近似计算的精度优秀课件

1、初等数学专题研究初等数学专题研究第二讲 近似计算的精度一、近似数的概念 在现代社会的生产、生活实践，科学研究与经济交往中，人们不可避免地要和各种各样的数据打交道，由于各种各样的原因，这些数据有时并不是所描述对象的准确值，只能近似地刻画所描述的对象，这种数叫做近似数或近似值。处理近似数的技能是现代社会公民必备的素质。1、近似数的三种截取方法、近似数的三种截取方法近似数的截取方法通常有去尾法、进一法和四舍五入法。把一个数截取到事先指定的数位，而把该数位右边的数字全部舍去的方法叫去尾法。去尾法。（1）去尾法）去尾法初等数学专题研究初等数学专题研究得到的近似数为3.1415。 例如：用去尾法把圆周率

2、1415926. 3 截取到万分位，用去尾法将 7320508. 13 截取到万分位， 得到的近似数为 7320. 1 一个正数正数用去尾法得到的近似数是不足近似数不足近似数，（2）进一法）进一法而一个负数负数用去尾法得到的近似数却是是过剩近似数过剩近似数。把一个数截取到事先指定的数位，并且把这个数位上的数字再加1，而把该数位右边的数字全部舍去的方法叫进一法进一法。（3）四舍五入法）四舍五入法用四舍五入的方法截取近似数的方法要分三种情况：初等数学专题研究初等数学专题研究 第一种：将一个数截取到事先指定的数位之后，如果该数位的下一位数字小于5，则按去尾法处理；如果该数位的下一位数字大于5，则按进

3、一法处理；例如：把5.15436372截取到千分位，得5.154；把4.1367352截取千分位，得4.137 第二种：将一个数截取到事先指定的数位之后，如果该数位的下一位数字等于5，并且并且5的后面还有非零数字的后面还有非零数字，则按进一法处理；例如：把4.1315726截取到千分位,得4.132 第三种：将一个数截取到事先指定的数位之后，如果该数位的下一位数字等于5，并且5的后面没有非零数字，当指定数位的数字为偶数偶数时，用去尾法去尾法处理；当指定数位的数字为奇数奇数时，用进一法进一法处理。初等数学专题研究初等数学专题研究 例如：把4.1325和4.132500截取到千分位，得到的都是4.

4、132；把4.1335和4.1335000截取到千分位，得到的都是4.134。2、绝对误差与相对误差、绝对误差与相对误差定义定义1：设某个量的真值为A，它的近似值为a（1）绝对误差与绝对误差界）绝对误差与绝对误差界那么|aA (1)叫做近似值的绝对误差。绝对误差。一般说来，绝对误差a是一个变量，因此，它就有一个可能的变化范围，这个范围通常叫做误差界：叫做近似数a的绝对误差界，绝对误差界， 定义定义2：近似值a的绝对误差 |aA 的最小上界即或 |aA aAa(2)绝对误差界通常还表示为绝对误差界通常还表示为 )( a的形式。的形式。 初等数学专题研究初等数学专题研究（2）三种近似数的绝对误差界

5、）三种近似数的绝对误差界第一：用去尾法和进一法所得到的近似数的绝对误差界第一：用去尾法和进一法所得到的近似数的绝对误差界是所截留的最后一个数位的一个单位。是所截留的最后一个数位的一个单位。例如：用去尾法将521923近似到千位数字得521000，它的绝对误差界是1000；用进一法把4.1315726截取到千分位得4.132，它的绝对误差界是0.001.第二：用四舍五入法所得到的近似数的绝对误差界是第二：用四舍五入法所得到的近似数的绝对误差界是所截留的最后一个数位的半个单位。所截留的最后一个数位的半个单位。 精确到0.0001所得的例如：将圆周率 1415926. 3 近似数 为3.1416，它

6、与真值的绝对误差界是0.00005。初等数学专题研究初等数学专题研究 对同一个量测量得到的几个近似值，可以用它们的绝对误差或绝对误差界来比较精确度的高低。但是，对不同的量，有时绝对误差或绝对误差界不能说明问题。例如，称一头大象，所得结果的绝对误差界是20公斤；而称一只狐狸，所得结果的绝对误差界是50克。就其绝对误差界来说，50克远比20公斤要小得多，但是否说明狐狸的重量要准确得多呢？这恐怕不好说，因为狐狸本身的重量要远远地小于大象的重量。为了能够比较这种不同量之间的精确度，我们引入相对误差和相对误差界的概念。（3）相对误差与相对误差界）相对误差与相对误差界定义定义3：近似值a的绝对误差 |aA

7、 与近似值a的绝对值之比叫做近似值a的相对误差， aaAa 记做即初等数学专题研究初等数学专题研究与近似值a的绝对值之比，定义定义4：近似值a的绝对误差界 叫做近似值a的相对误差界， 记做 即|a 。 相对误差界一般是一个不名数，通常用百分比表示。一个近似值的相对误差界越小，它的准确度就越高。 如果称得大象的体重是5120公斤，狐狸的体重为4160克，回到前面的大象与狐狸的例子上。则大象体重的相对误差界为 %39. 00039. 05120201 狐狸体重的相对误差界为 %2 . 1012. 04160502 因此大象的体重5120（20）公斤 要比狐狸的体重4160（50）克准确得多。初等数

8、学专题研究初等数学专题研究 3、有效数字与可靠数字、有效数字与可靠数字（1）有效数字与可靠数字的概念有效数字与可靠数字的概念除了绝对误差界和相对误差界这两个数量指标外，在近似数计算中还常常用有效数字和可靠数字来衡量近似数的准确程度。定义定义5：如果近似数a的绝对误差界是某个数位的半个单位，那么从左边第一个非零数字起直到这个数位止，所有的数字都叫做近似数a的有效数字有效数字。由于四舍五入所得到的近似数的绝对误差界是所截留的最后一个数位的半个单位。所以，用四舍五入法得到的近似数从左边第一个非零数字起的所有数字都是有效数字。大多数数学用表上所开列的数据，若无特别说明，都是用四舍五入法得到，所以它们都

9、是有效数字。初等数学专题研究初等数学专题研究例如：42.009、0.00530、4.800、4.8这几个近似数都是用四舍五入法产生,它们的有效数字的个数分别是5个、3个、4个、2个。定义定义6：如果近似数a的绝对误差界是某个数位的一个单位，那么从左边第一个非零数字起直到这个数位止，所有的数字都叫做近似数a的可靠数字可靠数字。由于去尾法和进一法所产生的近似数的绝对误差界通常是所截留的最后一个数位的一个单位。所以用进一法和去尾法得到的近似数通常从左边第一个非零数字起的所有数字都是可靠数字。近似数a的有效数字一定是可靠数字；而可靠数字不一定是有效数字。初等数学专题研究初等数学专题研究（2）整数形式的

10、可靠数字和有效数字的表示）整数形式的可靠数字和有效数字的表示将25000.4152用四舍五入法截取到个位、十位、百位，得到的近似数都是25000，它们的有效数字应该分别是5个、4个、3个，这时如何区别？通常情况下，对近似数我们用科学记数法来区分这种情形：4105000. 2 410500. 2 41050. 2 将25000.4152用四舍五入法截取到个位、十位、百位，得到的近似数分别记为具有n个有效（可靠）数字的近似数，其相对误差界不受小数点所在位置的影响。（3）有效（可靠）数字与相对误差界的关系）有效（可靠）数字与相对误差界的关系初等数学专题研究初等数学专题研究二、近似数的计算二、近似数的

11、计算1、近似数运算的经验法则、近似数运算的经验法则（1）加减法法则：）加减法法则：若干个近似数相加减，计算结果所保留的小数位数小数位数，应该和已知数椐中精确度最低的相同精确度最低的相同。如果其它已知数的小数位数过多，可以先四舍五入到比结果应保留的多一位，再进行计算。7 .9071.9063.346 .5347. 2 解：原式6342.346 .53478. 2 例1：计算（2）乘除法法则：）乘除法法则：若干个近似数相乘除，计算结果所保留的有效数位个数有效数位个数，应该和已知数中有效数位最少的一个有效数位最少的一个相同相同。其它已知数中过多的有效数字，可先四舍五入到比结果应保留的多一个，再进行计

12、算。初等数学专题研究初等数学专题研究例2：计算 27952. 4)1058. 2(3 解：原式 231003. 68 .602280. 4)1058. 2( （3）乘方、开方法则：）乘方、开方法则：近似数乘方或开方，计算结果所保留的有效数位个数保留的有效数位个数，应和底数或被开方数的有效数位有效数位的个数相同的个数相同。（4）混合运算法则：）混合运算法则：近似数的混合运算，仍然按通常的运算顺序进行，计算过程中得出的中间结果，一般要比最后结果应保留的数位多一位。例3：计算 2 .376483. 12 .4361547. 8 解：由于 2 .37的计算结果只能有三个有效数字， 是其它各项有效数位最

13、少的一个，因此，最终计算结果应该只保留三个有效数字：8 6243 2 1 64837 28 6271 196 09973 71173 7. 原原式式初等数学专题研究初等数学专题研究2、预定精确度的计算方法、预定精确度的计算方法（1）结果的预定精确度用有效）结果的预定精确度用有效(可靠可靠)数字的个数表出的问数字的个数表出的问题题(要求结果保留若干个有效要求结果保留若干个有效(可靠可靠)数字数字)加法法则加法法则1：在要求结果保留：在要求结果保留n个有效（可靠）数字的近似数个有效（可靠）数字的近似数加法运算中，值最大的加数必须取加法运算中，值最大的加数必须取n+1个有效个有效(可靠可靠)数字，数

14、字，其余的近似数截取到与最大加数的末位有效其余的近似数截取到与最大加数的末位有效(可靠可靠)数字的相数字的相同数位上。同数位上。2 .5518.5541. 114. 363.5022563 22563 例3：计算结果要求保留3个有效数字。因此，其余两个数必须截取到百分位：2536是最大加数，它必须取4个有效数字，解：由于63.502563 而初等数学专题研究初等数学专题研究减法法则减法法则2：在要求结果保留：在要求结果保留n个有效（可靠）数字的近似个有效（可靠）数字的近似数减法运算中，被减数至少截取数减法运算中，被减数至少截取n个有效（可靠）数字，个有效（可靠）数字，减数截取到与被减数的末位有

15、效减数截取到与被减数的末位有效(可靠可靠)数字的相同数位上。数字的相同数位上。 245例4：计算要求结果保留4个有效数字。51.1214. 365.15245 解：乘除混合运算法则乘除混合运算法则3：在要求结果保留：在要求结果保留n个有效（可靠）个有效（可靠）数字的近似数乘除法运算中，各个近似值因数（或除数）数字的近似数乘除法运算中，各个近似值因数（或除数）都必须截取都必须截取n+1个有效（可靠）数字。个有效（可靠）数字。例5：一个梯形场地的上底a约50m，下底b约为80m，高h约为60m，如果要求面积S应具有3位有效数字，重新测量时，各个数据应达到怎样的精确度？初等数学专题研究初等数学专题研

16、究例5：一个梯形场地的上底a约50m，下底b约为80m，高h约为60m，如果要求面积S应具有3位有效数字，重新测量时，各个数据应达到怎样的精确度？解：梯形面积计算公式为 hbaS2 于是 ba 与h都必须具有4个有效数字， 而 ba 大约为130m(已经具有3位数) 要使 ba 具有4个有效数字， 则测量时必须精确到0.1m； 而h却大约有60m(只是2位数)， 要得到四个有效数字 测量时必须要达到0.01m的精确度。初等数学专题研究初等数学专题研究测量规则：在某个量的计算公式中，如果它有若干个测量规则：在某个量的计算公式中，如果它有若干个参数因子，则值越小的参数要求的精确度就越高。参数因子，

17、则值越小的参数要求的精确度就越高。如右图：如右图： ba 如果测量时，它们具有相同的误差如果测量时，它们具有相同的误差t，那么面积的误差分别为那么面积的误差分别为0)()()( tabtatbtaabtbatbabbta如果如果 ba,两个参数相差很大两个参数相差很大 ()ba 那么那么a产生的面积误差产生的面积误差 tb 就要比就要比b产生的面积误差产生的面积误差 ta 要大得多。要大得多。 初等数学专题研究初等数学专题研究（2）结果的预定精确度用绝对误差界给出的问题）结果的预定精确度用绝对误差界给出的问题加减混合运算法则加减混合运算法则4：在预定精确度的近似数的加、减：在预定精确度的近似数

18、的加、减运算中，如果要求结果精确到运算中，如果要求结果精确到n位小数，那么，原始数位小数，那么，原始数据应截取到据应截取到n+1位小数。位小数。例6：求和91817161514131 S要求精确到0.001解：结果要求精确到0.001，相当于绝对误差界为0.0005。 其余的只能取近似值，且要精确到4位小数：除 125. 081, 2 . 051,025. 041 是准确值外，246. 02456. 05417. 07873. 0)125. 01667. 025. 0()1111. 01429. 02 . 03333. 0()816141()91715131( S初等数学专题研究初等数学专题研

19、究对于含有乘、除运算的问题，先依据原始数据的粗略值,估计结果的大小；然后由结果的绝对误差，确定结果应该具有的有效(可靠)数字的个数，转化为第1类问题应用法则3解决问题。例8：一块长方体金属的长约为15cm，宽约为8cm，高约为6cm。要使算出的体积结果的绝对误差不超过5cm3，问测量时应达到怎样的精确度？解：体积V约为 )(72068153cm 因为误差不能超过5cm3，它是10cm3的半个单位，所以体积的精确度应该是十位（单位cm3），即V应该有两个有效数字。从而测量时，长、宽、高都要有3个有效数字。因此，长的测量精确度应达到0.05cm(0.1cm的半个单位)；宽和高要达到0.005cm(

20、0.01cm的半个单位)。初等数学专题研究初等数学专题研究（3）结果的预定精确度用相对误差界给出的问题）结果的预定精确度用相对误差界给出的问题这类问题可先估计结果的大小，再根据公式绝对误差界=相对误差界结果的估计值算出结果的绝对误差，转化成第2类问题。例9：一个直圆柱的底面半径约为10cm，高约为20cm。问要使它的体积的相对误差不超过1%，底面半径和高应该用怎样的精确度的量具来量？解：先估计体积V的大小：3.1410220=6280(cm3)V的相对误差界为1%，因此绝对误差界约为63cm3。这样，V的百位和千位数字是可靠数字，即V有两个可靠数字，所以，底面半径和高都必须有3个有效数字，从而测量精确度应该达到0.1cm的半个单位，即要用测量精度达到0.05cm的量