解三角形教学设计

1、.数学分析】解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，提高学生解决实际问题的能力。【教育分析】解三角形一章的教育价值主要体现在：1.正弦、余弦定理的证明，体现了知识间的相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生的应用

2、意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。2.通过两个定理的实际应用，引导学生通过自己的数学实践活动，从时间问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。【教材分析】在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。一、内容与课程学习目标本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通

3、过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二、内容安排1、课时安排本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1正弦定理与余弦定理 约2课时2.2三角形中的几何计算 约1课时2.3 解三角形的实际应用举例约2课时本章复习 约1课时2、知识结构3、主要内容1)、正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。对于正弦定理，教科书首先研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦

4、定理，考察结论是否适用于斜三角形，并通过向量法几何法加以证明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,通过具体例题，使学生体会正弦定理可以用于两类解三角形的问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.2)教科书具体例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现两解的情形，通过例题分析和讨论使学生明白根据“三角形中大边对大角”来判断多解的情形。3)对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从

5、已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的

6、角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。4)应用余弦定理，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：（1）已知两边和它们的夹角解三角形；（2）已知三角形的三边解三角形。5)正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书在第2.3节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，

7、所以，一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。通过具体例题分析是学生明白解决实际问题的一般步骤为“实际问题解三角形问题三角形问题的解实际问题的解”6)关于三角形的有关几何计算，是巩固提高用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。7)本章内容有很强的实践性，教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。8)本章的教学重点是通过对于三角形的边角的探究，证明正弦定理和余弦定理，并运用两个定理解决一些有关的实际问题。本章的教学难点是通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理和余弦定理。3、教材特色1） 突出了基础性、选择性与时代性三角形边角之间的数量关系有很多，除正弦

8、定理、余弦定理外，还有正切定理、射影定理等，正弦定理、余弦定理是这些定理、公式的基础，更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具。解三角形是测量的基础，对学生来说，学习三角形的应用对完善知识结构，特别是培养抽象数学模型能力还是很有帮助的。教科书中的例题、习题等内容，基本是正弦定理、余弦定理的运用，努力为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活的联系，发展数学应用意识、提高实践能力创造条件。2）重视数学思想方法的教学数学思想方法是数学的精髓。数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义

9、，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。本章中，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。这里恰当运用向量的数量积证明了正弦定理与余弦定理。以此将向量引入三角形，并作为推证正、余弦定理的主要工具。具体解三角形时教科书突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。另外，教科书在处理正弦定理时，从分析特殊三角形的边角关系

10、入手，猜想这种关系也适用于一般三角形，从而发现了正弦定理。这种从特殊到一般的归纳思想，是发现数学规律的重要思路。3）注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在必修五的第二章，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三

11、角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。4)重视发展问题意识、应用意识和探究意识用数学是学数学的出发点和归宿。我国的中学数学教学与国际上其他一些国家的中学数学教学比较，具有重视基础知识教学和基本技能训练，重视数学计算、推理和空间想像能力的培养等显著特点，因而我国中学生的数学基本功比较扎实。然而，改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的一些不足。其中比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，对于数学在人类文明发展

12、史上的重要作用认识不足；学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，我们的数学教科书为此作了一些努力。数学教科书重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，本章的教学内容有显著的实践性，本章教材重视发展学生应用数学的意识和数学实践能力。解三角形的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动。教材选择了大量鲜活的现实情境，将知识返璞归真，体现了强烈的数学意识。本章安排

13、了解三角形的“应用举例”的内容，介绍正弦定理和余弦定理在测量距离、高度、角度、几何计算等方面的应用。历史上，解三角形的知识产生主要受到天文测量、航海测量、地理测量等实践活动的推动，在例题和习题的选择中，配备了这些方面的问题。在正弦定理这一节中，围绕正弦定理设计了几个问题供学生自主探究、学习，还设计了一节“三角测量”的探究活动，这给教科书引入了一种新的学习方式，让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，也有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。4、教学要求正弦定理本节教材分析：正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，世界三角形的重要工具，他们的发现与证明是以前三角函数知识与平面向量

14、只是在三角形中的综合交汇，是培养学生数学思维品质的重要素材。三维目标1知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：

15、正弦定理的探索和证明及其基本应用教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。余弦定理本节教材分析本节的在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一

16、边和两个角的问题。” 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系.”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”三维目标1知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问

17、题。2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。三角形中的几何计算本节教材分析本节课主要是继学习了正弦定理和余弦定理之后安排的一节课，可以说是两个定理的小结或习题课，可为后面的实际应用举例奠定基础，本节课学习具有承上启下的桥梁作用.三维目标1知识与技能:掌握在已知三角形的两边

18、及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点：利用正、余弦定理解三角形；教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。解三角形的实际应用举例本节教材分析为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用

19、，教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法，即：从实际出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.三维目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学

20、生更广阔的思考空间情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。【课标解读】一、课标内容（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。二、新课标教材与大纲版教材差异对比分析（一）课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”安排在“平面向量”一章，作为该章的一

21、个单元。而在普通高中数学课程标准中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章。“平面向量”则安排在必修模块数学4中。（二）教学要求的变化内容大纲版教材要求新课标教材要求解三角形（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计

22、算有关的实际问题。由此可以看出，普通高中数学课程标准在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。（三）课程关注点的变化原全日制普通高级中学数学教学大纲中的“解斜三角形”，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而普通高中数学课程标准则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。（四）教材编写理念上的变化原全日制普通高级中学数学教学大纲中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工

23、具性和应用性。而普通高中数学课程标准将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、为进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积和度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有了用武之地。【教学建议】1)要重视学生的创造能力和创新意识的培养在国际竞争日益激烈的当今世界，人们越来越清楚认识到，国家的富强乃至企业的兴衰，无不取决于对科技知识的学习、掌握及其创造性的开拓和应用。但创造能力并非与生俱有，必须通过有意识的学习和训练才能形成。数学教育必须重视培养学生应用所学知识进行创造性

24、工作的能力。要培养学生的创造能力，就要让学生具有积极探索的态度，猜想、发现的欲望。数学教学要设法鼓励学生去探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，提出问题。课程标准要求在本章的教学中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。所以，在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析

25、的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。2)重视认真完成实习作业本章安排了一个实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。在学习测量这样的内容时安排实习作业，对于学生真正理解和掌握所学的知识是非常必要的。在做实习作业之前，应该要求学生准备好测量工具，如经纬仪和钢卷尺或皮尺等。教师要注意对于学生