一维抛物线偏微分方程数值解法(4)(附图及matlab程序)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 一维抛物线偏微分方程数值解法（4） 上一篇参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（3）（附图及matlab程序）解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0, 0<x<1,0<t<=1（Ut-aUxx=f(x,t),a>0) U(x,0)=ex, 0<=x<=1,U(0,t)=et,U(1,t)=e(1+t), 0<t<=1精确解为：U(x,t)=e(x+t);用紧差分格式：此种方法精度为o(h12+h24),无条件差分稳定；一：用追赶法解线性方程组（还可以用迭代法解）Matlab

2、程序为：function u p e x t=JCHGS(h1,h2,m,n)%紧差分格式解一维抛物线型偏微分方程%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m,n分别为空间，时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差x=(0:m)*h1+0; x0=(0:m)*h1;%定义x0,t0是为了f(x,t)=0的情况%t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;syms f;for(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; %f(i,j)=f(x0(j),t0(i)=0% endendfor(i=1:n+1) u(i,1)=exp

3、(t(i); u(i,m+1)=exp(1+t(i);endfor(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endr=h2/(h1*h1);for(i=1:n) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% a(1)=0;b(1)=5/6+r;c(1)=1/12-r/2;d(1)=(r/2-1/12)*u(i+1,1)+. (1/12+r/2)*u(i,1)+(5/6-r)*u(i,2)+(1/12+r/2)*u(i,3)+. h2/12*(f(i,1)+10*f(i,2)+f(i,3); for(k=2:m-2) a(k)=1/12-r/2;b(k)=5/6+r;c(k

4、)=1/12-r/2;d(k)=h2/12*(f(i,k)+. 10*f(i,k+1)+f(i,k+2)+(1/12+r/2)*(u(i,k)+u(i,k+2)+(5/6-r). *u(i,k+1); %输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性 end a(m-1)=1/12-r/2;b(m-1)=5/6+r;d(m-1)=(1/12+r/2)*(u(i,m-1)+u(i,m+1)+. (5/6-r)*u(i,m)+(r/2-1/12)*u(i+1,m+1)+ . h2/12*(f(i,m-1)+10*f(i,m)+f(i,m+1); for(k=1:m-2) %开始

5、解线性方程组 消元过程 a(k+1)=-a(k+1)/b(k); b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k); d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k); end u(i+1,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程% for(k=m-2:-1:1) u(i+1,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i+1,k+2)/b(k); endendfor(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); %p为精确解 e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j);%e为误差 endendu p e x t=JCHGS(0.1,0.005

6、,10,200); surf(x,t,e)>> title('误差');运行约43秒； u p e x t=JCHGS(0.1,0.01,10,100);surf(x,t,e) 20多秒；u p e x t=JCHGS(0.2,0.04,5,25);surf(x,t,e) 3秒；此方法精度很高；二：g-s迭代法求解线性方程组Matlab程序function u e p x t k=JCFGS1(h1,h2,m,n,kmax,ep)% 解抛物线型一维方程 格式 （Ut-aUxx=f(x,t),a>0)%用g-s(高斯-赛德尔)迭代法解%kmax为最大迭代次数%m

7、,n为x,t方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;%e为误差，p为精确解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h1;t=0+(0:n)*h2;for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i); u(i,m+1)=exp(1+t(i);end for(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endfor(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; endenda=zeros(n,m-1);r=h2/(h1*h1); %此处r=a*h2/(h1*h1）；a=1for(k=1:kmax) for(i=1:n) for

8、(j=2:m) temp=(1/12+r/2)*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+(5/6-r)*u(i,j)+. h2/12*(f(i,j-1)+10*f(i,j)+f(i,j+1)+(r/2-1/12)*(u(i+1,. j-1)+u(i+1,j+1)/(5/6+r); a(i+1,j)=(temp-u(i+1,j)*(temp-u(i+1,j); u(i+1,j)=temp;%此处注意是u(i+1,j),而不是u(i+1,j+1)% end end a(i+1,j)=sqrt(a(i+1,j); if(k>kmax) break; end if(max(max(a)<ep) break; endendfor(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j); endendu e p x t