九年级总复习之圆的有关性质

1、圆的有关性质OOOO圆的相关概念圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧, ,简称简称弧弧. .n 连接圆上任意两点间的连接圆上任意两点间的 线段叫做线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心的经过圆心的弦弦叫叫n做做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,n读作读作“弧弧AB”.ABCD圆的相关概念圆的相关概念 直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都每一部分都叫做半圆叫做半圆(如弧如弧ABC).OAB小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 n(用两个字母用两个字母).ABCDn大于半圆的大

2、于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,n如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ACDACDOABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦垂直于弦的直径平分弦，并且的直径平分弦，并且平分弦所对的两条平分弦所对的两条弧弧平分弦（不是直径）的直径平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂径定理：垂径定理：垂径定理推论垂径定理推论：MAM=BM, CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. A

3、C=BC,CDAB, CD是直径是直径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得M垂径定理推论垂径定理推论：1圆心角圆心角1弧弧OABCDn圆心角圆心角n弧弧圆心角的度圆心角的度数和它所对数和它所对的弧的度数的弧的度数相等。相等。在在同圆或等圆同圆或等圆中，中，如果两个如果两个圆心角圆心角、两条弧两条弧、两条弦两条弦、两条弦的两条弦的弦心距弦心距中有中有一一组量相等，组量相等，那么它们所对应的那么它们所对应的其余其余各组量都分各组量都分别相等别相等OABCABC关于弦的问题，常关于弦的问题，常常需要常需要过圆心作弦的过圆心作弦的垂线段垂线段，这是一条非，这是一条非常重要的常重要的辅助线

4、辅助线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦长半径、弦长构成构成直角直角三角形三角形，便将问题转，便将问题转化为直角三角形的问化为直角三角形的问题。题。MPBOA圆周角圆周角n顶点在圆上顶点在圆上, ,并且两边都与圆相交并且两边都与圆相交的角的角, ,叫做叫做圆周角圆周角. .OBACED特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.Fn圆周角圆周角.BOADC 在同圆（等圆）中在同圆（等圆）中, ,同弧同弧 ( (等弧等弧) )所所对的圆周角相等对的圆周角相等. .都等于都等于这条弧所对的圆这条弧所对的圆心角的一半心角的一半. .圆周角定理圆周角定理

5、:在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,相等的相等的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等. .等角等弧等角等弧1、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。直径直径直角直角等角等弧等角等弧3、内接四边形的对角互补。4、如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角

6、三角形。点与圆的位置关系点与圆的位置关系如图，设如图，设 O的半径为的半径为r，A点在圆内，点在圆内，B点在圆上，点在圆上，C点在圆外，那么点在圆外，那么若点若点A在在 O内内 OAr若点A在O上 OAr若点若点A在在 O外外 OAr 图 23.2.1 OAr， OBr， OCr反过来也成立，即反过来也成立，即直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 相交 相切 相离图图 形形 公共点个数公共点个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称圆心到直线距离圆心到直线距离d与半径与半径r的关系的关系drOllrdOdrOl2 个交点割线1 个切点切线d r没有用两圆的用两圆的圆心距圆心

7、距d d与两圆的与两圆的半径半径R,rR,r的数量关系来的数量关系来判别两圆的位置关系判别两圆的位置关系定理：定理：不在同一直线上的三个点不在同一直线上的三个点确定一个圆。确定一个圆。.ACBOCAB经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外外接圆接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圆的三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外接圆？如何找三角形的外心？心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？5.锐角三角形的外心在三角形锐角

8、三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在三角，直角三角形的外心在三角形形 ，钝角三角形的外心在三角形钝角三角形的外心在三角形_。外外内内斜边的中点斜边的中点ID知识回顾知识回顾一、圆的周长公式一、圆的周长公式二、圆的面积公式二、圆的面积公式C=2rS=r2180rnr2360nl 2360rnslrs21或三、弧长的计算公式三、弧长的计算公式四、四、扇形面积计算公式扇形面积计算公式五五 、大于半圆的弓形面积为大于半圆的弓形面积为S弓形弓形=S扇形扇形+S六六 、小于半圆的弓形面积为小于半圆的弓形面积为S弓形弓形=S扇形扇形-SS侧=S扇形S全=S侧+S底圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面

9、积圆锥的圆锥的底面周长底面周长就是其侧面展开图就是其侧面展开图扇扇形的弧长形的弧长，圆锥的圆锥的母线母线就是其侧面展开图就是其侧面展开图扇形的扇形的半径半径。2rrarar ala22121EF FC CD.中心角中心角边心距边心距r r一、圆的切线：一、圆的切线：直线直线l l是是OO的切线的切线OAOA是圆心是圆心O O到直线到直线l l的距离的距离 lOA2 2、性质：圆的切线、性质：圆的切线垂直于垂直于经过切点的半径。经过切点的半径。 AlOAlO圆心圆心O O到直线到直线l l 的距的距离等于半径离等于半径 AlO2、切线的性质定理切线的性质定理: :圆的切线垂直于过切点的半径圆的切

10、线垂直于过切点的半径 老师提示老师提示: : 切线的性质定理是证明切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据两线垂直的重要根据; ;作过切点的半作过切点的半径是常用经验辅助线之一径是常用经验辅助线之一. .垂直于垂直于过切点过切点半径半径 (1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结则连结这点和圆心这点和圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作再证所作半径与这直线垂直。简记为：半径与这直线垂直。简记为：连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2)(2)如果已知条件中不知直线与圆如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点是否有公共点, ,则过圆心作直线的垂线则过圆心作直线的垂线段为辅