空间中直线与直线之间的位置关系(上课用)

1、同一平面内的直线有哪些位置关系？同一平面内的直线有哪些位置关系？aboab回顾旧知回顾旧知abo如何判断两直线相交？如何判断两直线相交？两直线有公共交点。两直线有公共交点。如何判断两直线平行？如何判断两直线平行？两直线在同一平面，且无公共交点。两直线在同一平面，且无公共交点。ab2.1.2 空间中直线与直线之间空间中直线与直线之间的位置关系的位置关系 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？在直线是什么位置关系？既非平行既非平行又非相交又非相交 不同在任何一个平面内的两条直线叫不同在任何一个平面内的两条直线叫做做异面直线异面直线（skew lines）

2、空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：共面直线共面直线异面直线异面直线相交相交平行平行不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。同一平面内，有且只有一个公共点。同一平面内，有且只有一个公共点。同一平面内，没有公共点。同一平面内，没有公共点。注注 两直线异面的判别一两直线异面的判别一 : 两条直线两条直线不同在不同在任何任何一个平面内一个平面内.两直线异面的判别二两直线异面的判别二 : 两条直线两条直线 既不相交、又不平行既不相交、又不平行.abab异面直线的画法异面直线的画法为表示异面直线不共面的特点，常以平面衬托。 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原下

3、图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么为正方体，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH这四条线段所在这四条线段所在的直线是异面直线的有的直线是异面直线的有 对。对。DBACEFHGAH)(BF)(CEDG3直线直线EF和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线CD随堂练习一、一、下图长方体中下图长方体中平行平行相交相交异面异面BD和和FH是是 直线直线EC和和BH是是 直线直线BH和和DC是是 直线直线BACDEFHG与棱与棱ABAB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条? ?4 4分别是分别是 ：CG、HD、GF、HE说出以下各对线段的位置关

4、系说出以下各对线段的位置关系?二、二、 画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为：一条直线，使它们成为： 平行直线；相交直线；异面直线平行直线；相交直线；异面直线. ab ab ab 在同一平面内，如果两条直线都与第三条在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行在空间直线平行，那么这两条直线相互平行在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？也有类似的规律？思考思考 如图，长方体如图，长方体ABCD-ABCD中，中，BB/AA,DD/AA,那么那么BB与与DD平

5、行吗？平行吗？ 平行平行ABCDABCD观察观察二、空间直线的平行关系二、空间直线的平行关系若若abab，bcbc，1 1、平行关系的传递性、平行关系的传递性则则 acac。公理公理4 4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据的作用：它是判断空间两条直线平行的依据公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行平行推广：推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行 例例2： 如图如图 ，空间四边形空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形的中点求证：四边形

6、EFGH是是平行四边形。平行四边形。BCADEFHG证明：连接证明：连接BD， 因为因为 EH是是 的中位的中位线线，ABD所以所以EH/BD,且且 BD21EH 同理同理FG/BD,且且 BD21FG 所以所以 EH/FG，且，且EH=FGEH=FG 所以所以，四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形。解题思想：解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法。解立体几何时最主要、最常用的一种方法。不在同一平面上的四条线段首尾相接，不在同一平面上的四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端与最初一条的首端并且最后

7、一条的尾端与最初一条的首端重合，这样的图形叫做空间四边形。重合，这样的图形叫做空间四边形。 在例在例2 2中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那么四，那么四边形边形EFGH是什么图形？是什么图形？四边形四边形EFGH是菱形。是菱形。BCADEFHGAcBDHEFG变式：变式：已知四边形是空间四边形，、已知四边形是空间四边形，、分别是边、的中点，、分别是边、分别是边、的中点，、分别是边、上的点，且。上的点，且。求证：四边形为梯形。求证：四边形为梯形。 AOBCPDAO/ /CP/ /EQBO/ /DP/ /FQAOBEQF180AOBCPDEFQ 在平面上在平面上，如果一个角的两边和

8、另一个角的两如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补边分别平行，那么这两个角相等或互补. .思考思考空间中，空间中，该该结论是否仍然成立？结论是否仍然成立？ 在长方体在长方体 中，中， ， 的两对边分别对应平行，这两组角的的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？大小关系如何？CDAADC与与CBAADC与与DCBAABCDCDAADC180CBAADCABCDABCD 空间中如果有两个角的两边分别对应平空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。行，那么这两个角相等或互补。定理定理等角定理等角定理夹角夹角 在在平面内两直线相交成四个角，平面内两直

9、线相交成四个角，不大于不大于90的角成为夹角的角成为夹角。ab 夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过程度，异面直线通过异面直线所成的角异面直线所成的角来刻画。来刻画。abaOababO异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a, b,经过空间任一点经过空间任一点O作作直线直线a/a, b/b，我们把我们把a与与b所成的锐角（或直所成的锐角（或直角）角）叫做叫做异面直线异面直线a与与b所成的角（或夹角）所成的角（或夹角）。为简便，为简便，O点常取在点常取在两异面直线中的一条上两异面直线中的一条上异面直线所成的角的范围

10、异面直线所成的角的范围00090求异面直线所成的角的步是求异面直线所成的角的步是: 一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直两条直线相互垂直ab记作：记作：. ba （1）在长方体）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ABCDABCD有，如有，

11、如AB和和CC，AB和和DD。垂直垂直 （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：垂直分为两种：相交直线的垂直相交直线的垂直异面直线的垂直异面直线的垂直acbacb（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？acb 如图，若如图，若c，则，则c垂直于垂直于内所有直线，内所有直线，而而内任意两条直线的关系可能是内任意两条直线的关系可能是平行平行，也可能，也可能是是相交相交或或异面异面。不一定不一定ABGFHEDC例例3 如图，

12、正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求（1）哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BE是异面是异面直线直线(2)BE与与CG所成的角所成的角。 (2)BFCG，EBF(或其补角或其补角)为异面直为异面直线线 BE与与CG所成的角，又所成的角，又 BEF中中EBF =45，所以，所以BE与与CG所成的角是所成的角是45。ABGFHEDC解解: (1)与直线与直线BE异面的棱是异面的棱是CG,DH,CD,HG,AD, FG所在直线所在直线 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中, AB = , AD = , AE = 2 (1)求求BC

13、 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?3232解：解：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF = 45o(2) BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG = 60oABGFHEDC32322随堂练习P48、一条直线与两条异面直线中的一条相交，、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）那么它与另一条之间的位置关系是（）、平行、相交、平行、相交、异面、可能平行、可能相交、可能异面、异面、可能平行、可能相交、可能异面D不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系公理：公理： 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法异面直线的求法:一作