大学物理b层次--第三章 刚体力学基础_课件

1、1第三章第三章刚体力学基础刚体力学基础23-1 质点的角动量和角动量守恒守律质点的角动量和角动量守恒守律1.质点的角动量质点的角动量 L=rpsin =m rsin =m d 设质点对设质点对o的位矢为的位矢为r,动量为动量为p=m (见图见图),则质点则质点对对o点的点的角动量角动量(也称动量矩也称动量矩)为为角动量角动量L的大小的大小式中式中 是是r 与与 两矢量间的夹角。两矢量间的夹角。 角动量的方向垂直于矢径角动量的方向垂直于矢径r 和和 所组成的平面所组成的平面,指指向是向是r 经小于经小于180o的角转到的角转到 时右螺旋的前进方向。时右螺旋的前进方向。dm roL)(mrprL3

2、LL 若质点以角速度若质点以角速度 沿半径沿半径r的圆周运动的圆周运动(如图如图),质质点对给定点点对给定点o(圆心圆心)的角动量的大小的角动量的大小显然，此时角动量显然，此时角动量L的方向与的方向与角速度角速度 的方向相同的方向相同，就象图所示的那样，可由右手螺旋确定。就象图所示的那样，可由右手螺旋确定。 按按SI制制,角动量的单位是千克角动量的单位是千克米米2/秒秒(kgm2/s)。角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动,也依赖也依赖于所选定的参考点于所选定的参考点,即参考点不同即参考点不同,质点的角动量也不质点的角动量也不同。同。L=Pr=m r =

3、m r2 42.质点角动量定理质点角动量定理M=rF 上式中上式中rF 叫做合外力对固定点叫做合外力对固定点o的的力矩力矩,以以M表示力矩表示力矩,有有M=Frsin =Fd)(mrprLpdtdrdtdprdtdL 由于由于,dtdr, 0 pdtdpF FrdtdL所以所以rdoMF5这样这样,上式的意义是上式的意义是:质点所受的合外力矩等于它的角动量质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率对时间的变化率。这个结论叫质点的。这个结论叫质点的角动量定理角动量定理。上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是上式左端的积分称为冲量矩。上式的意义是:合外力合外力矩的冲量矩的冲量(冲量矩冲量矩)等

4、于质点角动量的增量。等于质点角动量的增量。它是质点它是质点角动量定理的积分形式。角动量定理的积分形式。将上式两边同乘以将上式两边同乘以dt再积分得再积分得dtdLM122121LLdLMdtLLtt8 解解 绳的拉力对绳的拉力对o点的力矩为点的力矩为零零,故小球在运动中对故小球在运动中对o点的角点的角动量守恒动量守恒,于是有于是有 mr2 0= m(r/2)2 =4 0 由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为 F0rom 例题例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔的小孔o，绳的一端系有一质量为，绳的一端系有一质量为m的小球并放在的小球并放在

5、桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度速度 0绕孔绕孔o作半径作半径r的匀速圆周运动的匀速圆周运动,现在向下缓慢现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这时止，求这一过程中拉力的功。一过程中拉力的功。202202222321)2(21mrmrrmA920220)(212121llkmmd 解得解得: =4m/s, =300。 解解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量和机械能都守恒：和机械能都守恒： 例题例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧在

6、一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强倔强系数为系数为k=100N/m,一端固定于一端固定于o点，另一端连接一质点，另一端连接一质量为量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的长度为长度为l0=0.2m(自然长度自然长度), 滑块速度滑块速度 0=5m/s, 方向与方向与弹簧垂直。当弹簧转过弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度时，其长度l=0.5m，求此，求此时滑块速度时滑块速度 的大小和方向。的大小和方向。 ol0l 0mmm l0=m lsin 10RMmGmRMmGm32121220 m 0R =m 3Rsin 解解 火箭运动过程中只受引力火箭运动过程

7、中只受引力(保守力保守力)作用作用,机械能机械能守恒、对守恒、对o点的角动量守恒：点的角动量守恒： 例题例题3-4 质量为质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 0沿地球沿地球表面发射出去，如图所示。地轴表面发射出去，如图所示。地轴oo 与与 0平行，火箭平行，火箭A的运动轨道与地轴的运动轨道与地轴oo 相交于距相交于距o为为3R的的C点。不考点。不考虑地球的自转和空气阻力，求火箭虑地球的自转和空气阻力，求火箭A在在C点的速度点的速度 与与 0之间的夹角之间的夹角 。(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为、半径为R) Co 0AMRo3Rm)43(3sin2020GMRR解得解得11

8、 刚体刚体运动中形状和大小都保持不变的物体。运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点刚体可看作是由许多质点(质元质元)组成的质点系。组成的质点系。 1.刚体的平动和转动刚体的平动和转动 如果刚体在运动中如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行的指向始终保持平行,这样的运动就称为这样的运动就称为平动平动。 在平动时在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同刚体内各质点的运动状态完全相同,因此因此平动刚

9、体可视为质点平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。 3-2 刚体运动学刚体运动学12 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。运动可看作是平动和转动的结合。 如果刚体内的各个质点都绕同一直线如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴转轴)作圆作圆周运动周运动,这种运动便称为这种运动便称为转动转动。如果转轴是固定不动。如果转轴是固定不动的的,就称为就称为定轴转动定轴转动。 刚体在作刚体在作定轴转动时定轴转动时,由于各质点由于各质点到转轴的距离不同到转轴的

10、距离不同,所以各质点的线所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。但由速度、加速度一般是不同的。但由于各质点的相对位置保持不变于各质点的相对位置保持不变,所以所以描述描述各质点各质点运动运动的角量的角量,如角位移、如角位移、角速度和角加速度都是一样的。角速度和角加速度都是一样的。因因此描述刚体整体的运动时此描述刚体整体的运动时,用角量最用角量最为方便。为方便。2.定轴转动的描述定轴转动的描述 r13 我们在第一章中讨论过的角我们在第一章中讨论过的角位置位置 、角速度、角速度 、角加速度、角加速度等等概念以及有关的公式概念以及有关的公式,都可以用都可以用来描述刚体的定轴转动。来描述刚体的定轴转动。

11、,dtddtdto221tto222o若角加速度若角加速度 =c(恒量恒量)，则有，则有 r14 1.刚体的角动量刚体的角动量 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。 3-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动Z L mi irio式中式中: I= mi ri2称为刚体对称为刚体对z轴的轴的转动惯量。转动惯量。 显然，刚体的角动量的方向与角显然，刚体的角动量的方向与角速度速度 的方向相同，沿的方向相同，沿z轴方向轴方向(见见图图),故也称为刚体对固定轴故也称为刚体对固定轴z的角动的角动量。量。 Li=mi iri=mi ri2 刚体刚体对对z轴轴的角动量的

12、角动量就是就是 Lz=( mi ri2) =I 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕固定轴z转动转动(见图见图),质量为质量为mi的质点对的质点对o点的角动量为点的角动量为 15问题：问题：为何动量的概念对刚体已失去意义？为何动量的概念对刚体已失去意义？P=0 质量质量m物体平动惯性大小的量度。物体平动惯性大小的量度。 转动惯量转动惯量I物体转动惯性大小的量度。物体转动惯性大小的量度。 2.转动惯量的计算转动惯量的计算 动量动量: p=m 角动量角动量: L=I 质量和转动惯量的物理意义：质量和转动惯量的物理意义：16 I= mi ri2 即：刚体的即：刚体的转动惯量转动惯量等于等于刚体上

13、刚体上各质点的质量乘以各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。它到转轴距离的平方的总和。 (2)质量连续分布刚体质量连续分布刚体dmrI2式中式中: r为刚体上的质元为刚体上的质元dm到转轴的距离。到转轴的距离。 (3)平行轴定理平行轴定理(1)质量离散分布刚体质量离散分布刚体Io=Ic+Md2Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量通过刚体质心的轴的转动惯量;M 刚体系统的总质量刚体系统的总质量; d 两平行轴两平行轴(o,c)间的距离。间的距离。IoIcCMod17lllcrommm 通过通过o点且垂直于三角形平点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为面的轴的转动惯量为 IO= (1)正三角形的各顶

14、点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计，用质量不计的细杆连接的细杆连接,如图如图6-10。系统对通过质心。系统对通过质心C且垂直于三且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为角形平面的轴的转动惯量为)lr(33,2mlcI2mr3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例题例题3-5 质量离散分布刚体质量离散分布刚体: I= mi ri2 ml218 (2)用质量不计的细杆连接的五个质点用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图如图6-11所示。转轴垂直于质点所在平面且通过所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点点, 转动转动惯量为惯量为 IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+

15、3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)Om2m3m4m5mllll19dmrI222ll记住！ (1)质量为质量为m、长度为、长度为l的细直棒，可绕通过质心的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。 例题例题3-6 质量连续分布刚体质量连续分布刚体: CIdxlm2x2121ml 若棒绕一端若棒绕一端o转动转动,由平行轴由平行轴定理，定理， 则转动惯量为则转动惯量为 22231)2(121mllmmlIoCdxdmxxo 解解 方法：将细棒分为若干微元方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后然后积分得积分得o2022mRdmR

16、IcRR0 (3)均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个动时，可将圆盘划分为若干个半径半径r、宽、宽dr的圆环积分的圆环积分 ： (2)均质细圆环均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动绕中心轴转动时，其转动惯量为惯量为 dmrdrcI2r2Rmrdr2221mR21对各质点求和对各质点求和,并注意到，并注意到，3.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律按质点角动量定理，有按质点角动量定理，有 )(jijijf 设有一质点系设有一质点系, 第第i个质点的个质点的 位矢为位矢为 ri , 外力为外力为 Fi , 内力为内力为 , dtmrdfrFriiijijij

17、iii)()(mi：0)()( jijijiifr)(iiiiiiimrdtdFr得得22)(iiiiiiimrdtdFriiiFr = =M质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩)(iiiimr= =L L质点系的质点系的总角动量总角动量于是得于是得dtdLM 上式的意义是上式的意义是:质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩等于质点系的等于质点系的总角动量对时间的变化率总角动量对时间的变化率。这个结论叫。这个结论叫质点系质点系角动量角动量定理定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。23这就是描述物体作这就是描述物体作定轴转动的方程定轴转动的

18、方程。 对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体, I为常量为常量, d /dt= , 故式故式(6-16)又可写成又可写成 dtdLMzz 上式是一矢量式上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴它沿通过定点的固定轴z方方向上的分量式为向上的分量式为这就是这就是刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律。 M=I dtId)(dtdLM 24 应当指出，这里我们虽然借用力矩定义式来计应当指出，这里我们虽然借用力矩定义式来计算力矩，但对定轴转动刚体来说算力矩，但对定轴转动刚体来说,平行于转轴的力平行于转轴的力是不产生力矩的是不产生力矩的，因此，因此,这里力矩公式中的力应理这里力矩公式中的力应理解为外力在垂直于转轴的

19、平面内的分力。解为外力在垂直于转轴的平面内的分力。 表明表明, 刚体所受的刚体所受的合外力矩合外力矩等于等于刚体的刚体的转动惯量转动惯量与与刚体刚体角加速度角加速度的的乘积乘积。 以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解动定律及用隔离体法求解(刚体刚体+质点质点)系统问系统问题的方法。题的方法。 M=I 25 解解 由由 M=I , = o+ t 有外力矩时有外力矩时, 例题例题3-7 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/m

20、in。此时撤去该力矩。此时撤去该力矩,转轮经转轮经100s而停止。而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。试推算此转轮对该轴的转动惯量。 撤去外力矩时撤去外力矩时, -Mr=I 2 , 2=- /t2 (2)代入代入t1=10s , t2=100s , =(1002 )/60=10.5rad/s, 解式解式(1)、(2)得得 2 。20-Mr=I 1， 1= /t1 (因因 o=0) (1)20=I 1， 1= /t1 (因因 o=0) 26 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=I 有有 mg.R=I 这式子对吗？这式子对吗？ 错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。 正确的解法是用隔

21、离体法。正确的解法是用隔离体法。 例题例题3-8 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg TmMR对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=I a=R 解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。27 m: mg-T2= ma a=R 1=r 2 , 2=2ah求解联立方程，代入数据

22、，可得求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。 m1: T1R= m1R2 1 2121m2: T2r-T1r = m2r2 2 例题例题3-9 质量质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体，如图所示。求当物体的物体，如图所示。求当物体m由静止开始由静止开始下落了下落了h=0.5m时，物体时，物体m的速度及的速度及 绳中的张力。绳中的张力。 解解 各物体受

23、力情况如图所示。各物体受力情况如图所示。T1T1m1R1T2m22rmgm28 例题例题3-10 一根质量为一根质量为m、长为、长为l的均匀细棒的均匀细棒AB，可，可绕一水平光滑轴绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，o轴离轴离A端的距端的距离为离为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动，轴转动，求棒转过角求棒转过角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。 ABoCmgcos6l22291)6(121mllmmlIocos23lg 解解 细棒细棒AB受的重力可集中受的重力可集中在质心，故重力的力矩为在质心，故重力的力矩为632llloc

24、mgMoooIM222o29所以所以dlgdcos2300讨论讨论: (1)当当 =0时，时， =3g/2l， =0 ； (2)当当 =90时，时， =0，cos23lgIMoodtd又因又因ABoCmgdtdddddcos23lgdtd完成积分得完成积分得lgsin3lg330 例题例题3-11 一质量为一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以 o的角速度转动。的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为擦系数为,求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求圆

25、盘经多少时间、转几圈将停下来？ R0mgR32221mRI 解解 摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr的的圆环积分。圆环积分。MrdrRm22gro水平桌面rdr故摩擦力矩为故摩擦力矩为31RgIM34于是得于是得由由 = o+ t = 0得得gRtOo43 又由又由 2- o2=2，所以停下来前转过的圈数为所以停下来前转过的圈数为gRNoo1632222221mRI ,32mgRMo水平桌面rdr32刚体的刚体的转动动能为转动动能为2222121iiiirmmii

26、ikrmE2221 刚体的刚体的转动动能转动动能 =刚体上各质点动能之和。刚体上各质点动能之和。 设刚体绕一定轴以角速度设刚体绕一定轴以角速度 转动转动,第第i个质点的质量个质点的质量为为mi , mi到转轴的距离为到转轴的距离为ri , mi的线速度的线速度 i=ri , (各质点的角速度各质点的角速度 相同相同)； 相应的动能相应的动能质点的平动动能为质点的平动动能为221mEk对比！对比！4.定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能221I33 设物体在力设物体在力F作用下作用下,绕定轴绕定轴oz转动，转动，力力的作用点的作用点P位移为位移为ds=rd (见图见图) , 则力则力F的元功是的

27、元功是 dA=Fdscos(90o- )=Frsin d =Md 即即:力矩的元功等于力矩力矩的元功等于力矩M和角位移和角位移d 的乘积。的乘积。 当刚体由角当刚体由角 1转到转到 2时时,力矩所作的功为力矩所作的功为21MdA 力矩的功率是力矩的功率是力矩的功力矩的功 即力矩的瞬时功率等于力即力矩的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。矩和角速度的乘积。MdtdMdtdAPZFdsd opr34 上式说明：上式说明：合外力矩对刚体所作的功等于刚体转合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。动动能的增量。这便是这便是定轴转动的动能定理。定轴转动的动能定理。 dtdIIM 根据刚体定轴转动定律式：

28、根据刚体定轴转动定律式：ddtdIMdA2121在上式两边同乘以在上式两边同乘以d 并积分得：并积分得：完成积分得完成积分得2122212121IIMdA刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理dI2121222121mmdrFA对比对比:质点动能定理：质点动能定理：35 一个包括有刚体在内的系统一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内如果只有保守内力作功力作功,则这系统的机械能也同样守恒。则这系统的机械能也同样守恒。 在计算刚体的重力势能时，可将它的在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质全部质量集中在量集中在质心质心。 刚体的机械能为刚体的机械能为 221ImghEc式中式中, hc为刚

29、体质心到零势面的高度。为刚体质心到零势面的高度。 机械能守恒定律在刚体系统中的应用机械能守恒定律在刚体系统中的应用36 例题例题3-12 一质量为一质量为m、长为、长为l的均匀细直棒可绕的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成 角时的角角时的角速度和角加速度。速度和角加速度。Chco221sin22Ilmglmg22231)2(121mllmmlI 解解 棒在转动的过程中，只有保守力棒在转动的过程中，只有保守力(重力重力)作功，作功，故机械能守恒。取水平

30、面为零势面，于是有故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有由上得由上得)sin1(3lg37dtd 讨论：讨论： 本题也可先由本题也可先由M=I 求出求出 ，再用再用 =d /dt积分求出积分求出 ，如例题，如例题3-9那样。那样。 但用但用机械能守恒显然简单一些。机械能守恒显然简单一些。Chco角加速度：角加速度：cos23lgdtddddd)sin1(3lg38 例题例题3-13 如图所示，有一由弹簧、匀质滑轮和如图所示，有一由弹簧、匀质滑轮和重物重物M组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求放。运动过程中绳与滑轮间无

31、滑动。求:(1)重物重物M下下落落h时的速度；时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。弹簧的最大伸长量。 222212121khIMMgh221mrI ， = r 解解 (1)系统在运动过程中只有保守力系统在运动过程中只有保守力重力和弹重力和弹性力性力 作功，所以机械能守恒：作功，所以机械能守恒：h零势面mrMk由此解得：由此解得：mMkhMgh212239h零势面mrMk(2)求弹簧的最大伸长量。求弹簧的最大伸长量。 弹簧伸长最大时，弹簧伸长最大时，的的速度应为零。右式中令速度应为零。右式中令 =0,得弹簧的最大伸长量为：得弹簧的最大伸长量为： hmax=2Mg/k。mMkhMgh212240 5

32、.定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律dtIddtdLM)(可得可得1122212211IIIdMdtttII 上式的物理意义是上式的物理意义是：合外力矩的冲量合外力矩的冲量(冲量矩冲量矩)等于等于物体角动量的增量物体角动量的增量。若物体所受的若物体所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)时，则时，则I =常量常量 这表明：当合外力矩为零时这表明：当合外力矩为零时,物体的角动量将保持物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律。由定轴转动定方程由定轴转动定方程:41 当系统所受的当系统所受的合外力力矩为零时合外力力矩为零时,系统的系统的

33、总角动量总角动量的矢量和就保持不变。的矢量和就保持不变。 对比：对比： 系统系统角动量守恒角动量守恒是是： 系统系统动量守恒动量守恒是是： 在日常生活中在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。利用角动量守恒的例子也是很多的。 定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物体组成的系统。体组成的系统。系统的角动量守恒定律描述如下：系统的角动量守恒定律描述如下：0外当M时时,0外当F时时,常矢量iiim常矢量iiiI4243 角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零如直升

34、飞机在未发动前总角动量为零,发动以后旋翼在发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况免这种情况,人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼尾翼,由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似动。与此类似,鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进的螺旋浆来推动鱼雷前进,也是为了避免鱼雷前进中的也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转自旋。安装在轮船、飞机、导弹或

35、宇宙飞船上的回转仪仪(也叫也叫“陀螺陀螺”)的导航作用，也是角动量守恒应用的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。的最好例证。 以上内容的学习要点：以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。及用角动量守恒定律求解问题的方法。44 解解 (1)杆杆+子弹：竖直位置，外力子弹：竖直位置，外力(轴轴o处的力和处的力和重力重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒： )32(313222lmMllmo解得解得)43(6mMlmo 例题例题3-14 长为长为l、质量为质量为M的匀质杆可绕通过杆的匀质杆可绕通过杆一

36、端的水平光滑固定轴一端的水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为如图所示。有一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 o射入杆射入杆上的上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求求:(1)子弹射入后子弹射入后瞬间杆的角速度瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 。m ooA 32l45222)32(3121lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo由此得：由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒：m ooA 32l)cos1 (32)co

37、s1 (2lmglMg)43(6mMlmo由前由前46 解解 (1)碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒: 例题例题3-15 粗糙的水平桌面上，有一长为粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质、质量为量为m的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴竖直光滑固定轴o自由转动，杆与桌面间的摩擦系数自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为为,起初杆静止。桌面上有两个质量均为起初杆静止。桌面上有两个质量均为m的小球，的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率同的速率 相向运动，并与杆的两端同时发生完全非相向

38、运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞弹性碰撞(设碰撞时间极短设碰撞时间极短), 如图如图6-23所示。求所示。求: (1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造不计两小球重力造成的摩擦力矩）成的摩擦力矩）m m.o2Lm)2(2mLI 其中其中2231)2(121mLLmI47解得解得L76 (2)摩擦力矩为摩擦力矩为2220LmgxdxLmgMLLgIM23由由 = o+ t得：得：gt742Lm)2(2mLI m m.o2231)2(121mLLmIdmdxfr.xo48 例题例题3-16 匀质园盘匀质园盘(M、R)与人与人( m ,视为质视为质 点点)一一起以角速度起以角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如如图所示图所示。当此人从。当此人从盘的盘的边缘走到边缘走到盘心时，盘心时，圆盘的角速圆盘的角速度是多少？度是多少？ 解解 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)什么什么量守恒？量守恒？ 系统角动量守恒：系统角动量守恒： omRMR)21(22221MRoMm)21 ( o49.o 例题例题3-17 两个同样的子弹对称地同时射入转盘