第八节fo级数样式第二级第三级第四

1、第八节 Fourier级数二、二、函数展开为函数展开为FourierFourier级数级数三、三、函数展开为正弦级数或余弦级数函数展开为正弦级数或余弦级数四、四、一般周期函数的一般周期函数的FourierFourier级数级数一、一、三角函数系在空间三角函数系在空间 的正交性的正交性2L, 五、五、FourierFourier级数的复数形式级数的复数形式一、三角函数系在空间 的正交性KVKVK,KK 设 是数域（实数域或复数域）， 是数域 上的一个 设 是数域（实数域或复数域）， 是数域 上的一个线性向量空间，,，有确定的数和它对应，线性向量空间，,，有确定的数和它对应，满足满足 1) = 1

2、) = = 3) =+ 3) =+ 4) 0，当且仅当 =0时，=0 4) 0，当且仅当 =0时，=0其中， ,是任意的向量， 是 中任意的数.称是其中， ,是任意的向量， 是 中任意的数.称是向量 和向量 和定义1定义1的内积。若 是实的内积。若 是实 2) 2) K 数域，称；若 是数域，称；若 是复数域，称.定义了内积的空间称为复数域，称.定义了内积的空间称为实内积实内积复内积内积空间复内积内积空间。1、内积空间、内积空间2L, 1212(,),(,)nnnnzz z ,zww w ,wCCn例1：,其中是 个例1：,其中是 个复数有序组全体构成的空间，复数有序组全体构成的空间，1nz,

3、wC容易检验满足上述条件 ） 容易检验满足上述条件 ） 复内积复内积空间空间4 4）,因此是）,因此是上的内积.上的内积.11221njjnnjz,wz wz wz wz w 定义定义 ， ，njjz ,wR .相应地，若限制为实相应地，若限制为实实内积空实内积空得到得到间间数，可数，可0,V,. 在内积定义中，若，且满足，则称在内积定义中，若，且满足，则称与（垂直）,记作与（垂直）,记作注：注：正交正交2222( )( )1( ) ( )1L,f xdxf xf ,gL,f ,gf x g x dxf ,gL, - - -例2：设表示满足的函数的全体,例2：设表示满足的函数的全体,并且，定义

4、并且，定义 ， ，则满足条件 ）4）,是上的一个内积。则满足条件 ）4）,是上的一个内积。000() 2)() 3)() VKV,.KV . 设 是数域 上的内积空间，记设 是数域 上的内积空间，记 称是向量 的长度（或）,它具有下述性质：称是向量 的长度（或）,它具有下述性质： 1)当0时，当且仅当时，非负性 1)当0时，当且仅当时，非负性，这里，齐次性，这里，齐次性三角三角定2定2范数范数不等式不等式义义1, 若称 为，这时称为向量若称 为，这时称为向量在在注： 单位向量注： 单位向量的的投影投影。1212110(1 2) njjkne ,e ,eVe,e ,e, j,k, ,ne ,e

5、,eV 设是内积空间 的一组基底，长度都为 ，且两两设是内积空间 的一组基底，长度都为 ，且两两正交，即正交，即 则则标标说 说 准准是 的一组是 的一组正交基正交基。1 122nnjjx ex ex e ,xe 对于V中的任意向量 ，可以表示为对于V中的任意向量 ，可以表示为 其中，称为 关于 的其中，称为 关于 的坐标坐标。()kk,e x 考虑如何考虑如何此时，成立此时，成立证明？证明？着着122,cos x,sin x,cos x,sin x,cosnx,sinnx,三三角角函函数数系系: : 如下关系，如下关系，2 . 三角函数系的正交性三角函数系的正交性2112dx, 211cos

6、nx dx, 211sinnx dx, 1100，cosnxdxsinnxdx 10 () sinmx cosnxdxmn ，1100 () sinmx sinnxdxcosmx cosnxdxmn ，2221 112111010000()即即 ， ， ,cosnx,cosnxcosnx,sinnx,sinnxsinnx,cosnx,sinnx,sinmx,cosnx,sinmx,sinnx,cosmx,cosnx,mn 2, L 按照例2中上的内积和范数定义，按照例2中上的内积和范数定义，2112( (此时由于，故不是标准正交的)此时由于，故不是标准正交的)dx 为了构造标准正交系，为了构造

7、标准正交系，21112（）（）dx 122 ,cos x,sin x,cos x,sin x,cosnx,sinnx,正正交交函函数数系系112用代替函数系中的 ，则用代替函数系中的 ，则21 ,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , cos,sin,2, 此时， 此时， 构构标准正交函数标准正交函数成了上的一个。成了上的一个。系系xxxxnxnxL 3 . 三角级数三角级数0111 ,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , cos,sin,2( )cossincossin2阶三角多项式阶三角多项式 三角函数系 三角函数系 的线性组合的线性组合 称为。称为。nnnxxxxnxnxa

8、P xaxbxanxbnxn011(cossin)2 级数 称为。级数 称为。三角级数三角级数kknaakxbkx sin()cossinsin() 由物理学知识，一般的波往往可以表示成一系列形如由物理学知识，一般的波往往可以表示成一系列形如 的谐波的迭加。的谐波的迭加。 而三角级数中的第 项 ，可以表示成而三角级数中的第 项 ，可以表示成，也就是,三角级数反映了一系列谐波的迭加。，也就是,三角级数反映了一系列谐波的迭加。kkkAxkakxbkxAkx 意意义义：问题：问题：( ), 一个波形函数 ，是否能展开成三角级数？若能，一个波形函数 ，是否能展开成三角级数？若能，系数如何确定？展开式是

9、否唯一？系数如何确定？展开式是否唯一？kkf xab二、函数展开为Fourier级数2011( ), 1 ( )cossincossin2nnf xLf xaaxbxanxbnx 设，且可以用三角级数表示：设，且可以用三角级数表示：再假定以上级数一致收敛，再假定以上级数一致收敛，则则011111( ),cos,sin,22222kkkaf xakxbkx 01,22a01122adx 0a 01( ),cos ,cos2 cos,cossin,coskkkaf xnxnxakxnxbkxnx cos,cosnanxnx na 01( ),sin ,sin2 cos,sinsin,sinkkka

10、f xnxnxakxnxbkxnx bsin,sinnnxnx nb 20 ( ), 11( ),( ) 221( ),cos( )cos1( ),sin( )sinnnf xLaf xf x dxaf xnxf xnxdxbf xnxf xnxdx 若 ，若 ，定义定义记记 0(1,2,Four(i)ernnaab nf x 称 、为的称 、为的系数系数。 01cossiFou(rn2ier)kkkaakxbkxf x 相应的三角级数称为的相应的三角级数称为的级数级数。 000112( )( )Fourier ( )cossin2kkkaaf x dxf xaf xakxbkx 更经常的作法

11、是，令，此时更经常的作法是，令，此时的级数的级数：为为注注 01 ( )FourierFourier( )cossin,2kkkf xaf xakxbkx 若有可能展开为级数，其系数一定满足上述若有可能展开为级数，其系数一定满足上述定义中的系数公式，即定义中的系数公式，即 ( )f x但上式右端的级数不一定能处处收敛于。为了得到收敛但上式右端的级数不一定能处处收敛于。为了得到收敛关系，必须加上适当的条件。关系，必须加上适当的条件。2( ), ( ), ( ), 2( ), ( )Fourier, ( )( )( )1 (0)(0)2 f xLf xf xf xf xxf xf xxf xf x

12、f x 设设，若若在在满满足足下下述述DirichletDirichlet条条件件：1 1）在在连连续续或或至至多多有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点. .）在在至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点. .则则的的级级数数在在的的每每点点都都收收敛敛，当当 是是的的连连续续点点时时，它它收收敛敛于于，当当 是是的的第第一一类类间间定定理理1(1(收收敛敛定定理理) )断断点点时时，它它收收敛敛于于， 即即 01 cossin( )2( ) ( ) 1 (0)(0) ( )2kkkaakxbkxS xf xxf xf xf xxf x 当当 是是的的连连续续点点时时当当 是是的的间间断断

13、点点时时( )Fourier( )( )Fourier( )2, ( )( )f xS xf xS xf xf x 这这时时，我我们们说说可可以以展展开开为为级级数数，表表示示的的级级数数的的和和函函数数。 是是以以为为周周期期的的函函数数，它它在在内内的的连连续续点点处处与与相相等等。( ), ,( )Fourierf xxf x 可可以以把把 （其其中中），以以2 2 为为周周期期延延拓拓成成(-)(-)上上的的周周期期函函数数。只只要要满满足足定定理理一一的的条条件件，延延拓拓后后的的函函数数在在整整个个数数轴轴上上作作展展开开也也会会满满足足定定理理一一的的结结论论。xxf xxxxx

14、 2+10( )104练练习习：设设, ,则则以以2 2 为为周周期期的的傅傅立立叶叶 级级数数在在处处收收敛敛于于( )?( )?处处收收敛敛于于( )?( )? 处处收收敛敛于于( )?( )?2 2 nnnf xxxxaanxbnxb 2031( )() cossin,2练练习习2 2：设设的的傅傅立立叶叶级级数数展展开开式式为为则则其其中中 的的值值为为？1 ( )2- , ) 0( )0 0( )Fourierf xxxf xxf x 例设是周期为的函数，它在上的表达式为例设是周期为的函数，它在上的表达式为 把展开为级数。把展开为级数。 ( )Dirichlet(21)kf xxk

15、函数满足条件，点是第一类函数满足条件，点是第一类间断点。间断点。解：解：Fourier 计算系数：计算系数：01( )af x dx 01xdx 2 1( )cosnaf xnxdx 01cosxnxdx 21( 1)nn 1( )sinnbf xnxdx 01sinxnxdx 1( 1)nn 1211( 1)( 1)( ) ()cossin4nnnf xnxnxnn 故故 由收敛定理知，由收敛定理知，1211( 1)( 1)()cossin4( ) (21) () (21)2nnnnxnxnnf xxkkxk ( )Fourierf xxx例2 把，(-展开成级数。例2 把，(-展开成级数。

16、 ( )Dirichletf xx函数满足条件，在-上连续。函数满足条件，在-上连续。解：解：01( )af x dx 02xdx 1( )cosnaf xnxdx 02cosxnxdx 22( 1)1nn 1( )sinnbf xnxdx 0 1x dx 1cosxnxdx 1sinxnxdx 204cos(21)2(21)kkxk 212( ) ( 1)1cos2nnf xnxn 22411coscos3cos(21)23(21)xxkxk 故故)x(-(-( )f x把在数轴上作周期沿拓后的图像如下：把在数轴上作周期沿拓后的图像如下：0 x 现若令，则现若令，则204102(21)kk

17、即即22222011111 ( )8(21)35(21)kAkn 记记( )-( )BA ，得，得nBnn 2222111111 ( )23nnn 2222221111118246(2 )(2 )nn 21114 4 解解此此关关于于 的的方方程程，得得又又有有 224386nn 211nnnnn 11222221( 1)11111( 1)234nn2222211111(1)2()224(2 )nnnn22111112nn 21112 212nnn 121( 1)三、函数展开为正弦级数或余弦级数1Fourier 奇奇函函数数和和偶偶函函数数的的级级数数f x ( ), 若若是是定定义义在在上上

18、的的偶偶函函数数，则则正正弦弦级级数数nnaabf xnxdx 0020, 0, ( )sinnnf xf xbnx 1( )Fourier( ) sin故故的的级级数数是是 f x ( ), 若若是是定定义义在在上上的的奇奇函函数数，则则余余弦弦级级数数nnf xaf xanx 01( )Fourier( ) cos2故故的的级级数数是是 nnaf x dxaf xnxdxb00022( ), ( )sin, 0基本步骤：基本步骤：f xxF xxfxx ( ) 0( )0 0() 0如如图图，定定义义函函数数f x(1)( )将将展展开开为为正正弦弦级级数数f xf xf x ,0( )(

19、 )- , Fourier( ) 在在(-)(-)上上补补充充函函数数的的定定义义，使使成成为为奇奇函函数数或或偶偶函函数数，再再在在上上展展开开为为级级数数，就就可可相相应应地地得得到到的的正正弦弦、余余弦弦级级数数。 20, 函函数数在在展展开开为为正正弦弦级级数数或或余余弦弦级级数数F xF xf x ( )(- ,)( )( )是是上上的的奇奇函函数数，称称是是的的奇奇式式延延拓拓。nan0,(0,1,2,) 此此时时，nnf xxf xf xbnxxx 1( )0, 10 (0)(0) sin 200在在上上的的正正弦弦展展开开式式为为或或n (1,2,) f xnxdx 02( )

20、sinnbF xnxdx 1( )sinnaF xnxdx 1( )cosF xF xf x ( )- , ( )( )是是上上的的偶偶函函数数，称称是是的的偶偶式式延延拓拓。aF x dxf x dx 0012( )( )此此时时，nb 0f xnxdx 02( )cos( ) 0( )() 0f xxF xfxx 如如图图，定定义义函函数数f x(2)( )将将展展开开为为余余弦弦级级数数nnf xxaanxxf xf x 01( )cos 12 (0)(0)2在在 的的连连续续点点在在 的的间间断断点点f xxxf x( )0( )0, 若若在在右右连连续续，在在左左连连续续，则则在在上

21、上的的正正弦弦展展开开式式为为 ( )1,(0)f xxx 例2将函数分别展开为正弦级数和例2将函数分别展开为正弦级数和余弦级数。余弦级数。f xF x ( )- , ( )解解：为为了了得得到到正正弦弦级级数数，将将在在作作奇奇式式延延拓拓变变成成. .012( )sin( )sinnbF xnxdxF xnxdx 02(1)sinxnxdx 22(1coscos)(1(1)( 1) )nnnnn1102( ) 1(1)( 1) sin 00nnxxf xnxnxx 或或( )0, f x 则在的正弦展开式为则在的正弦展开式为( )- , ( )f xF x 为了得到余弦级数，将在作偶式沿拓

22、变成.为了得到余弦级数，将在作偶式沿拓变成.012( )cos( )cosnaF xnxdxF xnxdx 02(1)cosxnxdx 2222(cos1)( 1)1nnnn 000122( )( )(1)2aF x dxF x dxxdx 20 2 4 21(21)nknkk 21221( 1)1cos2nnxnxn ( )0, f x 则在的余弦展开式为则在的余弦展开式为20421cos(21)2(21)kkxk 四、一般周期函数的Fourier级数2001( )Dirichlet( )( )Fourier( ) (cossin)2( ) ( ) 1 (0)(0) (3 )2 Tnnnf

23、tTf tdtf taf tan tbn tf ttf tf tf ttf t 设设是是以以 为为周周期期的的函函数数，在在任任一一个个周周期期内内满满足足条条件件，且且，则则的的级级数数处处处处收收敛敛： 当当 是是的的连连续续点点的的间间断断点点理理是是定定当当222222222202( ),222 ( )cos( )cos222 ( )sin( )sinTTTTTTTTTTnnaf t dtTn taf tdtf tn tdtTTTn tbf tdtf tn tdtTTT 其其中中，( )FourierF x作作的的展展开开，得得则则2,txtT 再再令令 2(),T 记记 称称圆圆频频

24、率率为为,22T T 取取一一个个基基本本周周期期区区间间为为证证明明：01( ) (cossin)2( ) ( ) 1(0)(0) ( )2kkkaF xakxbkxF xxF xF xF xxF x 当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间断断点点( ), F x 则则在在上上也也会会满满足足( )()( ),2Txf tfF x 记记 , 22xtT Ttx Dirichlet条条件件，xt将将上上式式的的 用用 代代换换，得得证证毕毕01( ) (cossin)2( ) ( ) 1 (0)(0) ( )2kkkaf tak tbk tf ttf tf tf ttf t 当当 是是的

25、的连连续续点点当当 是是的的间间断断点点22012( )( )TTaF x dxf t dtT 其其中中，2212( )sin( )sinTTnbF xnxdxf tn tdtT 2212( )cos( )cosTTnaF xnxdxf tn tdtT 0, Dirichlet( ),0, lf tl对对于于上上平平方方可可积积且且满满足足条条件件的的函函数数如如何何在在上上展展开开成成正正弦弦或或余余问问题题：弦弦级级数数？20010( )0, Dirichlet( )( )0, ( ) ( )cos12 (0)(0) ( )22( )cos,(0,1, , 2)lnnlnf tlf tdt

26、f tlf ttf tan talf tf ttf tn taf tdtnll 设设在在上上满满足足条条件件，且且，则则在在的的余余弦弦级级数数为为当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间定定断断其其中中，4 4点点理理( ), 23f tl lTl 为为了了得得到到的的正正弦弦或或余余弦弦级级数数，只只须须在在上上作作奇奇式式延延拓拓或或偶偶式式延延拓拓，取取，然然后后套套用用定定理理 。10( )0, ( ) ( )1sin (0)(0) ( )2 02( )sin,(1,2,4 )nnlnf tlf ttf tn tbf tf ttf tlttln tbf tdtnlT 在在的的正正

27、弦弦级级数数为为当当 是是的的连连续续点点当当 是是定定理理续续的的间间断断点点0 0当当或或其其中中，Fourier2Tll级级数数的的和和函函数数是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数的的和和函函数数是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，而而注注意意不不是是以以：为为周周期期。解解：4 ( )20,2)( )01 ( ) 112(1)( )Fourier(2)( )0,2f tf tttf ttf tf t 例例设设是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，在在区区间间，的的表表达达式式是是求求的的级级数数展展开开式式求求在在区区间间的的余

28、余弦弦展展开开式式。(1)(1) 20( )cosf tn tdt 222( )cos TTnaf tn tdtT 32 12011tdtdt20( )f t dt 11( )f t dt 2202( )TTaf t dtT 22,TT 20( )sinf tn tdt 222( )sin TTnbf tn tdtT (1,2,3,)n 21cos1()nn 1201coscostn tdtn tdt(1,2,3,)n 1n 1201sinsintn tdtn tdt 2,l ( (2 2) ) 取取()k 2112( )2311(cos1)cossin 4()2nf ttknn tn tnn

29、tk ( )Fourierf t故故的的展展开开式式为为如如图图( )f t作作的的偶偶式式延延拓拓，32 1201tdtdt20( )f t dt 002( )laf t dtl 按按照照定定理理4 4，(1,2,3,)n 24(cos1)()2nn 1201coscos22n tn ttdtdt20( )cos2n tf tdt 02( )coslnn taf tdtll 02t2134( )(cos1)cos4()22nnn tf tn ( )0,2f t故故在在的的余余弦弦展展开开式式为为12125 0 ( ) 12210,1( )( )(1)255( )()42txf xtxS xS

30、SSS 例例设设将将在在展展开开成成余余弦弦级级数数，它它的的和和函函数数为为。求求、。( )S x 这这时时的的和和函函数数是是周周期期为为2 2的的函函数数如如图图，1,l 取取作作偶偶式式延延拓拓, ,解解：4按按照照定定理理 ，5(2)2S 5()2S 12 3( )4f 3( )4S 3()4S 5(2)4S5( )4S (1)(10)0Sf34 1( )2f 1( )2S 1()2S 五、Fourier级数的复数形式 0111 ()()222in tin tnnnnnaaib eaib e 因因此此，01( ) ()222in tin tin tin tnnnaeeeef tabi

31、 cos sin22in tin tin tin teeeen tn ti，cos sinEuler用用公公式式表表示示、 ，有有01( ) (cossin)2nnnaf tan tbn t 3在在定定理理 的的条条件件下下，有有01( )Fourier ( ) ()in tin tin tnnnnnf tf tcc ec ec e 则则的的级级数数改改写写为为0011,(),(), (1,2,)222nnnnnnaccaibcaibn 记记 2211()( )2TTin tnnncaibf t edtT 2211()( )2TTin tnnncaibf t edtT 22001( )2TTacf t dtT 0,nnna abc我我们们已已知知的的表表达达式式，又又知知 与与它它们们的的关关系系，故故221( ) ()TTnin tnccf t edtnT 下下面面推推导导 的的表表达达式式， 221( ) ()TTin tn