《概率统计》电子教案：D3-4课本习题答案与提示

1、习题习题3 答案与提示答案与提示 第三章 1. 已知随机变量X的分布律为求：2(3) ()E X解解:(1)()E X11111110123626124 13.) 1()2(XE41) 12(23.61) 121(61) 10(31) 11 (121) 11(22222111111= ( 1)0( )1236261243524.);() 1 (XE);1()2(XE).() 3(2XEXP316161121411012212. 已知随机变量X的分布函数为求：解解:).(XE4140400)(xxxxxF104( )( )40 xf xF x其它)(XEdxxxf)(404dxx4028x2.3

2、.假设每位旅客在各个车站下车是等可能的，解解:一民航机场的送客汽车每次载20位旅客自机场开出，沿途有10个车站， 若到达一个车站没有旅客下车， 就不停车.试求汽车每趟车停车的平均次数.设个车站停车汽车在第个车站不停车汽车在第iiXi101,2,10i.由于每位旅客在各车站下车是等可能的且相互独立，且各个车站停的概率020iP XP名旅客都不下20109）（位旅客在各车站不下车概率都为则每9,10又车是相同的.1210,XXX独立同分布服从分布2020)109(1)109(10设汽车停车的次数为Y,则1210YXXX .)(YE1210()()+()10 ()iE XE XE XE X20209

3、9100()1 (1() )1010 784. 84. 设YX,是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知解解:1, 1PX的分布律为. 3 , 2 , 1,31iiXP又设),max(YX).,min(YX(1)写出二维随机变量),(的联合分布律；(2) 求随机变量的数学期望.(1)显然最值,取值1,2,3.1, 1YXP9111YPXP1, 2P2, 11, 2YXPYXP.且92以此类推得),(的联合分布律为：(2)123123919292929191000 iP913195( )E953312911229.5. 设随机变量 X 与Y 相互独立,它们的概率密度函数分别为;0002)(2

4、xxexfxX.0004)(4yyeyfyY求),(YXE),32(2YXE).(XYE解：解：dxxxf)(022dxxex02)(xdex)(XEdxexexx0202201122xe. dyyyf)(044dyyey04)(ydey)(YEdyeyeyy0404401144ye. dyyfy)(20424dyeyy042)(ydey)(XYEdyyeeyyy0404221( )2E Y)(YXE)()(YEXE113244.)32(2YXE)(3)(22YEXE11523288. 由于X 与Y 相互独立，)()(YEXE111248.)(2YE111248.40142yyedy6. 已知

5、随机变量X 的分布律为求：解解:()1 0 220 33 0 5E X. ).(),(XDXEXP1230.2 0.3 0.52 3 .2222()10 220 330 5E X.5 9 .)(XD)()(22XEXE25 92 3.0 61.)(XEdxxxf)(13402132xx7.其概率密度函数为求 X 的方差 D (X) .解解:1101010 xxf( x)xx 其它设 X 为一随机变量,显然111( )0 xxf x 其它为偶函数.11)1 (dxxx0.)(XD)(2XEdxxfx)(2112)1 (dxxx102)1 (2dxxx16.8.一台设备由三大部件构成， 在设备运转

6、中部件需要调整的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 假设各部件的状态相互独立，0 , 1 , 2 , 3X.以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望)(XE和方差).(XD解：解：0P X 0 90 80 7.504. 01P X 0 1 0 80 70 90 20 70 90 80 3.2P X 显然398. 00 1 0 20 70 90 20 30 1 0 80 3.3P X 092. 00 1 0 20 3.006. 0006. 0092. 0398. 0504. 03210PXX 分布律为)(2XE)(XE006. 03092. 02398. 01504. 006 .

7、0)(XD)()(22XEXE46. 06 . 082. 02006. 03092. 02398. 01504. 00222282. 09.设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命X 和Y 的概率XP900 100011000.10.80.1问哪家厂生产的灯泡质量较好?分布表分别为:YP950 100010500.30.40.3解解:()9000 1 10000 811000 1E X.1000.( )9500 310000 410500 3E Y.1000.)(XD)()(22XEXE2100200010002000.2222()9000 1 10000 811000 1E X.1002000,)

8、(YD)()(22YEYE2100150010001500.2222()9500 310000 410500 3E Y.1001500,甲乙两厂灯泡平均寿命相同, 但乙厂方差小,所以乙厂质量较好.10. 设随机变量12,nXXX相互独立且服从同一分布，数学期望为, a方差为.2b求这 n 个随机变量的算术平均值niiXnX11的数学期望和方差.解：解：)1()(1niiXnEXE由数学期望和方差的性质可得：11()niiE Xnnan1a.)1()(1niiXnDXD211()niiD Xn221nbn2b.n11.且求解：解：, 1)()(YEXE, 2)(XD, 4)(YD)()()(YE

9、XEYXE1 12. )()()(YDXDYXD246.)(2YXE设相互独立，与YXX由于与Y相互独立22)()()(YXEYXDYXE26210.12.设二维随机变量),(YX的联合分布律为:1Y01101810X81818181818181问X是否不相关?与Y是否相互独立？解：解：X与Y 边缘分布律如下：Y101101810X iP83288381818181818181jP83832883111,1,8P XY X不独立.与Y由于,831XP831YP1,111,P XYP XP Y Y101101810X iP83288381818181818181jP838328831)(XE32

10、3101888 0,)(YE323101888 0,8118118118110.)(XYECov(, )()() ( )X YE XYE X E Y所以0,X不相关.与Y13.设随机变量),(YX的联合概率密度函数为求：解解:(),( ),Cov(, ),X ,YE XE YX Y.1()02,02( , )80 xyxyf x y其它201()0280 xy dyx其它( )Xfxdyyxf),(10240 xx其它20)41()(dxxxXE2023)23(41xx76.202)(41dxxx2022)41()(dxxxXE2034)34(41xx53.2023)(41dxxx11( )3

11、6D Y.)(yfY同理10240yy其它)(XD)()(22XEXE25736 （ ）7( ),6E Y Cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y dxdyyxxyfXYE),()( 20208)(dxdyyxxy20202)(81dxdyyxyxdxyxyx202032)32(81dxxx)34(20243.2)67(34136. Cov(, )()( )XYX YD XD Y36113611361111. 1136.14.证证：,1YXZ设随机变量独立同分布，与YX记,2YXZ试证明. 021ZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(),(),(YYCovXYCovYXCovXXCov)(),(),()(YDYXCo