数字信号处理：第7章 有限长单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法

1、第七章第七章有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应FIR数字滤波器的设数字滤波器的设计方法计方法第一节第一节引言引言一、一、IIR滤波器的优缺点滤波器的优缺点IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。查，方便简单。IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本使滤波器设计变得复杂，成本也高。也高

2、。二二、FIR DF 优点优点 FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性容易做到有严格的线性相位特性。 设设FIR滤波器单位冲激响应滤波器单位冲激响应h(n)长度为长度为N，其，其系统函系统函数数H(z)为：为： H(z)是是z-1的的N-1次多项式，它在次多项式，它在z平面上有平面上有N-1个零点，个零点，原点原点z=0是是N-1阶重极点。因此，阶重极点。因此，H(z)永远稳定。永远稳定。稳稳定和线性相位特性是定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点滤波器突出的优点，而且允，而且允许设计多通带（或多阻带）滤波器许设

3、计多通带（或多阻带）滤波器。其中线性相位其中线性相位和多通带滤波器设计都是和多通带滤波器设计都是IIR系统不易实现的。系统不易实现的。10)()(NnnznhzHFIR的缺点的缺点 由于由于FIR系统只有零点，因此系统只有零点，因此FIR系统系统不不像像IIR系统那样系统那样易取得比较好的易取得比较好的通带与阻通带与阻带带衰减特性衰减特性。要取得好的衰减特性，一。要取得好的衰减特性，一般要般要H(z)的阶次要高，也即的阶次要高，也即N大。大。三、为何要设计三、为何要设计FIR滤波器滤波器（1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信

4、道具有线性相性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。而且同时可以具有任意的幅度特性。（2）另外另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。的有限序列。（3）FIR可以用可以用FFT算法来实现过滤信号。算法来实现过滤信号。四、本章讨论的内容四、本章讨论的内容具有线性相位具有线性相位FIR滤

5、波器，设计方法有：滤波器，设计方法有： 窗口设计法窗口设计法 频率采样设计法频率采样设计法 计算机辅助设计法计算机辅助设计法五五、FIR DF 设计思路设计思路 FIR滤波器的设计方法和滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方滤波器的设计方法有很大不同。法有很大不同。FIR DF设计的含义是设计的含义是： 根据设计指标，求解所选运算结构要求的根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或或H(z)： 线性卷积和快速卷积型结构，求线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的的h(n). 级联和频率采样型结构，求级联和频率采样型结构，求FIR DF 的的H(z).第二节第二节线性相位线性相位FIR D

6、F的条件和特点的条件和特点一、一、FIR滤波器具有滤波器具有线性相位线性相位的条件的条件 对于长度为对于长度为N的的h(n),传输函数为：传输函数为：10()()( )()( )( )() ,( )( )()NjwjwnnjwjwjwjwH eh n eH eH w eH wH eH wwHweH w 式式中中，注注意意，这这里里不不同同于于为为 的的实实函函数数，称称为为幅幅度度函函数数，可可以以称称为为取取负负值值，而而总总是是正正值值。注注幅幅度度特特性性，称称为为相相位位特特性性。幅幅度度特特性性意意幅幅频频特特性性00()()1()2()(),()(1)(2()jwwwwH ewww

7、wdwwdw 线线性性相相位位是是指指是是 的的线线性性函函数数，即即（）如如果果满满足足下下式式：（ ）严严格格地地说说，此此时时不不具具有有线线性性相相位位，但但以以上上两两种种情情况况都都满满足足群群时时延延是是一一个个常常数数，即即也也称称这这种种情情况况为为线线性性相相为为常常数数，是是起起始始相相位位一一般般满满足足式式是是第第一一类类线线性性相相位位，满满足足）式式为为第第二二类类线线位位。性性相相位位。1、H(ejw)线性相位线性相位2、FIR滤波器具有滤波器具有线性线性相位的条件相位的条件( )(1)( )(1)( )(1)/2( )(1(12)/2)FIRh nh Nnh

8、nh NFIRhnh nNhNnNnn 滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应应为为因因果果、有有限限长长、实实数数、且且满满足足以以下下任任一一条条件件：其其对对滤滤波波器器就就具具有有准准确确的的线线性性相相位位条条件件是是：偶偶对对称称称称中中心心在在处处。满满足足第第一一类类线线性性相相位位的的条条件件是是：第第二二类类：奇奇对对称称：其其中中是是实实序序列列且且对对偶偶对对称称。满满足足是是实实序序列列线线性性相相位位的的条条件件是是：且且对对奇奇对对称称。二、线性相位条件的证明二、线性相位条件的证明 我们将根据单位冲激响应我们将根据单位冲激响应h(n)的奇对称和偶的奇对称和偶对称进

9、行讨论。对称进行讨论。 由下面讨论可知：由下面讨论可知：00( )(1), ( ),( )(1) ( )(2) ()1) ( )h nh nh nh Nnwwh nh Nnww 为为偶偶对对称称时时第第一一类类线线性性相相：是是：，是是起起始始相相位位为为位位为为奇奇对对称称时时第第二二类类线线性性相相位位。1、第一类线性相位条件证明、第一类线性相位条件证明110011(1(1)001)1011( )(1):( )( )(1)1()()()( )( )()NNnnnnNNNmNmNmmNmmh nh NnH zh n zh Nn zNnmh m zzh m zHh nH zzzzHhzm ）为

10、为偶偶对对称称情情，令令况况即即(1)111(11(1)1)001(1)0122201( )()21( )( )2( ):(1( )2)( )2NNnnNNNNnNnNnnnNnNnnjwH zzH zh n zzh n zh nH zH zzzzhznzzze可可 将将表表 示示则则将将代代 入入 上上为为式式 ， 得得 到到 ：1011()()1122()2101()20()( )21:()( )cos ()(2)1( )cos ()1:()()21(2( )()()2jwNNjNNj nwj nwNNjwnNnwneeeh nNH wh nnH eNh nnwh nhwNwwNwen 幅

11、幅度度函函数数为为相相位位函函数数为为只只要要是是实实序序列列，其其群群看看出出：且且时时延延为为)为为偶偶对对称称，那那么么该该滤滤波波器器就就一一定定具具有有第第一一类类线线性性相相位位。2、第二类线性相位条件证明、第二类线性相位条件证明110011(1(1)00111)10( )( )(1):( )(1)1()()()( )( )()()NNnnnnNNNmNmmmNNmmh nh nh Nnh n zh Nn zNnmh m zzH zhH zzH zm zH zh m z ）为为奇奇对对称称情情况况，即即令令(1)111(11(1)11)001(1)22002( ):1( )()21

12、()()21( )()2)2NNNnNnnnNnNnnjwNNnnNNnHzHzzHzh n zzh n zh nHzzzzzzezzh n同同 样样可可 表表 示示 为为将将代代 入入 上上 式式 ， 得得 到到 ：11()()1122()20110()012()( )21:()( )sin ()2()1( )sin ()2(1:()()22)1()()2jwNnNNj nwj nwNNjwnNnNjweeeh nNH wh nnjeHwNwwNeNhnwwnh n 其其群群时时延延为为看看出出：幅幅度度函函数数为为相相位位函函数数为为只只要要是是实实序序列列( )h n，且且为为奇奇对对称

13、称，那那么么该该滤滤波波器器就就一一定定具具有有第第二二类类线线性性相相位位。注意注意从第二类线性相位看出：从第二类线性相位看出： 零频率零频率w=0有有 2的截距，说明不仅有：的截距，说明不仅有： 也就是：也就是：h(n)为奇对称时为奇对称时，FIR滤波器是一个滤波器是一个具有准确的线性相位的具有准确的线性相位的理想正交变换网络理想正交变换网络。个抽样间隔的延时，而且还产生一个个抽样间隔的延时，而且还产生一个90 的相移，的相移，这种使频率皆为这种使频率皆为90 的网络，的网络，称为正交变换网络称为正交变换网络，它具有重要的理论和实际意义。它具有重要的理论和实际意义。21N三、线性相位三、线

14、性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性H(w)的特点的特点 由于由于h(n)的长度的长度N取奇数还是偶数，对取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：（1）h(n)=h(N-1-n)，即，即h(n)为为偶对称偶对称，N=奇数奇数（2）h(n)=h(N-1-n)，即即h(n)为为偶对称偶对称，N=偶数偶数（3）h(n)=-h(N-1-n)，即，即h(n)为为奇对称奇对称，N=奇数奇数（4）h(n)=-h(N-1-n)，即即h(n)为为奇对称奇对称，N=偶数

15、偶数1. 第一种情况：第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数奇数10)21(cos)()(NnwnNnhwH 式中：式中：h(n)对（对（N-1)/2呈偶对称，即呈偶对称，即可以以可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，为中心，把两两相等的项合并，由于由于N是奇数，故是奇数，故余下中间项余下中间项n=(N-1)/2，即其中：即其中：wnNNwNnwnN)1(21cos)21(cos)21(cos(1)/21,11( )(2 ()12cos()22NmNNH whhNnmmmw令令则则）2/)3(0)21cos)(221()(NnwnNnhNhwH（）合并后，可得：合并后，可得

16、：1()20( )( )cos()1(0)()021( )2 ()02NnH wa nwnNahnNa nhnn其其中中：可以表示成可以表示成0)21(2)(0)21()0()cos()()()21(0nnNhnanNhawnnawHNn其中： 看出：看出：cos(nw)对于对于w=0, ,2 皆为偶对称皆为偶对称，所以幅度，所以幅度函数函数H(w)也对也对 w=0, ,2 皆为偶对称。且皆为偶对称。且H(0)、H( /2), H( ),H(2 )都可不为零。都可不为零。(只要只要h (N-1)/2)不为零。所以不为零。所以w从从0 2 范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤范围内，无任何约

17、束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）波器。低通、高通、带通、带阻）n对称中心N=7)(wHw022关于w=0及w= 偶对称)(nh可以设计任何一种滤波器可以设计任何一种滤波器2. 第二种情况第二种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数偶数wnNNwNnwnN)1(21cos)21(cos)21(cos10)21(cos)()(NnwnNnhwH 式中：式中：h(n)对对(N-1)/2呈偶对称，即呈偶对称，即可以以可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并为中心，把两两相等的项合并，由于，由于N是偶数，是偶数，故故H(w)无单独项。无单独项。120)21(cos)(2)(

18、NnwnNnhwH合并后，可得：12022111( )2 ( )cos) 2,1( )2 ()co21( )2 ()s(cos() )22) )22NnNmNnNH wh nn wNH whmmwmNnmNH whnnwn由由：（令令则则将将 再再用用 代代替替，得得到到211cos()02( )0,( )11(2)1( )(cos ()2)cos( ()2( )2 (),1,2,221( )Nnw nH wH wb nw nNNb nhH zzw nn nwH www 上上面面式式子子可可以以表表示示成成：其其中中：从从上上看看出出：， （，即即在在处处，且且由由于于对对是是奇奇对对称称（）

19、当当时时必必然然有有一一个个零零点点。所所以以对对 呈呈，奇奇对对称称；（3 3）由上可知：此种情况）由上可知：此种情况不能设计高通和带不能设计高通和带阻滤波器。阻滤波器。n对称中对称中心心N=6)(wHw022关于关于w=0偶对称偶对称 w= 奇对称，奇对称，H( )=0 (总是总是)只只能设计低通和带通滤波器。能设计低通和带通滤波器。)(nh03.第三种情况第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数奇数101()( )sin ()21()02( )1( )(1),211()()2211sin)sin()221si(1)/ 2n(11 /)2) 2NnNH wh nn wNhhNh

20、nh NnnNNhhNNn wnwNNnnNN 即即对对呈呈奇奇对对称称，且且中中间间项项为为零零。正正弦弦项项也也对对（） 呈呈（奇奇对对称称，当当时时，320121121()1121()2 ( )sin ()21212 ()()(s)ins()2in()NnNNnnH wC nnH wnNnNNH wh nn wNmnmwwNhn 中中各各项项之之间间满满足足：第第 项项第第项项两两两两相相等等的的项项合合并并，合合并并后后为为项项。令令可可表表示示为为：121( )( )sin()10(0)()2111,2,( )2 ()22NnH wC nnwNnChNNnC nhn上上式式其其中中(

21、3)(3)由上可知：此种情况由上可知：此种情况不能设计低通、高通不能设计低通、高通和带阻滤波器。和带阻滤波器。 看出：看出：sin(nw)对于对于w=0, ,2 处皆为处皆为0即即H(w)在在w=0, ,2 处必为零。处必为零。也即也即H(z)在在z= 1处处都为零。都为零。 (2) sin(nw)对对w=0, ,2 呈奇对称形式呈奇对称形式n对称中心h(n)=-h(N-1-n)，N=7奇数)(wHw022关于w=0、w= 奇对称H(0)=0 、H()=0 (总是)只能设计带通滤波器。能设计带通滤波器。)(nh04. 第四种情况第四种情况h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数偶数10/ 2 1

22、0/ 212131()( )sin()212 ( )sin()2,121()2 ()sin()222 ()sin()22,NnNNNnnmNH wh nn wNh nn wNhmNnmNH whmwnnnwm类类 似似 第第 种种 情情 况况 ：令令则则 有有用用替替 换换得得 ：1/21/21( )2 ()sin ()22( )2 ()1,2,3,1( )( )sin ()2(,2211sin ()0 2212sin ()2)0,2( )10 2NnNnNH whnnwNNH wd nnwH wwH zzd nhnnnwwnww 在在处处为为零零。即即在在处处由由式式子子：可可设设其其中中：

23、由由此此看看出出：（）由由于于在在， 处处为为零零，即即（ ）由由于于有有一一。对对：零零点点， 处处w 呈呈奇奇对对称称，对对呈呈偶偶对对称称。（3 3）由上可知：此种情况）由上可知：此种情况不能设计低通和带阻滤不能设计低通和带阻滤波器。波器。n对称中对称中心心h(n)=-h(N-1-n)，N=6偶偶数数)(wHw022关于关于w=0奇对称奇对称、w= 偶对称偶对称H(0)=0 (总是总是)只只能设计带通、高通滤波器。能设计带通、高通滤波器。)(nh0总结总结 了解了线性相位了解了线性相位FIR滤波器的各种滤波器的各种特性特性，便可根据实际需要选择合适的便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器

24、，滤波器，同时设计时要遵循有关同时设计时要遵循有关约束条件约束条件。 如：如：第第3、4种情况，对于任何频率都有种情况，对于任何频率都有一固定的一固定的 相移相移，一般微分器及，一般微分器及 相相移器采用这两种情况，而移器采用这两种情况，而选频性滤波器选频性滤波器则用第则用第1、2种情况。种情况。2/90(1)要设计一个线性相位的低通要设计一个线性相位的低通DF1010( )1(0)()0201( )2 ()( )cos1( )co2( )2 (1s( (,22)22NnNnh nNahnnNaH wa nwnH wbnhnNNb nhnnnw n从从幅幅度度特特性性考考虑虑，只只能能用用第第

25、一一种种或或第第二二种种。偶偶即即为为。其其中中：）对对称称第第一一种种：）第第二二，种种：）(2)要设计一个线性相位的高通要设计一个线性相位的高通DF10111(0)()02( ( )( ( )( )cos1( )si01( )2 (n( ()2)2( )2 (1,222NnNnNahnnNah nNh nNH wa nwnH wd nwnhnNNd nhnnn从从幅幅度度特特性性考考虑虑，可可用用第第一一种种为为偶偶，为为奇奇）或或第第四四种种为为奇奇，为为偶偶）。第第一一种种：）第第四四种种其其），：中中：）(3)要设计一个线性相位的带阻要设计一个线性相位的带阻DF101(0)()020

26、( ( )1( )2 ()2( )cosNnh nNH wa nwNahnna nnnNh从从幅幅度度特特性性考考虑虑：只只能能选选用用第第一一种种为为偶偶，为为奇奇）。第第一一种种：）其其中中：(4)要设计一个线性相位的带通要设计一个线性相位的带通DF12010(0)()02111 2( )co( )2 ()22sNnNnChNNnC nHhwC nwnn）其其中中第第三三种种：其其中中：，从幅度特性考虑：从幅度特性考虑：可选用四种任意一种来设计滤波器。可选用四种任意一种来设计滤波器。三、线性相位三、线性相位FIR滤波器零点分滤波器零点分布特点布特点 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点

27、：滤波器零点分布特点：零点必零点必须是互为倒数的共轭对须是互为倒数的共轭对。(1)11*1 *( )( )()( )()Niiiih nH zH zzH zzzH zzzz 如如果果是是的的零零点点，其其倒倒第第一一类类和和第第二二类类线线性性相相位位系系统统函函数数可可表表示示为为：看看出出：又又因因为为是是实实序序列列，的的零零点点必必定定共共轭轭成成数数也也必必然然是是其其零零点点；和和也也是是对对，因因此此其其零零点点。1*11111122334,z zzzzzz zz如如图图表表示示零零点点分分布布情情况况：一一般般情情况况：是是图图中中和和（ ）情情况况。有有一一些些特特殊殊情情况

28、况：如如果果零零点点是是，则则只只有有两两个个零零点点，如如图图中中；如如果果零零点点是是，则则是是图图；如如果果实实数数纯纯虚虚数数且且在在单单位位园园上上单单位位园园上上且且是是零零点点在在，则则只只有有一一个个零零点点，即即图图实实数数。1z*1z11z1*)(1z2z12z3z*3z4z)Re( z)Im( zj第三节第三节 窗函数设计法窗函数设计法一、设计方法一、设计方法1.设计思路设计思路 （1）先给定所要求设计的）先给定所要求设计的理想滤波器理想滤波器的频率的频率响应响应Hd(ejw). （2）设计一个）设计一个可实现的可实现的FIR滤波器滤波器频率响应频率响应H(ejw)。 （

29、3）由于设计是在时域中进行，使）由于设计是在时域中进行，使所设计滤所设计滤波器的波器的h(n)去逼近理想单位取样响应去逼近理想单位取样响应hd(n).（1）理想滤波器的频率响应）理想滤波器的频率响应Hd(ejw),()( )1( )()()( )(),)2(jwjwnddnjwjwnjwddjwddddHHehnHehn ehnHeedwzehn 是是与与其其对对应应的的单单位位脉脉冲冲响响应应，若若已已知知即即设设希希望望设设计计的的滤滤波波器器传传输输函函数数为为因因此此经经过过 变变换换即即可可得得到到滤滤波波器器的的可可求求出出系系统统函函数数。 一般情况下，一般情况下，Hd(ejw)

30、逐段恒定逐段恒定，在，在边界频率处有不边界频率处有不连续点连续点，因而，因而hd(n)是是无限时宽无限时宽的，且的，且是非因果序列。是非因果序列。理想理想低通低通滤波器的传输函数滤波器的传输函数Hd(ejw)()( )sin()( )( )0( )12( )ccjwcdcdwjwjwjwddcjwnwddHeHw eewwHwwwh needw nh nnwh n 相相应应的的单单位位取取样样响响应应为为：由由上上式式看看到到，理理想想低低通通滤滤无无限限长长波波器器的的单单位位取取样样响响，且且是是非非应应是是因因果果序序列列。)(wHdw0)(nhdn0cwcw(2)设计实际的设计实际的F

31、IR滤波器滤波器H(ejw)100( ),( )( )( )( )(.)( ),NMnnnndh nNHzHzh n zh n zh nhn设设 实实 际际 实实 现现 的的 滤滤 波波 器器 的的 单单 位位 取取 样样 响响 应应 为为长长 度度 为为， 其其 系系 统统 函函 数数 为为，这这 样样 我我 们们 用用 一一 个个 有有 限限 长长 的的 序序 列列去去 代代 替替肯肯会会 引引 起起 误误 差差定定( )( )()(1( )( )( )(1) /) / 222ddh nh nhn W nhnWNnNh nNM 用用）表表示示截截取取后后的的单单位位冲冲激激响响应应，即即：

32、式式中中为为窗窗函函数数，长长度度为为。截截取取的的一一段段对对对对称称，可可保保证证所所设设计计的的滤滤波波当当时时，具具有有器器线线性性相相位位。63sin(6)3,6,( )3(6)16,132( )6ccddwFIRnwhnnNNhn 例例：设设计计一一个个截截止止频频率率的的延延时时的的线线性性相相位位低低通通滤滤波波器器。可可知知理理想想低低通通滤滤波波器器是是为为中中心心偶偶对对称称的的时时域域无无限限长长的的非非因因果果序序一一个个有有限限长长的的因因果果序序列列去去列列。现现用用逼逼近近它它。( )( )01( ).( )01( )( )( )(0,(1)NdNW nRnnN

33、h nh nnRnh nNhNnnnh nh 最最简简单单取取矩矩形形的的办办法法：，令令即即截截取取 从从的的一一段段代代表表窗窗满满足足其其它它且且即即满满足足的的线线性性相相位位。n0)(nhd)(nWn112N 02、设计步骤、设计步骤（1）先由先由Hd(ejw)求付里叶反变换求付里叶反变换hd(n).（2）砍头去尾。砍头去尾。 因为我们要设计因为我们要设计FIR滤波器滤波器h(n)是：是：(a)具有因果性具有因果性 t砍头砍头(b)由于要求所设计滤波器是线性相位，所以要求其偶由于要求所设计滤波器是线性相位，所以要求其偶对称，奇对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们对称，奇对称，由于砍头

34、，所以必须去尾，让它们中中心对称心对称。即用有限长的。即用有限长的h(n)去逼近无限长的去逼近无限长的hd(n).（3）时域相乘，频域卷积时域相乘，频域卷积。即即h(n)=W(n) hd(n) 因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键键。3、窗函数设计法（窗口法）、窗函数设计法（窗口法） 用一个有限长度的用一个有限长度的窗口函数序列窗口函数序列W(n)来来截取截取hd(n)：（即进行砍头截尾），：（即进行砍头截尾）， h(n)=W(n)hd(n) 使使h(n)满足因果，有限长，实序列，并具满足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，则可设计出具有

35、线性有奇、偶对称性，则可设计出具有线性相位的相位的FIR滤波器。滤波器。二、利用窗函数法设计四种线二、利用窗函数法设计四种线性相位性相位FIR DF1.低通低通2.高通高通3.带通带通4.带阻带阻1、低通、低通设设理理想想线线性性相相位位的的低低通通滤滤波波器器频频率率特特性性为为：其幅度特性：其幅度特性：1)(wHwcwcw/ 200()-122jwjwMccjwdeewwwHeNMw 因因 为为 以以 群群 时时 延延 为为20sin()2( )()21sin()2( )( )( )( )1)sin()1()22()jwcdcdjwncdMw nh nMnw nH eedNw nh nh

36、n W nW nNnwn 其其单单位位冲冲激激响响应应为为：（由由付付氏氏反反变变换换得得）则则设设计计实实际际滤滤波波器器为为：1( )2NW nN 长长度度为为，且且以以为为中中心心偶偶对对称称的的函函数数sin()2( )( )(1)0,1,1( )22cnNh nMw nh nW nh NnMnNDDFNF 则则取取偶偶对对称称，设设计计第第一一种种情情况况的的线线性性相相位位低低通通。，设设计计第第二二种种情情况况的的线线性性相相位位当当奇奇数数时时偶偶数数低低通通当当时时。()(),1sin()2()()()(1)1)20,1, 213sin(6)3()(12)6)3sin(5.5

37、)3()1312(11)5.5)NcdccWnRnNwnh nhn Wnh NnNnnNwnh nNhnnwnh nhNnn 当当 选选 用用 矩矩 形形 窗窗 时时 ，则则 ：若若 取取， 奇奇 数数取取，且且若若且且偶偶 数数 ，)(nhn)(nhn例子例子例子 设计一个设计一个FIR低通滤波器，所希望的频率低通滤波器，所希望的频率响应为：响应为：()1010 20 4000.250.25jwdHeNMww 在在之之间间为为 ，在在之之间间为为 ，分分别别取取长长度度为为单单位位冲冲激激响响应应为为， ， ，观观察察其其幅幅频频响响应应的的特特点点。/2100.25()00.25jMwjw

38、dewHew 解解：（ ）由由题题意意可可知知：(2)低低通通滤滤波波器器的的理理想想单单位位冲冲时时域域激激响响应应为为：21( )()212sin()2()2ccccwjwjwnddwMwwjjwnwchnHeedweedwMw nMn(3)10,( )0sin()2( )( )( )( )()20,1,2, ( )cdMnMW nMw nh nh n W nW nh MnMnnM h nFIR 根根据据给给的的采采用用第第一一类类线线性性相相位位中中的的值值可可知知：N N的的长长度度为为，其其他他取取偶偶奇奇第第对对称称可可得得出出线线性性相相位位的的滤滤一一种种情情况况设设计计。数数

39、波波器器的的系系数数为为：10sin0.25()2( )( )10)210sin0.25()2(0)(10)0.04510)210sin0.25(1)2(1)(9)0101)210sin0.25(2)2(2)(8)0.07510210)2nh nW nnhhhhhMh当时，10sin0.25(3)2(3)(7)0.1592103)210sin0.25(4)2(4)(6)0.2251104)210sin0.25(5)2(5)0.25105)2hhhhh则则设设计计出出线线性性相相位位的的滤滤波波器器为为：0( )( )MnnH zh n zZ-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)Z-1Z-

40、1Z-1Z-1Z-1(0)(10)hh(1)(9)hh(2)(8)hh(3)(7)hh(4)(6)hh(5)h可以画出所设计出线性相位的滤波器的幅频特性和其单位冲激响应。01-500-400-300-200-1000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)01234567891000.00.

41、25n (samples) AmplitudeImpulse Response2、高通、高通 理想理想的线性相位高通的线性相位高通DF的的频率特性为：频率特性为：/ 2()0-1202jwjwMcjwdceewwHewNwM 因因 为为 以以 群群 时时 延延 为为pcww截截 止止 频频 率率 为为 ：其幅度特性：其幅度特性：1)(wHwcwcw 由付氏反变换得：/ 2/ 2( )si1n()sin()222()2()2112)22ccjwjwndwjwMjwnjwMjwndccwHeedweedweedhnMMnwnMnMnwwMn( )( )0,1,2,( )( )( )sin(1)(

42、)( )()sin()22( )()2(1) dch n W nnMFIRh nh nh Nnh nh nh Nnh nMMnw nW nMnFNND 实实际际设设计计的的滤滤波波器器为为：根根据据设设计计线线性性相相位位高高通通滤滤波波器器可可知知：（1 1），对对应应于于情情当当 为为奇奇数数时时第第况况线线性性相相位位即即为为偶偶对对称称，（2 2）即即为为奇奇对对称称，设设计计是是情情况况一一种种当当 为为偶偶数数线线性性相相，四四种种位位高高通通时时第第sin()sin()22( )( )( )( )()2cdMMnw nh nh nW nW nMn 一一个个高高通通滤滤波波器器相相

43、当当于于用用一一个个全全通通滤滤波波器器减减去去一一个个由由式式低低通通子子：看看出出：滤滤波波器器。( )( )sin()sin()22( )( )( )( )()20,1,2,1,sin(6)sin(6)3( )(1)(6)(0)(12), (113)(11).3NcdcNW nRnMMnwnh nh n W nW nMnnNnnh nh Nnnhhhhw 取取矩矩形形窗窗函函数数时时，取取，奇奇数数：，则则：即即例子例子sin(06)sin(06)3(0)0(12)(06)hhsin(16)sin(16)3(1)0.055(11)(06)hhsin(26)sin(26)3(2)0.069

44、(10)(26)hh sin(36)sin(36)3(3)0(9)(36)hhsin(46)sin(46)3(4)0.138(8)(46)hhsin(56 )sin(56 )3(5)0 .2 7 6(7 )(56 )hh 3(6)0.67cwhsin(5.5)sin(5.5)3( )(1)(5.5)(0)(11), (1)(10).12,3cnnh nh NnnhhhNwh 则则：即即取取，偶偶数数，：sin(05.5)sin(05.5)3(0)0.029(11)(05.5)hh sin(15.5)sin(15.5)3(1)0.141(10)(15.5)hh sin(25.5)sin(25.5

45、)3(2)0.045(9)(25.5)hh )(nhsin(45.5)sin(45.5)3(4)0.424(7)(45.5)hh sin(35.5)sin(35.5)3(3)0.063(8)(35.5)hh sin(55.5)sin(55.5)3(5)0.318(6)(55.5)hh 2、带通、带通 理想理想的线性相位带通的线性相位带通DF的的频率特性为：频率特性为：0000()00()jwdccjwdjwccHeewwwwwHw ewwwwww )(w相位特性相位特性w1()jwdHew0wcww 0cww 0202cww002cww00000000202020()2()201( )()21

46、12212()12()sin()2cos()()ccccccccjwjwnddwwwwjwjwnjwjwnwwwwwwjw nwwwwjw nwwchnHeedweedweedwej nej nwnwnnn 0( )( )( )sin()2cos()( )()0,1,2,1sin()()( )( )( )(1)dcch nhn W nwnwnW nnnNwnnNFIW nh nh nRNNDFhn 为为偶偶函函数数又又为为偶偶数数即即为为偶偶对对称称，当当时时，对对应应于于当当时时，设设计计为为奇奇数数第第一一种种线线性性相相位位带带通通为为偶偶数数第第二二种种线线性性相相位位带带通通是是 若

47、选择若选择相位有一个相移的理想的线性相位相位有一个相移的理想的线性相位带通带通DF的频率特性为：的频率特性为：)200)002()( )220jwjwddjwccjwccH eH w ewww wwewwwwwe （）（止止带带1)(wHw0wcww0cww0幅度特性幅度特性)(w相位特性相位特性w20020( )11( )()2sin(sin()122sin()( )12()2sin()()( )( )(1)(1)2jwjwnddccdh nHeedww nw nnh n W nh Nnnh Nh nNw nNw nW nNnNDFNDFn 奇奇数数时时第第三三种种线线性性相相位位带带通通。

48、偶偶数数为为奇奇对对称称当当，可可设设计计出出当当，可可设设计计时时第第四四种种线线性性相相位位通通出出带带。/2()0jwMjwlhdewwwHe方方法法二二：若若设设为为：理理想想带带通通滤滤其其波波器器的的频频他他率率特特性性hwlwlwhww()jwdHe(/2)(/2)1( )()21122sin()sin()22( )()2lhhljwjwnddwwj nMwj nMwwwhldhnHeedwedwedwMMwnwnhnMn 则则理理想想带带通通滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应应为为：求求出出( )( )( )(1)dNDh nhn W nh NnFNDF为为偶偶对对称称，可

49、可设设计计出出，可可当当奇奇数数时时第第一一种种线线性性相相位位带带通通。当当偶偶数数时时第第二二种种线线性性相相位位出出带带通通设设计计。,sin()sin()22( )()2.hldhlMMwnwnhnwMwn 一一个个带带通通滤滤波波器器相相当当于于两两个个低低通通滤滤波波器器相相减减，其其中中截截止止频频率率在在另另一一个个截截止止频频看看出出：率率在在由由式式子子4、带阻、带阻/2,()0jwjwMlhdewwwwHe带带阻阻数数字字滤滤。令令其其波波设设他他器器的的计计lwlwhwhw()jwdHew0(/ 2)(/ 2)(/ 2)11( )2212sin)sin)sin)222(

50、 )2,hllhwwjw nMjw nMdwjw nMwldlhhhnedwedwedwMMMnwnnwwwhnMn 则则理理想想带带阻阻数数字字滤滤波波器器的的单单位位冲冲激激响响应应为为：求求出出（一一个个带带阻阻滤滤波波器器相相当当于于一一个个低低通通滤滤波波器器加加上上一一个个高高通通滤滤波波器器，低低通通滤滤波波器器的的截截止止频频率率在在高高通通的的截截止止频频（可可以以：率率在在看看出出。(),1)()()()1()jwlhjwjwjdBBBwDFwwN MNHeHHeewewDFH 方方法法二二：设设线线性性相相位位的的带带通通（其其通通带带截截止止频频率率分分别别为为，取取其

51、其长长度度为为若若线线性性相相位位的的带带通通滤滤波波器器的的频频响响为为则则同同样样指指标标的的线线性性相相位位的的带带阻阻的的频频响响为为：sin)sin) sin)222(,)2lhdlhMMMnwnnMnwhwwn （由由（也也可可以以看看一一个个带带阻阻滤滤波波器器相相当当于于一一个个全全通通滤滤波波器器减减去去一一个个带带通通滤滤波波器器。其其带带通通滤滤波波器器的的低低端端截截止止频频率率在在高高端端的的截截止止频频率率在在出出：。()()()()()()()1)()()21)()()()2jwjddjwdjjwdjwjwwjwddjwjwdHeHeWedHeh nhn WnHn

52、WnHeHeHeHHeHee 最最 佳佳根根 据据时时 域域 中中 两两 序序 列列 相相 乘乘 。在在 频频 域域 中中 ： 为为与与的的 卷卷 积积（ 且且 为为 两两 序序 列列 频频 谱谱 的的 周周 期期 卷卷 积积 ）以以 低低 通通为为 例例 ， 说说 明明（ ）（发发 生生 了了 什什 么么？（ ） 研研（频频 率率 特特 性性变变 化化什什 么么 窗窗 函函 数数使使（逼逼究究使使近近（变变 化化 最最 小小 。即即三、滤波器频率特性三、滤波器频率特性1()21100( )1( )1()sin()12(), ()()s)2sinin()2s2n()2)i (NjwNNNjwn

53、jwnNjwnnjwRRNjwRwjWewNRneRn eeeWewNNWwwweww 矩矩形形窗窗口口的的频频率率特特性性为为：用用幅幅度度特特性性和和相相位位特特性性来来表表示示则则1、矩形窗口、矩形窗口sin()12( ), ( )()2sin()2( )()2( )RRRwwNNWwwwwwNWwWwNSaw 很很小小很很当当时时，当当时时，为为大大周周期期函函数数。)(wWRw31)(w211Ntg主瓣主瓣N2N2N4N4w2、特殊点、特殊点-1( )(0)12,(0)(0)10.cRaHwNHWw ，响响应应值值一一般般情情况况下下，则则可可视视为为从从的的的的全全部部面面积积。归

54、归一一时时化化为为零零频频特殊点特殊点-2( )()( )()()0.5(0)dcccRbH wHWwHwwwH ，响响应应值值此此时时与与的的一一半半重重叠叠，即即截截止止频频率率时时特殊点特殊点-32( )()()( )22()8.95cRdccwwNHcH wNWHwNw ，响响应应值值这这时时的的主主瓣瓣刚刚好好全全部部在在内内通通带带外外，而而通通带带内内的的旁旁瓣瓣的的负负面面积积旁旁负负肩肩峰峰：时时出出现现负负瓣瓣的的肩肩峰峰为为正正面面积积。特殊点特殊点-42( )()()( )2()m28.ax,95cRdccdH wNwwWwHHNwN ，响响应应值值这这时时的的全全部部

55、正正肩肩峰峰：时时频频响响出出现现正正肩肩峰峰主主瓣瓣都都在在为为通通带带内内，特殊点特殊点-5(1( )()dRewHWw 当当继继 续续 在在的的 阻阻 带带 内内 变变 化化 时时 ，在在 尾尾 瓣瓣 将将 扫扫 过过 通通 带带 ，此此 时时零零 波波 动动 ，波波 动动 。出出 现现 零零 波波 动动 。2、几个特殊点、几个特殊点-64()RWNf 过过 渡渡 带带（过过 渡渡 带带 的的 宽宽 度度 ：） 的的 主主 瓣瓣 宽宽 度度2、几个特殊点、几个特殊点-7( )g在在最最大大负负肩肩峰峰外外形形成成长长长长的的余余振振。出出现现：由由于于频频率率中中的的旁旁瓣瓣与与矩矩形形

56、窗窗卷卷积积而而产产生生的的，产产生生的的窗窗口口频频谱谱的的旁旁瓣瓣余余振振余余越越多多， 余余振振原原因因振振也也越越多多。2、几个特殊点、几个特殊点-8( )sin)8.9()sin()sin22( ),2sin225(RhNwNwNxwNWwNxwwxNGibbsNw设设截截取取的的长长度度为为 ，则则主主瓣瓣附附近近的的频频谱谱结结构构：其其中中）看看出出：即即：只只能能使使起起伏伏的的振振荡荡变变化化。，只只能能使使起起伏伏的的振振荡荡变变密密，而而吉吉布布斯斯（效效应应改改变变 ，只只能能改改变变 坐坐标标的的比比例例。最最大大肩肩峰峰永永此此现现象象称称为为吉吉布布远远为为。斯

57、斯效效应应。3、理想滤波器与实际滤波器之、理想滤波器与实际滤波器之间的差别间的差别-14( )()(.aDFHNw 实实际际在在理理想想特特性性不不连连续续的的边边缘缘处处，产产生生一一过过渡渡带带过过渡渡带带的的宽宽度度取取决决于于窗窗口口频频个个过过渡渡谱谱的的主主瓣瓣宽宽度度带带。3、理想滤波器与实际滤波器之、理想滤波器与实际滤波器之间的差别间的差别-2( )21.089520.0895ccbwwNwwN 肩肩 峰峰 （ 正正 、 负负 肩肩 峰峰 ）： 为为，： 为为，正正 肩肩 峰峰负负 肩肩 峰峰3、理想滤波器与实际滤波器之、理想滤波器与实际滤波器之间的差别间的差别-3( )c 余

58、余振振，旁旁瓣瓣愈愈多多，余余振振也也越越多多。旁旁瓣瓣相相对对值值取取决决于于窗窗口口愈愈大大，肩肩峰峰频频谱谱的的旁旁瓣瓣也也愈愈强强。4、如何改善过渡带、肩峰、余、如何改善过渡带、肩峰、余振振-1( )4NwaN ，（ 过过 渡渡 带带 宽宽 度度 ）增增 加加减减 少少( )b决决定定通通带带的的平平稳稳，决决定定阻阻带带的的衰衰减减。对对滤滤波波器器的的性性能能有有很很肩肩峰峰值值大大小小大大关关系系。4、如何改善过渡带、肩峰、余、如何改善过渡带、肩峰、余振振-2例子例子8.95( )0.0895(0)( )20lg21(0)21H wHH wAsdBHAsdB 采采用用矩矩形形窗窗

59、函函数数，其其负负肩肩峰峰达达致致使使：而而实实际际上上工工程程为为是是不不够够的的。要要改改善善阻阻带带衰衰减减特特性性，只只能能从从窗窗函函数数形形状状上上改改变变窗窗函函数数，改改变变肩肩峰峰大大小小，改改变变过过渡渡找找出出路路。即即带带衰衰减减。( )c减减少少过过渡渡带带宽宽度度，增增大大余余振振增增大大过过渡渡带带宽宽度度，减减少少余余振振只只能能余余振振折折中中考考虑虑。4、如何改善过渡带、肩峰、余、如何改善过渡带、肩峰、余振振-3( )a把把能能量量尽尽量量集集中中在在主主瓣瓣中中。这这样样可可以以减减少少尽尽量量减减小小肩肩峰峰，余余窗窗口口频频谱谱中中振振提提高高阻阻的的

60、旁旁瓣瓣。带带衰衰减减。5、改善函数形状标准、改善函数形状标准-1()Abs 以以 获获 得得 较较 陡陡 的的 过过 渡渡 带带 。 （ 过过 渡渡 带带 小小 ）以以主主 瓣瓣 的的 宽宽 度度 尽尽 量量 窄窄 。增增 加加 主主 瓣瓣 宽宽 度度 ， 换换 取取 旁旁 瓣瓣 的的上上 两两 个个 要要 求求 不不 能能 兼兼抑抑 制制 。得得 。5、改善函数形状标准、改善函数形状标准-2( )aw如如果果选选用用一一窗窗函函数数的的主主要要目目的的：则则选选用用主主是是为为瓣瓣较较窄窄的的窗窗函函数数，比比较较小小。则则增增加加通通带带内内产产生生振振荡荡。 阻阻了了得得带带内内到到较