合适仪器和采取正确测量方选用合适仪器和采取正确测量方法、运算方法法、运算方法, ,将测量将测量误差误差减至最小减至最小. . 2.2.求出在测量条件下求出在测量条件下, ,被测量量的被测量量的最最近真值近真值. . 3.3.估算最近真值的可靠程度估算最近真值的可靠程度, ,即估算即估算近真值的近真值的不确定度不确定度并科学表达出来并科学表达出来. .不给出不确定度的实验结果是无价不给出不确定度的实验结果是无价值的值的. .第一节第一节 测量与误

2、差测量与误差1.测量与国际单位制测量与国际单位制（1）直接测量）直接测量（等精度与非等精度）（等精度与非等精度）如：用米尺测长度、用天平测如：用米尺测长度、用天平测质量；质量； 间接测量：如：伏安法测电阻、旋转液体法测重力加速度等。间接测量：如：伏安法测电阻、旋转液体法测重力加速度等。（2）七个基本国际单位：长度）七个基本国际单位：长度-米米 m、质量、质量-千克千克 kg、时间、时间-秒秒 s、物质、物质的量的量-摩尔摩尔 mol、电流、电流-安培安培 A、温度、温度-开尔文开尔文 K、发光强度、发光强度-坎德拉坎德拉 cd2.误差误差误差误差定义定义：测量值与测量值与真值真值之差之差x =

3、 x x0称称“绝对误差绝对误差”E =x0（100%）称称“相对误差相对误差”x 在在相同的测量相同的测量中，用绝对误差和相对误差评价测中，用绝对误差和相对误差评价测量结果的优劣都是可行的。但是在具有可比性的量结果的优劣都是可行的。但是在具有可比性的不同不同测量测量中，只有采用相对误差才能进行合理评价。中，只有采用相对误差才能进行合理评价。 例如例如: :在测量条件相同的情况下，对两个长度进行在测量条件相同的情况下，对两个长度进行测量：测量：真值真值测量值测量值绝对误差绝对误差 相对误差相对误差 1m 1.002m2mmE10.2%100m99.95m5cmE20.05%显而易见，后者的测量

4、比前者要好得多。显而易见，后者的测量比前者要好得多。 真值是一个客观理想概念，一般不可能知道。？真值是一个客观理想概念，一般不可能知道。？真值概念的变通：真值概念的变通： 1.理论真值：理想条件下的理论导出值可以作为真值。理论真值：理想条件下的理论导出值可以作为真值。 2.约定真值：公认的一些常数，约定真值：公认的一些常数，NA、c、e、h。 3.相对真值：用精确度高一个数量级的仪器测量值。相对真值：用精确度高一个数量级的仪器测量值。 4.近真值：多次测量的算术平均值，可视为真值的最佳近真值：多次测量的算术平均值，可视为真值的最佳估计值。估计值。xxnxnii101011limxxnii误差是

5、不可避免的，真误差是不可避免的，真值是测不出的。值是测不出的。如：米如：米 - 公制长度基准公制长度基准光在真空中光在真空中1s时间内传播距离的时间内传播距离的1/299792485第二节第二节 误差分类误差分类1.系统误差系统误差特征：特征：A.有规律，自成系统有规律，自成系统;B.可以消除。可以消除。 ，仪器误差，仪器误差 ，理论（方法）误差，理论（方法）误差 ，环境和条件误差，环境和条件误差 ，个人误差，个人误差2.偶然偶然(随机随机)误差误差特征：特征：A.随机产生，无规律；随机产生，无规律；B.不能消不能消除除,误差大小与符号随机变化误差大小与符号随机变化,偶然误差也有其必然性。偶然

6、误差也有其必然性。 .环境原因环境原因 .个人原因个人原因随机误差不能用修正或采取某种技术措施的办法来消除。随机误差不能用修正或采取某种技术措施的办法来消除。3.粗大误差粗大误差明显超出统计规律预期值，应予剔除明显超出统计规律预期值，应予剔除过失及错误不属于误差范围！过失及错误不属于误差范围！系统误差包括：系统误差包括：误读、误算、视差、刻度误差、磨损误差、接触力误误读、误算、视差、刻度误差、磨损误差、接触力误差、热变形误差差、热变形误差等。等。弹点集中，但偏离靶弹点集中，但偏离靶心心系统误差大系统误差大弹点分散弹点分散偶然误差大偶然误差大弹点集中于靶心弹点集中于靶心系统误差系统误差和偶然误差

7、都小和偶然误差都小,与被测量真与被测量真值之间的一致程度高。值之间的一致程度高。打靶的类比打靶的类比 精密度精密度 准确度准确度 精确度精确度指出下列情况包含哪些误差？指出下列情况包含哪些误差？ 千分尺零点不准；千分尺零点不准； 游标卡尺的游标不均匀；游标卡尺的游标不均匀； 水银温度计毛细管不均匀；水银温度计毛细管不均匀； 忽略空气浮力对称量的影响；忽略空气浮力对称量的影响； 不良习惯引起的读数误差；不良习惯引起的读数误差； 电表的接入误差；电表的接入误差； 磁电系电表中永久磁铁的磁场减弱；磁电系电表中永久磁铁的磁场减弱； 电源电压不稳定引起的测量值的起伏。电源电压不稳定引起的测量值的起伏。第

8、三节第三节 系统误差的处理系统误差的处理1. 系统误差的分类系统误差的分类（1）可定系统误差可定系统误差特点：大小和正负是确定或按可知的规律变化的。特点：大小和正负是确定或按可知的规律变化的。（2）未定系统误差未定系统误差 测量结果必然存在误差，应予以说明测量结果必然存在误差，应予以说明特点：它是按某种规律变化的，但我们无法确定其规律。特点：它是按某种规律变化的，但我们无法确定其规律。2. 对系统误差的处理方法对系统误差的处理方法 (1) 设法消除、减弱可定系统误差，或对测量结果进行修正。设法消除、减弱可定系统误差，或对测量结果进行修正。 (2) 无法消除未定系统误差，只好在测量结果中合理地表

9、达出来。无法消除未定系统误差，只好在测量结果中合理地表达出来。仪器自身的误差是一种典型的未定系统误差。仪器自身的误差是一种典型的未定系统误差。1.随机误差的产生：随机误差的产生： 由测量过程中的一些偶然的或不确定的因素产生的。由测量过程中的一些偶然的或不确定的因素产生的。2.随机误差服从的统计规律：随机误差服从的统计规律：第四节第四节 随机误差的处理随机误差的处理 多次测量时，测量的偶然误差服从一定的统计规律，比多次测量时，测量的偶然误差服从一定的统计规律，比如服从正态分布、平均分布、三角分布、梯形分布、矩形如服从正态分布、平均分布、三角分布、梯形分布、矩形分布规律等分布规律等。 在相同条件下

10、，对同一物理量在相同条件下，对同一物理量 X 进行等精度多次测量，进行等精度多次测量，则各次测量的则各次测量的误差误差为为 i = xi - x0 得得 x1 , x2 , x3 ,xn, 设真值为设真值为x0 xxnxnii101则各次测量的则各次测量的偏差偏差为为 vi = xi - x 当测量次数较多时，各测量列可能有如下分布规律当测量次数较多时，各测量列可能有如下分布规律: (误差误差)F (出现频率出现频率)0f()0 +d 正态分布正态分布测量次数测量次数 时时f() 误差的概率密度分布函数误差的概率密度分布函数 抵偿性抵偿性 对称性对称性 单峰性单峰性其中其中 标准误差标准误差

11、1d-f22221)(ef22221)(ef 683. 0dfpf()0- 3. 标准误差标准误差niixxn120)(1 )(n概率 表示物理量A任做一次测量时，测量误差落在- + 之间的可能性为68.3%大则数据分散，误差大，大则数据分散，误差大，精密度低。精密度低。小则数据集中，误差小，精小则数据集中，误差小，精密度高。密度高。f()0大小注意：注意： 并不是一个具体测量误差值，并不是一个具体测量误差值，它表示在相同条件下进行多次测量后的随它表示在相同条件下进行多次测量后的随机误差概率分布情况，是按一定置信概率机误差概率分布情况，是按一定置信概率给出的随机误差变化范围的一个评定参量，给出

12、的随机误差变化范围的一个评定参量，具有统计意义。具有统计意义。是评定所得测量列可靠是评定所得测量列可靠程度高低的指标。程度高低的指标。用用、2和和3标志测量值的可信程度时，其置信概率是标志测量值的可信程度时，其置信概率是不同的：不同的：两个问题：两个问题：（1）实际上测量只能是有限次测量；）实际上测量只能是有限次测量；（2）真值是不知道的。）真值是不知道的。 ？niixxn120)(1 6. 平均值的平均值的标准偏差标准偏差 ?(平均值也有离散性平均值也有离散性) 1()(12nnxxSniix4. 测量列的测量列的平均值平均值nxxnii1称为测量列称为测量列X的平均值的平均值。可视为可视为

13、x0的最佳估计值的最佳估计值(近真值近真值)。 5.测量列的测量列的标准偏差标准偏差S （Standard Deviation ）1)(12nxxSniixnSSxx二者关系：二者关系：. .贝塞尔公式贝塞尔公式 标准偏差反映了数据集的离散程度，标准偏差反映了数据集的离散程度，数值越小，离散程度越小。数值越小，离散程度越小。当测量次数有限时，可用其标准偏差当测量次数有限时，可用其标准偏差S作为标准误差作为标准误差 的估算值的估算值, S = 。niixxn120)(1 xS的统计意义：的统计意义：0 x落在落在xxSxSx到 间的可能性为间的可能性为 68.3%落在落在 间的可能性为间的可能性

14、为 95.5%xxSxSx2 2到xxSxSx3 3到 间的可能性为间的可能性为 99.7%落在落在平均值的标准偏差平均值的标准偏差 在本实验课中，为了提高测量数据的可置信度，采用第在本实验课中，为了提高测量数据的可置信度，采用第二种二种 或第三种规范或第三种规范即将即将 扩大扩大2-3倍，故倍，故 n=(5-10)次次，表示表示用测量列的标准偏差表示平均值的标准偏差用测量列的标准偏差表示平均值的标准偏差，就能使，就能使置信概率提高到置信概率提高到95%以上。以上。xSx2_xSx3_xxxSnnSnS 0 x0 xxS参考参考P11标准偏差标准偏差S的计算途径的计算途径按按 mode键切换到

15、键切换到SD（统计模式）（统计模式） shift clr 1 是清除所有数据（如果以前是清除所有数据（如果以前输入过）输入过） 然后输入数据。比如输入然后输入数据。比如输入 25 41 37 就按就按 25 DT（dt就是就是M+按键按键 在在AC上面）上面） 每个数据都输入后，每个数据都输入后， 可以按可以按AC 然后按然后按shift 1（或（或2） 找到找到标准差的选项标准差的选项 然后然后= 。在在Excel中实现计算：打开中实现计算：打开Excel表格，把要计算标准方差的数据复制进表格，把要计算标准方差的数据复制进去，然后，去，然后，“插入函数插入函数”，在对话框中的选择类别后面，选

16、择，在对话框中的选择类别后面，选择“统计统计”，再在下面的框中，选择函数里面，选择再在下面的框中，选择函数里面，选择“STDEV”，然后确认，最后用，然后确认，最后用鼠标选中要计算标准方差的一组数据，然后确认，就可以得到结果。鼠标选中要计算标准方差的一组数据，然后确认，就可以得到结果。只考虑随机误差的测量结果的表示只考虑随机误差的测量结果的表示(测量次数在测量次数在5-10之间时之间时)%1003_xSESxSxxxxx平均值和标准偏差都用函数计算器中的统计功能来处理平均值和标准偏差都用函数计算器中的统计功能来处理1)(12nxxSniix)(3206. 01)()(45555.1871121

17、gnmmSgmnmniimnii例例1 1用用天平测质量天平测质量m（单位：（单位：g g）：）：187.9, 187.2, 187.5, 187.1, 187.0, 187.3, 187.8, 187.6, 187.7187.9, 187.2, 187.5, 187.1, 187.0, 187.3, 187.8, 187.6, 187.7。下面计算测量误差：下面计算测量误差： （ mS和和m可用函数计算器求出）可用函数计算器求出）(187.5 0.4)0.4100%100%=0.18%187.5mmmm SgSEm例例2 用温度计对某个不变温度等精度重复测量用温度计对某个不变温度等精度重复测量,测得值测得值 (i=1,2,3,n)列列于表中