静电场高斯定理的研究

1、06/111静电场高斯定理的研究静电场高斯定理的研究 演讲人：夏志勇演讲人：夏志勇 合作者：马保龙合作者：马保龙 吕琼吕琼 指导老师：杨晓梅指导老师：杨晓梅06/112 高斯定理高斯定理一、一、 电场线电场线(electric field lines)：在电场中画一组曲线：在电场中画一组曲线： 1、曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致；、曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致； 2、从正电荷出发，终止于负电荷；、从正电荷出发，终止于负电荷； 3、为了定量地描写电场，对电场线的画法作如下的规定、为了定量地描写电场，对电场线的画法作如下的规定：在电场中任一点处，通过：在电场中任一点处，通

2、过垂直于电场强度垂直于电场强度E单位面积单位面积的电的电场线数等于该点的电场强度的数值。场线数等于该点的电场强度的数值。 dSEddNES注意：dS是垂直E的 06/113二、二、 电场强度通量电场强度通量(electric flux) 通过电场中某一个面的电场线的条数，称为通通过电场中某一个面的电场线的条数，称为通过该平面的电场强度通量。过该平面的电场强度通量。 2 2、一般情况：、一般情况：将曲面分割为将曲面分割为无限多个面元，称为无限多个面元，称为面积元矢面积元矢量量nSSdd则电场穿过该面元的电通量为则电场穿过该面元的电通量为ddeES电场穿过某曲面的电通量为电场穿过某曲面的电通量为e

3、ES 1、若电场是均匀的而且面和场是垂直的、若电场是均匀的而且面和场是垂直的，则有，则有deends06/114 不闭合曲面：不闭合曲面： 闭合曲面：闭合曲面： 面元的法向单位矢量可面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可有两种相反取向，电通量可正也可负；正也可负； 规定面元的法向单规定面元的法向单位矢量取向外为正。位矢量取向外为正。 电场线穿出，电通量为电场线穿出，电通量为正，反之则为负。正，反之则为负。nnnn 电场强度通量电场强度通量说明：说明：电通量是标量，但有正负之分。电通量是标量，但有正负之分。06/115真空中真空中，在一带电量为q的点电荷的电场中，以该电荷所在点为球心作一半

4、径为r的球面，则通过此闭合曲面的电场强度通量为：01dd4e3SSqESrSr22200Sqd4 r44rqSr0q+qSdEr0deSq ES结论：结论：真空静电场真空静电场中通过任何一闭合曲面的电场强度通量等于该闭中通过任何一闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面包围的自由电荷除以合曲面包围的自由电荷除以 ，数学表达式为，数学表达式为0006/116有电介质时的静电场的高斯定理 1.现在我们把真空中静电场的高斯定理高斯定理，推广到有电介质时的静电场中静电场中去。今在有电介质时的静电场中静电场中，任意作一高斯面，被它所包围的电荷除自由电荷外，还存在束缚电荷，由高斯定理高斯定理： (a) 06/

5、117 2、由于介质中的束缚电荷难于测定，须在(a)式中用有关物理量来取代 。在上一节中说过，由于电介质的极化，在介质上要出现束缚电荷。因而，描述介质极化程度的电极化强度与束缚电荷之间必然存在着一定的关系。可以证明在均匀电介质中，对于上述任取的高斯面，电极化强度 的曲面积分与该高斯面所包围的束缚电荷存在着如下关系，即 (b) 06/118 3、把式(b)代入式(a)中，成为 (c)06/119 4、把矢量和 称为电位移D或D矢量。即 (3a)则由上式，便可把式(c) 写成如下形式： (3b)这就是有电介质时静电场的高斯定理高斯定理表达式。 06/1110 5、有电介质时静电场的高斯定理高斯定理

6、可表述为：通过有电介质时静电场中静电场中任一闭合面的电位移通量，在数值上等于该闭合面所包围的自由电荷之代数和(式3b)。这也表明电位移线从正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；而不象电场线那样，起迄于包括自由电荷和束缚电荷在内的各种正、负电荷。读者对此务须区别清楚。 06/1111高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。内、面外电荷都有关。注意：注意：高斯定理高斯定理电场强度电场强度E是描述电场性质的主要物理量，也是一个

7、客观是描述电场性质的主要物理量，也是一个客观存在的物理量，而电位移矢量存在的物理量，而电位移矢量D是一个辅助物理量，不是是一个辅助物理量，不是一个客观存在的物理量。二者关系为一个客观存在的物理量。二者关系为0rDE 06/1112四四. 高斯定理的应用高斯定理的应用1. 均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场4. 均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场均匀带电圆柱面的电场利用高斯定理，可以计算一些带电体在空间的电场强度分布。但要利用高斯定理，可以计算一些带电体在空间的电场强度分布。但要求带电体的电荷分布具有较高的空间

8、对称性。（为什么？）求带电体的电荷分布具有较高的空间对称性。（为什么？）5. 均匀带电球体空腔部分的电场均匀带电球体空腔部分的电场 高斯定理的应用高斯定理的应用sD dSq0rDE ssD dSDdS如果积分能写成0 rssqqDEdSdS 那么就有 ，即 电荷分布电荷分布具有较具有较高的空间对称性高的空间对称性的的带电体带电体06/1113高斯定理的证明过程高斯定理的证明过程06/11142 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元在闭合曲面上任取一面积元dS，通过面元的电场强度通量，通过面元的电场强度通量r0qdeSES1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时d

9、deESSrd420rrqSrqdcos204204rSdq高斯定理高斯定理S SSdE+dds06/1115S SSdE+cosddSS 是是d dS S在垂直于电场方向的投影。在垂直于电场方向的投影。dS对电荷所在点的立体角为对电荷所在点的立体角为d2drSd 0dd4eq高斯定理高斯定理0d4eSq440 q0q 06/1116deSES1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷0qdeSES0q3 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷SdE+d1S2S闭合曲面可分成两部分闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。角绝对值相等而符号相反。0d4eSq0 高斯定理高斯定理06/1117deS ES1 当点电荷在球心时当点电荷在球心时2 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围该电荷包围该电荷0deSq ES3 闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷0qd0eS ES4 闭