宏观2008讲义课后题及解答老师中宏

1、宏观教师：张学延学院课程2008年5月28日2008-5-28 中宏（30）1中宏讲义，张延著。所有9.4储蓄率变化的影响在索洛模型中，就投入的要素而的言，劳动、知识的增长率外生，增长率取决于 s、Y和。2008-5-28 中宏（30）2中宏讲义，张延著。所有 二、对产量y的影响：我们常常不仅关心一个模型的定性含义，还关心其定量。例如，如果储蓄率的一个不大的增加对增长的影响在几个世纪之后仍然较大，那么如果得出结论说，该影响是暂时的，就没有太大意义。对于大多数模型来说(包括本模型)，要得到严格的定量结果，就得对函数形式和各参数值予以设定；通常也得用数字例子进行分析。2008-5-28 中宏（30

2、）3中宏讲义，张延著。所有yk(t)y cs 变化的直接影响cs2008-5-28 中宏（30）4中宏讲义，张延著。所有 1、储蓄率对产量长期影响的定性分析¶y*¶s= f(k*)( ¶k*¶s )(1.16)其中y* 为处于平衡增长路径上的每有效劳动的平均产量水平。2008-5-28 中宏（30）5中宏讲义，张延著。所有k* 是由k= 0 定义的k*满足：s f(k*) = ( n + g +)k*(1.17)2008-5-28 中宏（30）6中宏讲义，张延著。所有k* 是( s、n、g、)的隐函数，方程(1.17)对于( s、n、g、)都成立。方程(

3、1.17)两端对s 的导数相等：f(k*) + s f(k*)( ¶k*¶s ) = ( n + g +)( ¶k*¶s )¶k*¶sf(k*)=(1.19)( n + g + ) f(k*)s2008-5-28 中宏（30）7中宏讲义，张延著。所有在前边方程(1.15)中，我们就看到s 的上升提高k*。这也是方程(1.19)的一个推论，注意( n+ g + )是持平投资线的斜率，而s f(k*)是实际 投资线在 k* 处的斜率。开始的时候，曲线 s f(k)先比直线(n+g+)k陡峭，然后随着k的上升，曲线 s f(k) 逐渐变得比

4、直线 (n+g+)k 平坦 这两条线最终肯定 会相交 必定存在一个交点。2008-5-28 中宏（30）8中宏讲义，张延著。所有在k = k* 处，由于持平投资线(n+g+)k比实际投资线s f(k)陡峭 (见图1.2)，可知(119)的分母为正：( n + g + ) s f(k*)因而 ¶k* ¶s 0 s与k* 同方向变动。2008-5-28 中宏（30）9中宏讲义，张延著。所有把(1.19)代入(1.16)，得到 ：¶y* ¶sf(k*)( ¶k* ¶s )f(k*)(n+g+) s f(k*)= =f(k*)因而 ¶

5、;y* ¶s 02008-5-28中宏（30）s 与 y* 同方向变动。10中宏讲义，张延著。所有结论：s 的导致 y*上升上升 。2008-5-28 中宏（30）11中宏讲义，张延著。所有yyP24图1.5储蓄率增加的影响图(c)g0ttt10s新s旧02008-5-28t中宏（30）12中宏讲义，张延著。所有2、储蓄率对产量长期影响的定量分析我们常常不仅关心一个模型的定性含义，还关心其定量。两边同乘以 sy* ，得到：¶y*ssy*f(k*)f(k*) ·=·¶sy*(n+g+) sf(k*)2008-5-28 中宏（30）13中宏讲义，张

6、延著。所有¶y*·¶sf(k*)sy*sy*f(k*)=· (n+g+) sf(k*)s f(k*)=( n + g + )s f(k*)2008-5-28f(k*)=( n + g + )sf(k*)中宏（30）14中宏讲义，张延著。所有sf(k*) = ( n + g + ) k*把( n + g + )sf(k*) k*=代入上式，得到：¶y*sf(k*) · =¶sy*f(k*)k*f(k*)f(k*) k*f(k*)=1f(k*) k*f(k*)所有2008-5-28中宏（30）15中宏讲义，张延著。f(k*) k

7、*f(k*)为 k = k* 处的产出的弹性。f(k*)f(k*) k*的边际产量获得的收入f(k*) k* f(k*)产出中所占的份额(%)在令 aK (k*) = f(k*) k* f(k*)¶y*saK (k*) · =¶sy*1 aK (k*)所有2008-5-28 中宏（30）16中宏讲义，张延著。¶y*sy*y*ss · =lims 0¶sy*y* ·ssy*=lims 0产出变动的百分比储蓄率变动的百分比=2008-5-28中宏（30）17中宏讲义，张延著。所有，aK (k*) = 13 。在大多数可知在长期，

8、产出的储蓄率弹性为：(¶y*¶s)(sy*) =(13 )(1-13 ) =12储蓄率增加10%，与储蓄率不变时相比，将使每工人平均产量在长期内提高大约5%。即使储 蓄率增加50%，也仅使 y* 增加大约22%。这样， 储蓄率的显著变化对于平衡增长路径上的产量水平只有较小影响。2008-5-28 中宏（30）18中宏讲义，张延著。所有弹性 aK (k*)较小产出的的含义：(1) aK (k*) 较小的几何意义aK (k*) =f(k*) k* f(k*)其中的 f(k*) 较小表明实际投资曲线 s f(k)弯曲得相当厉害（变得更加平f(k*) k* f(k*) k* 较小。

9、坦）2008-5-28 中宏（30）19中宏讲义，张延著。所有f(k)实际投资曲线 s f(k)弯曲得相当厉害0k20（变得更加平中宏讲义，张延著。坦）所有2008-5-28中宏（30）(2) aK (k*) 较小的的边际产量含义f (k*) 较小f(k*) k*的收入较小产出的份额 f(k*) k* f(k*)较小f(k*) k* f(k*)产出变动的百分比变动的百分比占aK (k*)=2008-5-28 中宏（30）21中宏讲义，张延著。所有较小的aK(k*)值意味着k* 的变化对y* 的影响较小。例如，(n+g+)一般为每年6(比如， 若人口增长率为12，每工人平均产量增长12，折旧率为

10、34)。若入份额大致为13 。的收n+g+= 6 ，aK(k*) = 132008-5-28若则 = 1- aK (k*)(n+g+) = 4 。中宏（30）22中宏讲义，张延著。所有因此，y 每年向 y* 移动剩余距离的4，要走完到其平衡增长路径值的距离的一半约需18年时间。因此在我们的例子中，如果储蓄率增加10，那么在1年后产量高于其以前路径0.04(5)= 0.2；18年后高出0.5(5) = 2.5%，且此 比例渐趋近5。这样，不仅储蓄率变化较大时的总体影响较小，而且其作用的出现也不很快2008-5-28 中宏（30）23中宏讲义，张延著。所有3、人均产量 y =YL 随s的变化每工人

11、平均产量YL 的变动是我们特别感的东西。y= YL=Af(k)。 k YL2008-5-28s中宏（30）24中宏讲义，张延著。所有¶y*¶s= A f(k*)( ¶k*¶s )因而 ¶y*¶s 0s 与y* 同方向变动。结论：s 的导致 y*上升上升 。2008-5-28中宏（30）25中宏讲义，张延著。所有y=Af(k)y y=AA+f(k)f(k)=g+f(k)f(k)f(k)kf(k)=g+2008-5-28中宏（30）26中宏讲义，张延著。所有yk(t)y cs 变化的间接影响cs2008-5-28 中宏（30）27中宏讲义

12、，张延著。所有在t0 之前的k*(1)上存在：旧0k = dkdt= 0y y=AA= gyy 为一条固定水平g 的、不随 t 变动的平行于横轴的直线。2008-5-28 中宏（30）28中宏讲义，张延著。所有在t1 之后的k*(2)上存在：新1k= dkdt = 0y y = AA=gyy 为一条固定水平g 的、不随t变动的平行于横轴的直线。含义：如果k达到均衡的k 值，就只有A 的 增长对YL的增长有贡献，则YL的增长率就是A 的增长率g 。2008-5-28 中宏（30）29中宏讲义，张延著。所有yyP24图1.5储蓄率增加的影响图(c)g0ttt01k*新k*旧02008-5-28t中

13、宏（30）30中宏讲义，张延著。所有(3)在 t0 和 t1之间，由于k 0，所以 y y g，若 k 递增，则YL同时由于A 和 k 的增长而 增长。这时其增长率超过 g 。这些结果总结于p24图1.5图(c)。t0表示储蓄率增加的时间。按假定，s在t0时跳升并从此保持不变。每工人 平均产量的增长率开始时为g，在t0 时向上跳升，有一个快速上升的突变。随后逐渐回到其初始水平。2008-5-28 中宏（30）31中宏讲义，张延著。所有yy+ f(k)kf(k)=g在t0 和t1之间，由于k 0y y g所以 按假定，s 在 t0 时跳升并从此保持不变。每工人平均产量的增长率开始时为g ，在 t

14、0时向上跳升，有一个快速上升的突变。2008-5-28 中宏（30）32中宏讲义，张延著。所有yyP24图1.5储蓄率增加的影响图(c)g0ttt01k*新k*旧02008-5-28t中宏（30）33中宏讲义，张延著。所有yy 对时间 t 的一阶导。(4)2008-5-28 中宏（30）34中宏讲义，张延著。所有d( yy )dtf(k)d f(k) k dt - f(k) k df(k)dtf(k)2=f(k) f(k) kk+ f(k) dk/dt - f(k) k f(k) kf(k)2=f(k) f(k)( k)2 + f(k) dkdt f(k) k 2f(k)2=2008-5-28

15、 中宏（30）35中宏讲义，张延著。所有 在 t0 至 t1 之间，dkdt 0 ，并且 f(k) 0 d( y y )dt 0 随着 t，y y单调，2008-5-28y y 为一条单调下降的直线。中宏（30）36中宏讲义，张延著。所有这些结果总结于p24图1.5 图(c)。t0表示储蓄率增加的时间。按假定，s在t0时跳 升并从此保持不变。k从k*的原值逐渐上升至新值。每工人平均产量的增长率开始时为g，在t0时向上跳升，随后逐渐回到其初始水平。2008-5-28 中宏（30）37中宏讲义，张延著。所有yyP24图1.5储蓄率增加的影响图(c)g0ttt10s新s旧02008-5-28t中宏（

16、30）38中宏讲义，张延著。所有 结论：储蓄率的一个性增加产生了每工人平均产量增长率的暂时性增加。因为k在一定时期内上升，但最终将增加到一定水平，在这一水平上增加的储蓄被全部用于维持k的较高水平。2008-5-28 中宏（30）39中宏讲义，张延著。所有4、ln YL的变化(人均产量的对数具有统计学上的意义)P24图15图(d)之所以给出了每工人平均产量的对数值而非每工人平均产量水平， 是因为当一个变量以一不变速率增长时，该 变量的对数作为时间的函数在图形上反映为 一条直线。2008-5-28 中宏（30）40中宏讲义，张延著。所有定式：一变量的增长率 = 该变量的对数， 对时间 t 的一阶导

17、数d ln(X)dt=( 1X )(d Xdt )d ln ydt=XX，即：=d ln( YL)dtd ln2ydt2d ln2(YL)dt2=yy=d( yy)dt所有2008-5-28 中宏（30）41中宏讲义，张延著。y yg + f(k)kf(k)=yy是 ln y对t 的一阶导数。一阶导数 y y 始终 0ln (YL)始终随t 的上升而单调上升，只不过上升速率的变化分成三个阶段：2008-5-28 中宏（30）42中宏讲义，张延著。所有(1) 在 t0 之前，yy=g ln (YL)是一条斜率为固定水平 g 的单调上升的直线。2008-5-28 中宏（30）43中宏讲义，张延著。

18、所有(2) 在 t1 之后，yy=g ln (YL) 是一条斜率为固定水平 g的单调上升的直线。t1 之后的 ln (YL)与t0 之前的 ln (YL)是否是同一条直线，取决于to 和t1 之间ln (Y L)上升的形式：线性、递增的速率还是递减的速率。2008-5-28 中宏（30）44中宏讲义，张延著。所有 (3) 在t0 至t1 之间，yy 单调下降 d(yy )dt 0 d ln2(YL)dt2 0 ln (YL)是一条以递减的斜率上升的曲线( ln (YL) 凹向原点)。2008-5-28 中宏（30）45中宏讲义，张延著。所有yyP24图1.5储蓄率增加的影响图(d)g0ln y

19、t02008-5-28t中宏（30）46中宏讲义，张延著。所有t0t1 结论：储蓄率的变化有水平效应，但没有增长效应：它改变的平衡增长路径，因而改变任一时点上每工人的平均产量水平，但并不影响处于平衡增长路径时每工人平均产量 的增长率。的确，在索洛模型中只有技术进 步率的变化有增长效应；所有其他变化都只有水平效应。2008-5-28 中宏（30）47中宏讲义，张延著。所有yyP24图1.5水平效应和增长效应(d)g0ln yt02008-5-28t中宏（30）48中宏讲义，张延著。所有t0t1三、对c 的影响1、c函数若将家庭引入模型，其福利将取决于消费，而非产量：投资只是未来生产中的一种投入品

20、。因此，在许多情况下，我们 很可能更关心消费的变动而非产量的变动2008-5-28 中宏（30）49中宏讲义，张延著。所有yk(t)y cs 变化的直接影响cs2008-5-28 中宏（30）50中宏讲义，张延著。所有当 Y = Yd的条件下，Y = C + SY AL =CAL+SAL+ ( s Y )ALy=cy=c+sy2008-5-28中宏（30）51中宏讲义，张延著。所有c= (1 s) y=(1 s) f(k)=f(k) s f(k)几何意义：对于任何一个k ，f(k)与 s f(k) 之间的垂直距离即为c 。2008-5-28 中宏（30）52中宏讲义，张延著。所有f(k)f(k

21、)s f(k)k的几何图形0k53c2008-5-28中宏（30）中宏讲义，张延著。所有s旧 s新1- s旧 1- s新c新 c旧在t0之前，c为一条较高水平的直线。在t0之后，c为一条陡降（突变）的曲线。c=f(k旧*) s新 f(k旧*)旧旧然后，随着k 的上升，在s 的更高值不变的情况下，消费将逐渐上升。如P24图1.5中最后一图(e)所示。2008-5-28 中宏（30）54中宏讲义，张延著。所有每有效劳动的平均消费等于每单位有效劳动的平均产量乘以该产量中用于消费的比例(1-s)。因此，由于s 在t0 时发生非连续性变化，而k 却不是这样，所以每有效劳动的平均消费开始时猛烈下降2008

22、-5-28 中宏（30）55中宏讲义，张延著。所有c*0ts新s旧02008-5-28t中宏（30）P24图1中.宏5讲储义，蓄张延率著。加所有的影响图(e)56t0t12、可以使c 达到最大化的黄金律存量水平k* 。的当 k= dkdt = 0 时，存在一个k* ，满足：s f(k*) = ( n+g+)k*2008-5-28中宏（30）57中宏讲义，张延著。所有令c* 表示处于平衡增长路径上的每单位有效劳动的平均消费。c*等于每有效劳动的平均产量f(k*)减去每有效劳动的平均投资s f(k*)。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资(n+g+)k*2008-5-28 中宏（30）58中宏讲

23、义，张延著。所有这样，c*f(k*)-s f(k*)=f(k*) - ( n+g+)k*=实现 c* 最大化的一阶条件是：dc*dk* =f(k*) - ( n+g+) =02008-5-28 中宏（30）59中宏讲义，张延著。所有即： f(k*) =( n+g+)f(k*)的边际产量，f(k*)在 k*点切线的斜率 。( n+g+)直线( n+g+)k* 的斜率。2008-5-28 中宏（30）60中宏讲义，张延著。所有在 k = k* 上，如果满足：f(k*)= ( n + g +)则这个使 c* 达到最大化的 k*水平，称为黄金律 ( golden rule ) 的存量水平kGR 。20

24、08-5-28 中宏（30）61中宏讲义，张延著。所有在 k = k* 时，c*=f(k*) -s f(k*) 达到最大化。2008-5-28中宏（30）62中宏讲义，张延著。所有f(k)(n+g+)kf(k)s f(k)kGR0k63 使c 达到最大化的黄金律的存量水平k*2008-5-28 中宏（30）中宏讲义，张延著。所kGRk*dc*dk* =f(k*) - ( n+g+) = 02008-5-28 中宏（30）中宏讲义，张延著。所3、s 变动对c* 的影响（定性分析）消费最终是否会超过s上升前的原来水平并非一目了然的。在平衡增长路径上，c* 是k* 的函数 。c*= f(k*) -

25、( n + g + )k*(1.14)而k* 是s 的函数，k* 的位置取决于s 和该模型中的其他参数n、g和。k* =k* ( s、n、g、)2008-5-28 中宏（30）65中宏讲义，张延著。所有因此c* 是s 的隐函数 。我们运用隐函数求导法，可写出：¶c*¶s¶k*¶s¶k* ( n+g+) ¶sdf(k*) ·dk*= f k*( s、n、g、) - ( n + g + )× ¶k*( s、n、g、)¶s 2008-5-28 中宏（30）66中宏讲义，张延著。所有¶c*&#

26、182;s f(k*) - ( n+g+)( ¶k* ¶s )=(1.15)我们知道s 的增加提高 k*，即： ¶k*¶s0 对这一结论的证明见前面。2008-5-28 中宏（30）67中宏讲义，张延著。所有因此，s 的增加是否在长期提高消f(k*)费，取决于的边际是大于还是小于n+g+。¶c*¶s和 ¶c*¶k* 的符号取决于 f(k*) - ( n + g + ) 的符号2008-5-28 中宏（30）68中宏讲义，张延著。所有(1)当f(k*) - ( n + g + ) 0时，¶c*¶s

27、 0 ，s 的上升导致c*下降。P27 图1.6(a) 所示。¶c*¶k* 0 ，k* 的上升导致c*下降2008-5-28中宏（30）69中宏讲义，张延著。所有(n+g+)kf(k)f(k)s新 f(k)s旧 f(k)k*新k*旧0k702008-5-28P27 图1.6(a) s 和k* 的上升导致c 下降*7中宏（30）中宏讲义，张延著。所有含义：直观地看，如果k上升，要使k的这种上升得以维持，(每有效劳动的平均)投资必须上升n+g+乘以k的变化量。如果f(k*)小于n+g+，那么从增加的上获得的增加的产量不足以将存量维持在其较高水平上。此时，消费必须下降以维持较高的

28、2008-5-28 中宏（30）存量。71中宏讲义，张延著。所有(2) 当f(k*) - ( n + g + ) 0时，¶c*¶s 0 ，s 的上升导致c*上升。¶c*¶k* 0 ，k* 的上升导致c*上升。2008-5-28 中宏（30）72中宏讲义，张延著。所有(n+g+)kf(k)f(k)s新 f(k)s旧 f(k)k*新k*旧0k732008-5-28P27图1.6(b) s 和k* 的上升导致c 上升*中宏（30）中宏讲义，张延著。所有另一方面，如果f(k*)大于n+g+，增加的产量大于将k维持在较高水平上所需的产量增加，因而 消费上升。 如

29、P27图1.6(b)所示。该图不仅给出了 (n+g+)k和sf(k)，还给出了f(k)。在平衡增长路径上、c为f(k)和(n+g+)k之间的距离。在上图中，f(k* )小于n+g+，因此，即使当已达到新的平衡增长路径时，储蓄率的增加也降低消费。在中图中，相反的情况出现，储蓄率的增加在长期内提高消费。2008-5-28 中宏（30）74中宏讲义，张延著。所有(3)当 f(k*) - ( n + g + ) = 0 时，¶c* ¶s= 0 ，s 的上升导致c* 达到最大值。¶c* ¶k*= 0 ，k* 的上升导致c* 达到最大值。2008-5-28 中宏（3

30、0）75中宏讲义，张延著。所有最后，在P27图1.6(c)中，f(k*)恰好等于 n+g+，也就是说，在k = k* 处 ， f(k)的切线和(n+g+)k平行。此时，s 的一个边际变化在长期内对消费没有影响， 且消费在所有可能的平衡增长路径中达到其可能取的最大水平。这一k* 值就是所谓存量水平 kGR 。的黄金律2008-5-28 中宏（30）76中宏讲义，张延著。所有f(k)(n+g+)kf(k)s f(k)kGR中1宏.6（(3c0）)使c 达到中宏最讲大义，化张延的著。黄金所有律的0k存量水平77 k*P2P0028-75-图28yk(t)y cs 变化的间接影响cs2008-5-28 中宏（30）78中宏讲义，张延著。所有4、c* 随t 的变化c*=(1 s) y*=(1 s) f(k*)dc*dt= (1-s) f(k)k(1)在 t0 之前的k*上存在：旧0k=dkdt= 0dc*dt=(1-s) f(k)k=0c* 为一条固定水平的、不随t 变动的直线。2008-5-28 中宏（30）79中宏讲义，张延著。所有(2)、在 t1 之后的k*上存在：新1k= dkdt = 0dc*