高中数学导数及其应用教案

1、1/17个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：老师授课时间：年月日(星期)姓名年级：高三教学课题导数及其应用阶段基础(3 提高(3 巩固(3计划课时第()次课共()次课教 学目标知识点：考点：方法：重点难点重点：难点：教学内容与教学过程课刖检查作业完成情况：优口良口中口差口建议导数及其应用(一)主要知识及主要方法：1.设函数yf(x)在xX0处附近有定义，当自变量在xX0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0 x)f(x0)，如果x0时，y与x的比(也叫函数的平均变x化率)有极限即一匕无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数yf(x)在xx0处的导x数，记作yxx，即f(x)

2、Iimf(xox；f(0在正义式中，设xx0 x,贝Uxxx0,当x趋近于0时，x趋近于x0,因此，导数的定义式可写成#/.f(xx)f(x)f(x)f(x)f(x)lim。lim.2.导数的几何意义：导数f(x0)1如。x)是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在点x0处娈化的快慢程度.它的几何意义是曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点(x0,f(x。)处的切线方程为yf(x)f(x)(xx)2/17x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x),称这个函数f(x)为函

3、数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即y.f(xx)f(x)f(x)=y=lim二limx0 xx0 x函数yf(x)在x处的导数y|xx0就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b)上导数f(x)在x0处的函数值，即yxx=f(x).所以函数yf(x)在x0处的导数也记作f(冷).4.可导：如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导.5.可导与连续的关系：如果函数yf(x)在点x处可导，那么函数yf(x)在点x处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6.求函数yf(x)的导数的一

4、般步骤:1求函数的改变量yf(xx)f(x)2求平均变化率f(xx)f(x).xx3取极限，得导数yf(x)limyx0 x7.几种常见函数的导数：C0(C为常数)；(xn)nxn1(nQ)；(sinx)cosx；(cosx)sinx；11(lnx)；(logax)logae,xxxx(e)e；xx(a)alna8.求导法则：3/17法则1:u(x)v(x)u(x)v(x).4/17前者未必是切点.5对于R上可导的任意函数f(x),若满足法则2：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),Cu(x)Cu(x)法则3:uvuvuv2(v0)v9.复合函数的导数:设函数u(x)在点x处有导数

5、ux(x),函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yufu，则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且yxyuux或fx(x)f(u)(x)10.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代12.导数的几何意义是曲线yf(x)在点(x,f(x)处的切线的斜率，即kf(x),要注意“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不尽相同的，后者A必为切点,问题1.1已知iimf(x02Ax)f(x0)3Ax1,求f(x)2设函数f(x)在点x处可导，求limh0f(x。h)f(x

6、。h)2h5/17A.f(0)f(2)2f1B.f(0)f(2)0在a,b上恒成立；f(x)在区间a,b上为减函数f(x)f(x).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部， 区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点5.当f(x)在点x连续时，判别f(x)是极大、极小值的方法：若x满足f(x)0,且在x的两侧f(x)的导数异号，贝Ux是f(x)的极值点，f(x)是极值，并且如果f(x)在x两侧满足“左正右负”，则x是f(x)的极大值点，f(x)是极大值；如果f(x)在x两侧满足“左负右正”，贝ux是f(x)的极小值点，f(x)是极小值.6.求可

7、导函数f(x)的极值的步骤：1确定函数的定义区间，求导数f(x)2求方程f(x)0的根，3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点11/177.函数的最大值和最小值：一般地，在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.1说明：1在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如函数f(x)-

8、在x(0,)内连续，但没有最大值与最小值；2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.3函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.8.利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：1求f(x)在(a,b)内的极值；

9、2将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值叩9.求参数范围的方法：分离变量法；构造(差)函数法12/1710.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值)为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索(二)典例分析:3I可题1.1函数yf(x)在正乂域(一,3)内可导，其图象如图所示，记2yf(x)，则不等式f(x)0的解集为3设f(x),g(x)均是定义在R上的奇函数，当x。时，f(x)g(x)f(x)

10、g(x)0,且f(2)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是A.2,0U2,B.2,2C.,2U2,D.,2U0,2问题2.1如果函数f(x)x3bx在区间0,1上单调递增，并且方程f(x)0的根都在区间2,2内，则b的取值范围为22已知f(x)12xx,那么g(x)ff(x)yf(x)的导函数为A3,12,3B1,2粕C.312,21,2D.3,313/17C.在1,1上单调递增D.在1,2上单调递增33函数f(x)x6x5,xR,(l)求f(x)的单调区间和极值；(n)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围.(m)已知当x(1,)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的

11、取值范围2axa1I可题3.已知函数f(x)厂一(xR),其中aR.(I)当a1时，求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;()当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值.A.在区间2,1上单调递增B.在0,2上单调递增14/17122I可题4.已知正义在正头数集上的函数f(x)x2ax,g(x)3aInxb,其中a0.设两2曲线yf(x),yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(I)用a表示b，并求b的最大值；(n)求证：f(x)g(x)(x0).2.若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)0恒成立，且常数a,b满足ab,则F列不等式一定成立的是Aaf(a)bf(b

12、)B.af(b)bf(a)C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a)3.求满足条件的a的范围：1使ysinxax为R上增函数，贝Ua的范围是2使yx3axa为R上增函数，贝Ua的范围是3使f(x)ax3x2x5为R上增函数，则a的范围是15/174.证明方程x33xc0在0,1上至多有一实根.16/175.如果f(x)是二次函数，且f(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1,J3),那么曲线yf(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是2A.(。，3B0,22)U3C.0,2U23D.2,236.如图，是函数f(x)32xbxA.89C.E9B.109D.2897.函数f(x)的定义域是开区间

13、a,b，导函数f(x)在a,b内的图象如图所示，贝炳数f(x)在开区间内有极小值点A.1个B.2个C.3个D.4个cxd的大致图像，贝Ux；8.函数f(x)3axbx22x的图象如图所示,且x1x20,则有A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b09.已知：x1,证明不等式：xIn1x3-一10.设f(x)axx恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间17/1711.已知函数f(x)lnxax2x在x0处取得极值.1求实数a的值；2若关于x的方E、5程f(x)-xb在区间0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；3证明：对任2n1n1意的正整数n,不等式

14、in都成立.nn(四)走向高考：12.f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a,b，若ab,贝U必有A.af(b)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)0,则土、的最小值为f(0)18/17A.3B.5C.2D.32214.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数A.,3B.,2C.3,5D.2,322223.3115.曲线yx在点(a,a)(a0)处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为一，则6a17.已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x0)在x1处取得极值3c,其中a,b为常数.(i)试确定a,b的值；(n)讨论函数f(x)的单调区间；2(m)右对任息x0,不等式f(x)2c恒成立，求c的取值范围.219/1718.设函数f(x)ln(xa)x(I)若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；e(n)右f(x