中考复习：与圆有关的计算

1、与圆有关的计算与圆有关的计算考纲解读考纲解读会计算弧长和扇形的面积；了解正多边形的概念、会计算弧长和扇形的面积；了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系正多边形与圆的关系.1.1.弧长与扇形面积弧长与扇形面积若若n n表示半径为表示半径为R R的圆中的弧所对的圆心角的度数，的圆中的弧所对的圆心角的度数，那么圆周长那么圆周长C=_,C=_,弧长弧长l=_,l=_,圆面积圆面积S=_,SS=_,S扇形扇形=_=_.=_=_.2 2R RRn180R R2 22360RnlR21顶点都在同一个圆上的正多边形顶点都在同一个圆上的正多边形叫做叫做_,_,这个这个圆叫做该正多边形圆叫做该正多边形的的_。正多

2、边形与圆的关系正多边形与圆的关系圆内接正多边形圆内接正多边形外接圆外接圆如图，如图，五边形五边形ABCDEABCDE是是O O的内接正五边形，圆心的内接正五边形，圆心O O叫做这个正五边形叫做这个正五边形的的_；OAOA是这个正五边形是这个正五边形的的_；AOBAOB是这个正五边形是这个正五边形的的_；OMBCOMBC，垂足为垂足为M M，OMOM是这个正五边形的是这个正五边形的的的_。在其他在其他的正多边形中也有同样的定义。的正多边形中也有同样的定义。中心中心半径半径中心角中心角边心距边心距D（ ）A AB BC正多边形和圆正多边形和圆4 计算弧长计算弧长计算扇形的面积计算扇形的面积 201

3、42014常州常州 已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm3cm，此扇形的，此扇形的弧长是弧长是2 2cmcm，则此扇形的圆心角等于，则此扇形的圆心角等于_度，度，扇形的面积是扇形的面积是_cm_cm2 2( (结果保留结果保留)1203用化归思想解决生活中的实际问题用化归思想解决生活中的实际问题各地中考真题再现各地中考真题再现（20152015莱芜）如图，在直角梯形莱芜）如图，在直角梯形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，ABABBCBC，以，以BCBC为直径的为直径的O O与与ADAD相切，点相切，点E E为为ADAD的的中点，下列结论正确的个数是（）中点，下列结论正确的个数是（）D

4、（20152015兰州兰州）如图，）如图，O O的半径为的半径为2 2，ABAB，CDCD是互是互相垂直的两条直径，点相垂直的两条直径，点P P是是O O上任意一点（上任意一点（P P与与A A，B B，C C，D D不重合），过点不重合），过点P P作作PMPMABAB于点于点M M，PNPNCDCD于点于点N N，点，点Q Q是是MNMN的中点，当点的中点，当点P P沿着圆周转过沿着圆周转过4545时，点时，点Q Q走过的路径长为走过的路径长为连结连结OPOP，由矩形性质知：，由矩形性质知：OP=MNOP=MN，且它们相交于中，且它们相交于中点点Q Q，则当点则当点P P沿着圆周转沿着圆周

5、转过过4545时，点时，点Q Q在以在以O O为圆为圆心，以心，以OQ=1OQ=1为半径的圆周为半径的圆周上转过上转过4545，因此只要求，因此只要求出以出以1 1为半径，为半径，4545圆心角圆心角所对弧的长便可。所对弧的长便可。（20152015，-1-1）（20152015常德常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形扇形AOBAOB与与扇形扇形A A1 1O O1 1B B1 1是相似扇形，且是相似扇形，且半径半径OAOAOO1 1A A1 1=k=k（k k为不等于为不等

6、于0 0的常数的常数) )。那么下面四个。那么下面四个结论结论：AOBAOBA A1 1O O1 1B B1 1AOBAOBA A1 1O O1 1B B1 1成立的个数成立的个数为：为：（ ）A A、1 1个个B B、2 2个个C C、3 3个个D D、4 4个个D（20152015莱芜）如图，在扇形莱芜）如图，在扇形OABOAB中，中，AOB=60AOB=60，扇形半径为扇形半径为r r，点，点C C在在弧弧ABAB上，上，CDCDOAOA，垂足为，垂足为D D，当当OCDOCD的面积最大时的面积最大时，弧弧ACAC的长为的长为 r41提示：先用勾股定理求提示：先用勾股定理求CD,再用二次

7、函数。再用二次函数。（20152015本溪）如图，点本溪）如图，点D D是等边是等边ABCABC中中BCBC边的延边的延长线上一点，且长线上一点，且AC=CDAC=CD，以，以ABAB为直径作为直径作O O，分别，分别交边交边ACAC、BCBC于点于点E E、点、点F F（1 1）求证：）求证：ADAD是是O O的切线；的切线；（2 2）连接）连接OCOC，交，交O O于点于点G G，若，若AB=4AB=4，求线段，求线段CECE、CGCG与与弧弧GEGE围成的阴影部分的面积围成的阴影部分的面积S S（1 1）证明：）证明：ABCABC为等边三角形，为等边三角形，AC=BCAC=BC，又，又A

8、C=CDAC=CD，AC=BC=CDAC=BC=CD，ABDABD为直角三角形，为直角三角形，ABABADAD，ABAB为直径，为直径，ADAD是是O O的切线；的切线；（2 2）解：连接）解：连接OEOE，OA=OEOA=OE，BAC=60BAC=60，OAEOAE是等边三角形是等边三角形，AOE=60AOE=60，CB=BACB=BA，OA=OBOA=OB，COCOABAB，AOC=90AOC=90，EOC=30EOC=30，ABCABC是边长为是边长为4 4的等边三角形，的等边三角形，AO=2AO=2，由勾股定理得：，由勾股定理得：OC=OC=同理等边三角形同理等边三角形AOEAOE边边

9、AOAO上高是上高是=（20152015营口）如图，点营口）如图，点P P是是O O外一点，外一点，PAPA切切O O于点于点A A，ABAB是是O O的直径，连接的直径，连接OPOP，过点，过点B B作作BCBCOPOP交交O O于点于点C C，连接，连接ACAC交交OPOP于点于点D D（1 1）求证：）求证：PCPC是是O O的切线；的切线；（2 2）若）若PD=PD=cmcm，AC=8cmAC=8cm，求图中阴影部分的面积；，求图中阴影部分的面积；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，若点）的条件下，若点E E是是弧弧ABAB的中点，的中点，连连接接CECE，求，求CECE的长的长（1

10、 1）证明：如图）证明：如图1 1，连接，连接OCOC，PAPA切切O O于点于点A A，PAO=90PAO=90，BCBCOPOP，AOP=AOP=OBCOBC，COP=COP=OCBOCB，OC=OBOC=OB，OBC=OBC=OCBOCB，AOP=AOP=COPCOP，在在PAOPAO和和PCOPCO中，中，PAOPAOPCOPCO，PCO=PCO=PAO=90PAO=90，PCPC是是O O的切线；的切线；（2 2）解：由（）解：由（1 1）得）得PAPA，PCPC都为圆的切线，都为圆的切线，PA=PCPA=PC，OPOP平分平分APCAPC，ADO=ADO=PAO=90PAO=90，

11、PAD+PAD+DAO=DAO=DAO+DAO+AODAOD，PAD=PAD=AODAOD，ADPADPPDAPDA，ADAD2 2=PDDO=PDDO，AC=8AC=8，PD=PD=AD=AD=AC=4AC=4，OD=3OD=3，AO=5AO=5，由题意知由题意知ODOD为为ABCABC的的中位线，中位线，BC=6BC=6，AB=10AB=10（3 3）解：如图）解：如图2 2，连接，连接AEAE、BEBE，作，作BMBMCECE于于M M，CMB=CMB=EMB=EMB=AEB=90AEB=90，点点E E是是弧弧ABAB的中点的中点回归教材回归教材巧求扇形面积巧求扇形面积教材母题教材母题

12、北师大版九下北师大版九下P101P101例例2 2扇形扇形AOBAOB的半径为的半径为12 cm12 cm，AOBAOB120120，求，求ABAB的长的长( (结果精确到结果精确到0.1 cm)0.1 cm)和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积( (结果精确到结果精确到0.1 cm0.1 cm2 2) )中考预测中考预测1 1如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1 1的正方形，则以格的正方形，则以格点为圆心，半径为点为圆心，半径为1 1和和2 2的两种弧围成的的两种弧围成的“叶状叶状”阴影图案的面积为阴影图案的面积为_224 4 2 2如图，以如图，以BCBC为直径的为直径的OO与与

13、ABCABC的另两边分别的另两边分别相交于点相交于点D D，E.E.若若AA6060，BCBC4 4，则图中，则图中阴影阴影部分部分的面积的面积为为_( (结果保留结果保留) )3 3已知：如图，已知：如图，ABAB是是OO的弦，的弦，O O的半径为的半径为1010，OEOE，OFOF分别交分别交ABAB于点于点E E，F F，OFOF的延长线交的延长线交OO于点于点D D，且，且AEAEBFBF，EOFEOF6060. .(1)(1)求证：求证：OEFOEF是等边三角形；是等边三角形；(2)(2)当当AEAEOEOE时，求阴影部分的面积时，求阴影部分的面积( (结果保留根结果保留根号和号和) )解：解：(1)(1)证明：连接证明：连接OAOA，OB.OB.OAOAOBOB，OAEOAEOBF.OBF.又又AEAEBFBF，AOEAOEBOF(SAS)BOF(SAS)，OEOEOF.OF.EOFEOF6060，OEFOEF是等边三角形是等边