ch3-3二阶系统的时域响应(新)

1、自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24 1. 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型21221)()(kksTskksRsCTkksTsTkk2122112022-3-241. 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 例例1：实验电路：实验电路11)()(22KTssTsRsC1,RRKRCTx自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24例例2： 位置控制系统原理图位置控制系统原理图 i i o o p pR RSM1R R2R R1R Rp pR Rk kU Ua aU

2、Us sK Ka aK Km m 发发送送减速减速器器KssTKsssmi20)()()(自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24222( )( )2nnnC sR sss2( )(2)nnG ss s 二阶系统的标准数学模型：二阶系统的标准数学模型：开环传函：开环传函：闭环传函：闭环传函：系统的无阻尼自然频率:系统的阻尼比n:（1）传递函数）传递函数自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24R(s)C(s)2222nnnss( )R s( )C s（2）结构图）结构图自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时

3、域响应系统的时域响应2022-3-242. 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应系统的特征方程为：系统的特征方程为：0222nnss特征方程式的特征根为特征方程式的特征根为：2121nns可见：这些根与阻尼比有可见：这些根与阻尼比有 关关2022-3-242 - 1S1,2=-nnS1,2=-nS1,2 = jn01101j0j0j0j0二二阶系统根的分布阶系统根的分布2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=n自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-2410欠欠阻阻尼尼（1）21.2s1nnndjj 两个共轭复根 则,令ssR1 2

4、2222221dnndnndnnsssssssC 0t sin1cos12ttetCddtn0222nnss 0t 1arctansin11122tetCdtn2022-3-2422221( )()()nnndndsC ssss平移性质平移性质22cos()ntndndsets平移性平移性质质222sin()1ntndndets ssssCdnn1222自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-2421(1)nsj 22(1)nsj 1222( )( )11sin1111sin, 01nntntdc tLC setett j021arctan特征：衰减震荡曲

5、线特征：衰减震荡曲线10时：时：nd21自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-243-10 以参变量的二阶系统单位阶跃响应自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（2）无阻尼（）无阻尼（ =0）12, snnsjj ( )1 cosnc tt C(t)特征方程式的根为：特征方程式的根为：系统的输出响应为系统的输出响应为 ：特征：等幅震荡曲线特征：等幅震荡曲线自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（3）临界阻尼（）临界阻尼（ =1）1,2ns ( )1(1), 0ntnc

6、 tett C(t)系统的特征方程式的根为系统的特征方程式的根为：特征：特征：稳态值为稳态值为1 1的单调上升曲线的单调上升曲线自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-2422101212(1)(1)222( ) ( )11 02111nnttAAAc tL C sssssseet ，1（4）过阻尼（）过阻尼（ ） 系统的特征根为：系统的特征根为：21(1)ns 22(1)ns t tc(t)c(t)0 0自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24过阻尼系统分析过阻尼系统分析: 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。

7、绝对衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；轴近，衰减速度慢； 衰减项前的系数一个大，一个小；衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。影响小，有时甚至可以忽略不

8、计。自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24与一阶系统阶跃响应的比较与一阶系统阶跃响应的比较t tc(t)c(t)0 0二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应1 12022-3-24j0j0j0j0s1s211010二二阶系统单位阶系统单位阶跃响应定性分析阶跃响应定性分析(s)=s2+2ns+n2n222(1)(1)12221( ) ( ) 12111nntteec tL C s ( )1cosnc tt( )1(1)ntnc tet 21( )1sin1ntdc tet过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼无阻尼无阻尼自动控制原理自动

9、控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24( )1( )r tt3.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的动态过程分析二阶系统的动态过程分析0121( )1sin()1ntdc tet (0)t 2022-3-24h(t)t时间时间tr上升上升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义2(图图3-1)amplitudepeakTimeSettlingh(t)t调节时间调节时间tsTimeRise) t (h%100)(h)(h)t (h%p )(h%)(hmax 12022-3-24欠阻尼二阶系统动态性能欠阻尼二阶系统动态性能分析分析(图图

10、3-11)n n 2222)(n nn nn ns ss ss s j02nn2, 11js )tsin(e111) t (hdt2n 2nd1 n n 时：时：10 cos2022-3-24 1coscos，所以，所以友情提醒：友情提醒：欠阻尼二阶系统动态性能欠阻尼二阶系统动态性能计算计算(P77)由由% =h()h(tp) h()100%令令h(t)一阶导为一阶导为0，取其解中的最小值取其解中的最小值 tge% %100 或或d dr rt t 弧度弧度%100e%21 )sin(111)() t ( c2tethdtndpt 得得令令h(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值，自动控

11、制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24h(t)ts的计算(P82) 2%5)(h %2)(h t11n2e1 st 21)tsin()tsin(e1) t (hddt11n2 中中的的令令由包络线求调节时间由包络线求调节时间t ts s t2ne11t11n2e1 n2s1lnt 21ln 0.050.10.20.30.40.50.60.70.82.9973.0013.0163.0433.0833.1403.2193.3323.506%5取取 21ln 0.050.10.20.30.40.50.60.70.83.9133.9173.9323.9593.99

12、94.0564.1354.2694.423%2取取 %55 . 3tns取取， %25 . 4tns取取， 自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-2421rdnt（1）上升时间）上升时间tr 的计算的计算 瞬态过程中瞬态过程中第一次达到稳态值第一次达到稳态值的时间。的时间。n当当 n一定时，阻尼比越大，则上升时间一定时，阻尼比越大，则上升时间tr 越长；越长；n当当 一定时，一定时， n越大，则越大，则tr 越短，系统响应速度越短，系统响应速度 与与 一定成正比。一定成正比。n自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-

13、24（2）峰值时间）峰值时间 的计算的计算pt 将将 对对 求导，并令其导数为零，得求导，并令其导数为零，得t( )c tpdt 瞬态过程中瞬态过程中第一次出现峰值第一次出现峰值的时间。的时间。自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（3）超调量）超调量 的计算的计算 %最大超调量发生在第一个周期中最大超调量发生在第一个周期中 时刻。时刻。ptt %100%100)()()(%21ecctcp 从上式知，二阶系统的最大超调量与值从上式知，二阶系统的最大超调量与值 有密有密切的关系，阻尼比切的关系，阻尼比 越小，超调量越大。越小，超调量越大。2022-3

14、-24（4）调节时间）调节时间ts 的计算的计算( )c ( )c t 调节时间调节时间ts是是 与稳态值与稳态值 之间的偏差达到之间的偏差达到允许范围（一般取允许范围（一般取5%2%），而不再超出此范围的），而不再超出此范围的暂态过程时间。暂态过程时间。%)5(5 . 3，nst%)2(5 . 4，nst调节时间调节时间 近似与近似与 成反比关系。成反比关系。nst自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24n%pMst在设计系统时，一般在设计系统时，一般系统的性能：系统的性能：注：注：超调量超调量及及调节时间调节时间两项指标是在阶跃输入两项指标是在阶跃

15、输入 作用下计算的。作用下计算的。自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24例：有一位置随动系统，其结构图如图所示，当例：有一位置随动系统，其结构图如图所示，当 给定输入为给定输入为单位阶跃单位阶跃时，试计算放大器增益时，试计算放大器增益 KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性时，输出位置响应特性 的性能指标：的性能指标：tp、ts、，并分析比较之。，并分析比较之。)5 .34(5 ssKARC自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（1）单位阶跃输入）单位阶跃输入)(1)(ttr ssR1)( （2

16、）系统的闭环传递函数：）系统的闭环传递函数：AAKssKs55 .345)(2 自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24当当KA 200时：时：10005 .341000)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%pMe超调量：3.00.17snt调节时间：秒6.311000 n 1rad s自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24当当KA 1500时：时：75005 .3

17、415005)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：6 .867500 n 34.50.22n20.03784.851pnt峰值时间：秒2152.7%pMe超调量：3.00.17snt调节时间：秒1rad s自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24当当KA 13.5时：时：5 .675 .345 .67)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：21. 85 .67 n 34.52.12n? pt峰

18、值时间：峰值时间：0pM超调量：1(6.451.7)1.44snt调节时间：秒无无1rad s自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24系统在单位阶跃作用下的响应曲线系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1500K KA A=200=200K KA A=13.5=13.5自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-246. 二阶系统的性能改善二阶系统的性能改善（1）比例）比例-微分控制微分控制自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-2

19、4系统开环传函为：系统开环传函为：2(1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s闭环传函为：闭环传函为：2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs等效阻尼比：等效阻尼比：12ddnT自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24 可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种

20、早期控制（或称为超前控制），能在因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24前面图的相应的等效结构由此知道：12( )( )( )c tc tc t自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24和和 及及 的大致形状如下的大致形状如下1( )c t2( )c t( )c t一方面，增加一方面，增加 项，增大了等效阻尼比项，增大了等效阻尼比 ，使，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使曲线比较平稳。另一

21、方面，它又使 加上了加上了它的微分信号它的微分信号 ，加速了，加速了c(t)的响应速度，但同的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。的平稳作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数间常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有过阻尼的具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性形式，而闭环

22、零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1( )c t自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（2）输出量的速度反馈控制）输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24闭环传函为：2222( )( )( )(2)nntnnC ssR ssKs等效阻尼比：12ttnK等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减

23、小，改善了系统的平稳性。自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（3）比例微分控制和速度反馈控制比较）比例微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。2022-3-24增大阻尼比的两种方法(P83-87)2nnt22ns2s) s ( )k2s ( s) s (G2ntn

24、2n 变大了）nttk5 . 01 用）几个性能指标公式照2变小了）k3)2s ( s)1sT() s (Gnd2n 2nnd2d2ns2s)1sT() s ( 变大了）nddT5 . 01 用！几个性能指标公式不能）系统增加一个零点,2相同。两个系统的超调也不会即使td 没变）k3)503()443( 请看公式自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24例例 有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中 K = 4。求该系统的。求该系统的 （1）自然振荡角频率；）自然振荡角频率； （2）系统的阻尼比；）系统的阻尼比；

25、（3）超调量和调节时间；）超调量和调节时间； （4）如果要求）如果要求 ，应怎样改变系统，应怎样改变系统 参数参数K 值。值。707. 0自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24解解：系统的闭环传递函数为 写成标准形式： 得自然振荡角频率： 阻尼比： 由 得 超调量 ：调节时间 ： 2/, 4G sKssKK 222( )2nnnG sss2nK12n25.021n21100%47%pMestns 63%)5(自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24 （1）当要求）当要求 时时, 可见可见： 必须必须降低开环放

26、大系数值降低开环放大系数值，才能满足二阶工，才能满足二阶工 程最佳参数的要求。程最佳参数的要求。 但应注意到，降低开环放大系数将使系统稳但应注意到，降低开环放大系数将使系统稳 态误差增大。态误差增大。 707. 021n20.5nK自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-24（2）为了改善系统的暂态响应性能，满足单位阶跃）为了改善系统的暂态响应性能，满足单位阶跃 输入下系统超调量输入下系统超调量 的要求，加入微分的要求，加入微分 负反馈负反馈 ，如图所示，求微分时间常数。，如图所示，求微分时间常数。4.3%pM s自动控制原理自动控制原理第第3章章 系统的时域响应系统的时域响应2022-3-