正弦定理(张西挺)

1、1.1.1 正弦定理龙结龙结 张西挺张西挺.C.BA.创设情境创设情境回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角） CcBbAasinsinsin=222cba 90BAsinaAc 探究：探究：这个关系式对任意三角形均成立吗？知识探究知识探究CBAabcsinbBcsin1cCc 如何证明如何证明 这个等式？这个等式？sinADBcsinADCbBcCbsinsinABCcbaDCcBbsinsinBbAasinsinCcBbAasinsinsin 同理：证法一：证法一：不妨设C为最大角，若若C C为为直角直角，已证得结论成立；若若C C为为锐角锐角，过A点作AD垂直于BC于Dsinsinsi

2、nabcABC定理证明定理证明sinADbCsinADcB若若C C为钝角，为钝角，此时也有：sinADbC即sinsincBbC同样可得：CcBbAasinsinsin 0sin(180)ADCbsinADBcACBbcaD 过A点作AD垂直于BC交BC的延长线于D，sinADcB即CcBbsinsin证法二证法二：(外接圆法外接圆法) 如图所示如图所示,作作ABCABC外接圆，外接圆，连接连接COCO并延长交圆并延长交圆O O于点于点D D，连连接接BDBD，则则同理同理2sinbRB2sincRCRCcBbAa2sinsinsin（R R为为ABCABC外接圆半径）外接圆半径）ABCab

3、cODA=DRaDA2sinsinRAa2sin 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形.注意：定理适合任意三角形。注意：定理适合任意三角形。 )(2sinsinsin为三角形外接圆的半径RRCcBbAa正弦定理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等角的正弦的比相等, , ,a b A B四个量中知三求一正弦定理在解三角形中的两类应用正弦定理在解三角形中的两类应用: :CcBbAasinsinsin(2)(2)已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角

4、, ,求另一边的对角求另一边的对角( (进而求其他的角和边进而求其他的角和边) )(1)(1)已知两角和任一边已知两角和任一边, ,求另一角和其他两条边求另一角和其他两条边. .C.BA. 例例1.开头引例在ABC中，已知AB= 100米，A=，B=，求AC.00180()=15CAB经典例题经典例题已知两角和任一边已知两角和任一边求其他两边和一角求其他两边和一角解：BACCABsinsin由正弦定理 得0015sin120sin100sinsinCBABAC?334)623(50(米)所以AC的长约为334米.已知两角和任一边已知两角和任一边求其他两边和一角求其他两边和一角变式变式1 (1)

5、已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足a=3，A=300，B150，解三角形。答案：C=1350,b= ,c= . (2)已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足B450，C=600，c=1，求最短边的边长。答案：b= .)26(232336例例 2 在ABC中，已知已知a=16， b= ， A=30，求角，求角B，C和边和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理解：由正弦定理BbAasinsin得得231630sin316sinsinaAbB所以所以6060, ,或或120120当当 时时6060C=90.32

6、cC=30.16sinsinACac316当当120120时时B16300ABC16316经典例题经典例题已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和求其他边和角角变式变式2 (1)已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足a= ，b= , A=450，求B.答案：B=300. (2)已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足a= ，b= , A=450，求B.答案：B=600或或1200. (3)已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足a= ，b= , A=450，求B. 答案：无解无解.6333236回顾小结回顾小结一个定理sinsinsinabcABC两类应用（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角正弦定理（从而进一步求出