信号与系统复习题

1、信号与系统讲稿信号与系统复习题1 .(3 2t)dt 1/2 o (解题思路：冲激函数偶函数和尺度变换的性质及冲激函数的定义)2 .已知信号x(t) (t a)u(t b),a b 0,则x'(t) '(t a)。(解题思路：冲激函数 和阶跃函数的特点和性质)3 . (t 1) 2 (t 1) u(t) u(t 1) 2u(t 1)。(解题思路：冲激函数卷积积分的性 质)4 .已知F x(t) X(j ),则F x(t 5) X(j )e j5 。(解题思路：傅里叶变换时移的 性质)5 .已知信号的频谱函数为Sa(),则该信号时域表达式为 -u(t 1) u(t 1)。(解题思

2、路:一2矩形脉冲的傅里叶变换)6 .无失真传输系统的时域特性的数学表达式为h(t) K (t td),频域特性的数学表达式为H(j ) Ke-jtd 。(解题思路：无失真传输系统的定义)页脚内容59.信号x(t)u(t)的偶分量xe(t)0.5(解题思路:xe(t)x(t)+x(-t)210.g(t)已知某系统的冲激响应如下图所示，则该系统的阶跃响应为(1 et)u(t)h( )d )(解题思路:11.题思路:已知某系统的阶跃响应如题11图所示，则该系统的冲激响应为2 (t 2) 2(t 3)_0 (解h(t) g(t)n g(t)2-02 3t12.若f(t)的波形如题12图所示，试画出f(

3、 0.5t 1)的波形。4f(t),t-132,即得 f( 0.5t 1),如答 12题12图解：将f( 0.5t 1)改写为f 0.5(t 1),先反转，再展宽，最后左移题所/J o*f( t)1(2)11t 0-3 -2-1J 22(0.5t) t0f( 0.5t 1)答12题13.一个离散时间信号xk如下图所示,试画出x 3k2的图形。(请记住：对离散信号不能写成如下表达式：x-3k 2x-3k-2/3 )解：x 3k 2包含翻转、抽取和位移运算，可按先左移2再抽取，最后翻转的顺序处理，即得x 3k 2,如答3-1图所示。信号与系统讲稿x3k 2x 3k 23333- 2 10 12 k

4、 2 10 12 k14试求微分方程y'(t) 6y(t) 3x'(t) 2x(t)(t 0)所描述的连续时间LTI系统的冲激响应h(t)。解：微分方程的特征根为：s 6由于 n m ,故设 h(t) Ae 6tu(t) B (t)。将其带入微分方程h'(t) 6h(t) 3 '(t) 2 (t),可得A 16, B 3故系统的冲激响应为 _ 3t_h(t) 16e u(t) 3 (t)15.求题15图所示系统的单位脉冲响应 h k0其中h1k =2kuk, h2k =k 1 , hak = 3kuk,h4k = uk0信号与系统讲稿题15图解：子系统h2k与h

5、3k级联，h1k支路、全通支路与h2k h3k级联支路并联，再与h4k级联。全通支路满足yk xk*hk xk全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列6 khkh1kk h2k"因h4k16.已知信号x(t)在频域的最高角频率为2(2)kuk 1.5(3)k 1 0.5uk 1,若对信号x(t/4)进行时域抽样，试求其频谱不产生混叠的最大抽样间隔Tmax解：由于Fx(t/4)4X(j4 )故信号x(t/4)的最高角频率为m/4,频谱不产生混叠的最小抽样角频率为s 2 m/4m/21 2即最大抽样间隔Tmax24/2 m17. f(t)最高角频率为m,对y心畛取样，求其频谱不混迭的最大

6、间隔。页脚内容21解：信号f(t)的最高角频率为m ,根据傅立叶变换的展缩特性可得信号f (-)的最高角频率为4m/4,信号吗)的最高角频率为m/2。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故y(t) f (-)4f ()的最图角频率为2一一3mmtmax mmm424根据时域抽样定理可知，对信号y(t) f d)fd)取样时42,其频谱不混迭的最大抽样间隔Tmax为T maxmax18 .已知连续周期信号f(t)的频谱Cn如题18图所示，试写出信号的时域函数表示式。I 1 I I I 1 I2113题18图解：由图可知，C04c 1 3 C 2 1 C 3 2f

7、 (t)Cnejn 0tn43(ej0tej°t)(ej20te j2 与2(ej30tej314 6cos( 0t) 2cos(2 0t) 4cos(3 0t)19 .已知某连续时间LTI系统的输入激励为e4tu(t),零状态响应为yzs(t) 2e3tu(t) 2e4tu(t)。求该系统的频率响应H(j )和单位冲激响应h(t)。解：对x(t)和yzs(t)分别进行Fourier变换,得故得Yzs(j )H(j_ 3tF 2e 3tu(t)_ 4t2e 4tu(t)(3 j )(4 j )Yzs(j )X(j )3 jX(j )F e4tu(t)14 j13th(t) F 1 H

8、(j ) 2e 3tu(t)20.已知一连续时间系统的单位冲激响应h(t)1一Sa(3t),输入信号 f (t) 3 cos2t,时,试求该系统的稳态响应。解：系统的频响特性为H(j ) Fh(t)二 P6( 31/3,0,利用余弦信号作用在系统上，具零状态响应的特点，即Tcos( 0t) |H(j 0)cos(0t (0)由系统的频响特性知，H(j0) H(j2) 1/3,可以求出信号f(t)3 cos2t, t，作用在系统上的稳态响应为T f (t) 3 H (j0) cos 0t (0) | H (j2) cos 2t (2), 1 c=1+-cos2t, t321 .已知一连续时间LT

9、I系统的零状态响应上yzs(t) (0.5 et I.5e2t)u(t),激励信号为x(t) u(t), 试求：(1赅系统的系统函数H，并判断系统是否稳定；(2)写出描述系统的微分方程；(3)画出系统的 直接型模拟框图。解：零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为Yzs(s)0.511.5 2s 1s 1 s 2 s(s 1)(s 2)1X(s) sRe(s) 0Re(s) 0根据系统函数的定义，可得H(s)Yzs(s)X(s)2s 1(s 1)(s 2)2s 1s2 3s 2Re(s) 1该系统的极点为Pi= -1, p产-2系统的极点位于s左半平面，故该系统稳定。(2)由式可得系统微分方程的s

10、域表达式(s2 3s 2)Yzs(s) (2s 1)X(s)两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为y"(t) 3y'(t) 2y(t) 2x'(t) x(t)(4) X等系统函数表示成s的负幕形式，得H(s)2s 11 3s 12s其模拟框图如下所示Y(s)22 .描述某因果连续时间LTI系统的微分方程为y''(t) 7y'(t) 10y(t) 2x'(t) 3x(t)。已知 x(t) e2tu(t) , y(0 ) y'(0 ) 1。由s域求解：(1)零输入响应yx(t),零状态响应yf(t)和全响应y(t); (2)系

11、统函数H(s),并判断系统是否稳定；(3)若x(t) e2(t1)u(t 1),重求yx(t)、y“t)、H (s)。解：(1对微分方程两边做单边拉普拉斯变换，得：s2Y(s) sy(0 ) y'(0 ) 7sY(s) 7y(0 ) 10Y(s) (2s 3)X(s)整理得Y(s)sy(0 ) y'(0 ) 7y(0 )(2s 3)s2 7s 10 s2 7s 10其中零输入响应的s域表达式为Yxsy(0 ) y'(0 ) 7 y(0 )s2 7 s 10s 8212 一 一一s 7s 10 s 2 s 5所以系统的零输入响应为yx(t)L1Yzi(t)(2e2t e5

12、t)u(t)零状态响应的s域表达式为Yf(s)(2 s 3)s2 7s 10X(s)(2 s 3)(s2 7s 10)(s 2)7/91/3s 2 (s 2)27/9s 5所以系统的零状态响应为17 5t 7 2t 1 2t、yf(t) L Yf(s)( e e te )u(t)993系统的全响应为16 5t 25 2t 1 . 2t, y(t) yx(t) yf(t) ( e e ote )u(t)993(2艮据系统函数的定义，可得U/、Yzs(s)2s 31/3 7/3H (s)2X(s) s 7s 10 s 2 s 5由于系统的极点为R 2, P25,均位于s平面的左半平面，所以系统稳定

13、。(3)若x(t) e2(t1)u(t 1),则系统函数H(s)和零输入响应yx(t)均不变，根据时不变特性，可得系 统零状态响应为75(t 1)72(t 1)12(t 1)、yf (t 1) ( - e e (t 1)e )u(t 1) 9323. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如题23图所示，求:题23图(1)描述系统的差分方程；(2)系统函数Hz,单位脉冲响应hk;(3)判断系统是否稳定。解：(1)由题18图可知，输入端求和器的输出为zX2(z)F(z) 3X2(z) 2Xi(z)式(2)代入式(1)得Xi(z) z 1X2(z)X2(z)1z 3 2z 1F(z)输出端求

14、和器的输出为z 4Y(z) (z 4)X2(z) F(z)z 3 2 z-1一(z32z )Y(z)(z4)F(z)或1-21 _(1 3z 2z )Y(z) (1 4z )F(z)因此系统的差分方程为yk 3yk 1 2yk 2f k 4fk 1(3)由系统函数的定义可得H(z)Yf(z)F(z)1 4z 1Z 1 Z 21 3z 2zz5z 1z6z 2取z反变换得系统单位冲激响应为hk ( 5 6 2k)uk(4)由系统函数Hz可得极点p1 1,p22,都未在单位圆内，故系统不稳定24. 一初始状态为零的离散系统，当输入xk uk时，测得输出yk Q)k (1)k 1uk。试求: 23(

15、1赅系统的系统函数H(z); (2)画出其零极点分布图；(3那J断系统的稳定性。解：(1对xk和yk分别进行z变换,得1 X(z) 1 z11Y(z)1 1z12_1_厂111 z3_1_1 z 11 2z130 z1)(1 5z1 1z2)66由系统函数的定义得H(z)Y1 2zX(z)(15z11 2zi3121112z2)(1 z1)(1 z2)623(2)系统的零极点分别为其零极点分布图如下所示。(3)由于极点均在单位圆内，故系统稳定。25.试写出方程3y4y(t) y(t) x(t)描述的LTI系统的状态方程和输出方程的矩阵形式。解：选y(t)和,(t)作为系统的状态变量，即q1(t) y(t),q2(t) (t)由原微分方程和系统状态的定义，可得系统的状态方程为小q2(t)02代)y(t) 1x(t)1qi(t) 4q2(t)333写出矩阵形式为i(t)02-3qiq201 x(t)3系统的输出方程为y(t)qi(t)写出矩阵形式为q(t) y(t) i 0- q2(t)H(s)2s 526.已知一个LTI系统的系-32.、 . s 9s 26s 24统函数为请写出系统直接型结构的状态方程和输出方程。解：将系统函数改写为s的负幕形式，则其系统直接型结构如下图所示2s 2 5s 3选三个积分器输