N8-1空间解析几何简介

1、第八章第八章 多元函数多元函数上页 下页 返回 结束 一元函数微积分学一元函数微积分学多元函数微积分学多元函数微积分学极限与连续极限与连续偏导数与全微分偏导数与全微分重积分重积分极限与连续极限与连续可导与可微可导与可微定积分定积分教学内容及课时分配教学内容及课时分配8.1 8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介.2.2学时学时8.2 8.2 多元函数的概念多元函数的概念8.3 8.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续.2.2学时学时8.4 8.4 偏导数与全微分偏导数与全微分.2.2学时学时8.5 8.5 复合函数的微分法与隐函数的微分法复合函数的微分法与隐函数的微分法.2.2学时学

2、时8.6 8.6 二元函数的极值二元函数的极值.2.2学时学时8.7 8.7 二重积分二重积分.4.4学时学时（1414学时）学时）上页 下页 返回 结束 重点：重点：偏导数与全微分、多元复合函数的微分法、偏导数与全微分、多元复合函数的微分法、 二元函数的极值的应用、二重积分的计算。二元函数的极值的应用、二重积分的计算。 难点：难点：多元复合函数的微分法、二元函数的极值的多元复合函数的微分法、二元函数的极值的 应用问题、二重积分的计算。应用问题、二重积分的计算。上页 下页 返回 结束 说明：说明：多元函数（实际上只讨论二元函数）。极值问多元函数（实际上只讨论二元函数）。极值问 题中的最大值、最

3、小值问题只要求按实际意义题中的最大值、最小值问题只要求按实际意义 来判断。来判断。教学要求：教学要求：. .了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点. . .知道二元函数的极限与连续性的概念。知道二元函数的极限与连续性的概念。. .理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导 数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法. . .掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由 (x,y,

4、z)=0 (x,y,z)=0 确定的隐函数确定的隐函数 z=z(x,y),z=z(x,y),求其偏导数）。求其偏导数）。. .了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数 极值存在的充要条件求二元函数极值的方法极值存在的充要条件求二元函数极值的方法; ; 掌握用拉掌握用拉 格朗日乘数法求解简单二元函数条件极值问题的方法。格朗日乘数法求解简单二元函数条件极值问题的方法。. .了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直 角坐标系与极坐标下计算二重积分的常用方法，会计算角坐标系与极坐标下计算二重

5、积分的常用方法，会计算 一些简单的二重积分。一些简单的二重积分。上页 下页 返回 结束 第第 1 1 节节空间解析几何简介空间解析几何简介 第八八章 上页 下页 返回 结束 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、空间任意两点的距离二、空间任意两点的距离 三、空间曲面与方程三、空间曲面与方程 数量关系数量关系 空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面坐标坐标, ,方程（组）方程（组）四、空间曲线的方程简介四、空间曲线的方程简介 （补充）（补充）xyz一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手法则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴

6、(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念上页 下页 返回 结束 xyzo直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组),(zyx)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;M2. 空间任意一点的坐标空间任意一点的坐标上页 下页 返回 结束 二、空间任意两点间的距离二、空间任意两点间的距离 1. 空间任一点

7、到原点的距离空间任一点到原点的距离222zyxMNOR22OMONMN222OROQOPxoyzMNQRP( , , )M x y z设点 为空间中任一点222ONOPPNPNOQ22OPOQ上页 下页 返回 结束 222212121()()()xxyyzz同理可得oxyz2. 空间任两点间的距离空间任两点间的距离1M2M11112222(,), (,)Mxy zMxyz给定空间任意两点的坐标N1Q1P2P2QNS2221212M MM SM S22212M NNSM S112M NPP21OPOP21xx21NSyy221M Szz2221212M MM NNSM S上页 下页 返回 结束

8、例例1. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M12M M 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点上页 下页 返回 结束 三、空间曲面与方程三、空间曲面与方程例例2（类似（类似P318-例例1）求与两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等222) 3()2() 1(zyx07262zyx化简得说明说明:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面

9、上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: : 设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.等距离点的轨迹方程.上页 下页 返回 结束 定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足

10、此方程,如何求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状上页 下页 返回 结束 例例3（P319-例例2）求三个求三个坐标平面坐标平面的方程的方程.面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo1. 平面的方程平面的方程例例4（P319-例例3）作作zc（c为常数）的图形为常数）的图形.zc平行于坐标平面xoy ，并由xoy 向上 (c0)或向下 (c0) 平移|c|个单位而成的平面上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 平面

11、平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.平面的一般方程平面的一般方程上页 下页 返回 结束 例例5. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy上页 下页 返回 结束

12、所求方程为例例6（P319-例例4） 求球心为点),(zyxM),(0000zyxM的球面方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设球面上任一点RMM0即依题意，半径为RxyzoM0M222yxRz表示上上(下下)球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx2. 球面球面上页 下页 返回 结束 例例7. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M方程表示:说明说明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是曲面. . 表示怎样的半径为的球面.0)(22

13、2GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面 , 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx上页 下页 返回 结束 例例8 8（P320-P320-例例5 5）作方程的图形 .的坐标也满足方程222Ryx解解: : 在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx在空间222Ryx对任意 z ，直线l 任一过此点作平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面在圆C 上任取一点 , )0 ,(1yxM),(zyxM点l 叫做母线母线.平面xoy 园 叫做准线准线, 222RyxxyzoClM1M3. 柱面柱面（l 绕园C移动而成）上页 下页 返回 结束 xyzxyzol定义定义

14、2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoo上页 下页 返回 结束 4. 二次曲面二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程。下面介绍几种常见标准型的特点 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 基本类型基本类型: 抛物面、椭球面、双曲面、锥面、球面等的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx22

15、20JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )定义定义3.上页 下页 返回 结束 （1）抛物面）抛物面zqypx2222A. 椭圆抛物面椭圆抛物面( p , q 同号)zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.例例9 9（P320-P320-例例6 6）作方程的图形 .22zxy解解: : 范围0. ,zx yR与坐标面的交线：2200 xyz20 zxy 20 zyx 原点抛物线上页 下页 返回 结束 截痕：zyx22 xyczc22 yzcxc与曲面无交点.0c 当 时，为园心，(0,0, ) cc为半径的园.0c 当 时，22 xzcycxc平面 的抛物线22yzcc 越大，

16、截痕的园也越来越大.图形见图形见P321P321图图8-88-8上页 下页 返回 结束 B. 双曲抛物面（鞍面）双曲抛物面（鞍面）zqypx2222( p , q 同号)zyx例例1010（P320-P320-例例7 7） 作方程的图形 .22zyx解解: : 范围, 0.yxz若与坐标面的交线：0 yxz 20 zxy 20 zyx 两条相交于原点的直线xoz 平面开口向下的抛物线yoz 平面开口向下的抛物线上页 下页 返回 结束 截痕：22 yxczc22 zycxc 实轴平行于x轴的双曲线0c 当 时，0c 当 时，22 zcxyc c 越大，各截痕的双曲线、抛物线也越来越大.实轴平行于

17、y轴的双曲线对任意c均为开口向下的抛物线对任意c均为开口向上的抛物线图形见图形见P321P321图图8-98-9上页 下页 返回 结束 zyx（2 2） 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax范围：czbyax,与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z上页 下

18、页 返回 结束 （3） 双曲面双曲面A.A.单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 上页 下页 返回 结束 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 0czax)(bby或by 1)3时, 22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy截痕为相交直线: 截痕为双曲线: 0上页 下页 返回 结束 B. 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyaxzxyoxyz（4） 椭圆锥面椭圆锥面22222xyzab