《概率统计》电子教案：D5-3习题课

1、NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理(),E X =方差解解:则由切比雪夫不等式| 3_.PX1.设随机变量 X 的数学期望2(),D X =22| 3(3 )PX1.9应填1.919第五章习题课第五章习题课 (10)NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵

2、修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理142 0.51 4 2523.由切比雪夫不等式23| 66PXY1.12应填:1.12()()( )2Cov(, )D XYD XD YX YCov(, )()( ),XYX YD X D Y所以()1,( )4,0.5XYD XD Y依题意有:解解:而和 4 ,2.| 6_.PXY设随机变量 X 和Y 的数学期望都是 2 , 方差分别为1相关系数为0.5 , 则根据由切比雪夫不等式112NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概

3、率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理3. 在一次试验中,事件A 发生的概率为则利用切比雪设 X 表示在1000 次独立试验中事件A发生的次数,1,21(1000, ).2XB夫不等式估计是否可以用0.97的概率确信, 在1000次独立重复试验中, 事件A 发生的次数在400 600的范围内?解解:1()1000500,2E Xnp211()1000250.22D XnpqNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主

4、讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理400600PX 100500100PX|500| 100PX因此可以0.97的概率确信在1000次试验中事件A发生250110000 0.975利用切比雪夫不等式可得:400500500600500PX的次数在400至600的范围内.22501100 1140 3940NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理4.利用切比雪

5、夫不等式确定当掷一均匀铜币时, 需投多少次, 才能保证使得正面出现的频率在0.4和0.6之间的概率不小于90%?解解:设事件A出现的次数为X , 则( ,0.5),XB n()0.5,E Xn2( )0.5 0.50.25.D Xnn 事件A出现的频率为.AXfn0.40.6XPn0.40.6 PnXn由切比雪夫不等式可得:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理0.40.50.50.60.5 P

6、nnXnnn 0.10.50.1 PnXnn|0.5 | 0.1 PXnn20.251(0.1 )nn 依题意有:2510.9,n至少作250次独立重复试验 ,频率在0.4 至0.6 之间的概率不小于0.90.解得250,n才可使事件A 出现的0.40.6 PnXnNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理5. 一个复杂系统,由100个相互独立起作用的部件所组成,在整个运行期间, 每个部件损坏的概率

7、为0.1, 为使整个系统起作用, 至少需85个部件工作,求整个系统工作的概率.解解: 设工作的部件数为X , 则(100,0.9),XB()100 0.990,E Xnp2()100 0.9 0.19.D Xnpq根据拉普拉斯中心极限定理有:100 9085 9085100()()33PXNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理100 9085 9085100()()33PX(3.33)( 1.6

8、7)(3.33) 1(1.67)(3.33)(1.67) 10.99956580.952541 10.9521因此该系统工作的概率为0.9521.NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第五章第五章 大数定律与中心极限定大数定律与中心极限定理理因12,nX XX6. (1,2,)iXi 设服从参数为的指数分布,为独立随机变量序列,且试求:1lim.niinXnPxn解解:iX服从参数为的指数分布,1(),iE X21(),iD X1(),niinEX故有21().niinDXNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系