大气辐射与遥感-第六章

1、授课人：授课人： 葛觐铭葛觐铭20152015春季春季第第六六章章 行星大气辐射传输行星大气辐射传输6.16.1考虑散射的辐射传输射传输方程考虑散射的辐射传输射传输方程(RTE)(RTE)6.26.2散射相函数的展开散射相函数的展开6.36.3辐射传输方程解法辐射传输方程解法6.3.16.3.1二流近似二流近似(two-stream)(two-stream)6.3.26.3.2逐次散射近似逐次散射近似6.3.36.3.3离散纵标方法（离散纵标方法（DISORTDISORT）6.3.46.3.4加倍法加倍法6.3.56.3.5蒙特卡洛法蒙特卡洛法(Monte Carlo)(Monte Carlo

2、) 一束辐射在传输过程中，一方面与其它物质相互作用（散射和吸收）而减弱； 另一方面在研究的辐射方向上有其他方向上的一部分辐射由于发射和多次散射进入而加强。6.1考虑散射的辐射传输方程考虑散射的辐射传输方程两个概念：光学厚度、平面平行介质两个概念：光学厚度、平面平行介质一组不同表达形式的传输方程：一组不同表达形式的传输方程：JIdskdIJIddI考虑平行平面大气考虑平行平面大气无坐标一般形式无坐标一般形式dsTBIdsaaemitabs)(dIdIdI根据施瓦氏辐射传输方程的假设，忽略散射后，认为e=a，即通过一段路径后，辐射强度的改变为：对于平面平行大气，考虑大气中单次散射消光，但忽略多次散

3、射和发射的贡献，则传输方程为：IuuIdzIdseeextddI/dIdI/)0()(exp(/)(exp(000IdzzdII上式的解为：/0eII注意到()=0：传输方程的简单解（比尔定律）：传输方程的简单解（比尔定律）：e e的指数形式的指数形式实际中，云、气溶胶粒子对短波乃至红外波段的散射效应都不能忽略，在一些情况下传输方程中必须考虑散射作用。scatemitextdIdIdIdIIdseextdI上式中dIemit与dIscat是源函数。已知考虑基尔霍夫定律，根据普朗克函数可以表示dIemit，需要考虑dIscat的形式对于对于dIdIscatscat的思考的思考如果没有散射，即没有

4、dIscat的贡献，因此散射项的贡献应该与散射系数s的大小成正比；在任意方向上传输的辐射，都可能被散射到我们关注的某个方向上，从而对该方向的辐射强度有贡献；任意方向传输的辐射在某个方向上的散射贡献是以线性方式累积的。dIdIscatscat的数学表示的数学表示根据上述表示，dIscat可以表示如下：dsdIPdIsscat4) (), (4其中归一化的散射相函数为：1), (414dP4) (), (4dIPddIsscat电磁波通过介质时，会发生散射，即电磁波有可能改变方向。因此使某一方向的电磁波强度发生变化，可能减弱，也可能增强。源函数中散射的表达源函数中散射的表达0当电磁波由方向0传输时

5、，它被介质散射到方向的散射过程包括：单次散射和多次散射过程；单次散射过程指光子被介质只散射了一次，与单次散射相区别，凡是辐射被介质散射超过 1 次，均称为多次散射。区分单次散射和多次散射是为了方便于求解辐射传输方程。1d) ,(P4141d) ,(P414根据互易原理：), (P) ,(P因此同样有：散射相函数（散射相函数（scattering phase function）散射相函数 P (, )表述为方向的电磁波被散射到方向的比例，且P (, )/4是归一化的，即：通常散射相函数 P (, )只与方向和方向之间的夹角有关，可以写为 P (cos )。散射角定义为入射光束和散射光束之间的夹角

6、。散射角的余弦可以表示为：)cos()1 ()1 ()cos(sinsincoscoscos2/122/1211coscos)(cos21dPg对各向同性散射，g为零；当相函数的衍射峰变得越来越尖锐时，g也随之增大；若相函数峰值位于后向，g为负值；(1+g)/2 可以看作积分前向散射能量的百分比数；(1-g)/2 可以看作积分后向散射能量的百分比数。不对称因子不对称因子g实际上辐射被介质散射的同时，也被介质吸收，即消光过程既包括散射，也包括吸收。单次散射反射率 定义为辐射传输发生每一次消光过程中，散射占的百分比。单次散射反射率（单次散射反射率（single scattering albedo）

7、esass对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初始值为I0，传播方向为0，则它到达处的辐射强度为：0/0eI单次散射源函数单次散射源函数o o在处发生单次散射后，散射到方向的辐射强度即为：4),(0/00PeI对上式中入射方向0 在4空间积分，并考虑只有一个入射方向，则上式中的强度变成通量密度，即有：上式就是单次散射产生的源函数。4),(0/00PeF则多次散射产生的源函数为来自所有方向、并经散射，到方向的辐射总和。即上式对方向在4空间的积分，即：4d4) ,(P) ,(I对于多次散射，我们假设位于处、传播方向为的辐射强度为I (, )，则它散射到方向的辐射强度为：4) ,(P) ,(I多次散

8、射源函数多次散射源函数源函数中的散射的表达是单次散射与多次散射之和，即：40/0) ,() ,(4),(4),(0dPIPeFJ又，源函数中的发射的表达可以写为：)(),(TBJ普朗克函数B(T) 是物体亮温为T时的出射辐射亮度，它的强度与方向无关，即各向均一。因此，考虑散射（单次、多次）、发射源函数后，辐射传输方程可以展开为：通常情况下，这个方程没有解析解，只能靠数值解法或简化求解。JIddI对于平面平行介质中的传输方程为：)()1() ,() ,(4)exp(),(4),(),(4000TBdPIPFIddI不考虑源函数、源函数与待求强度无关（只考虑发射 或/和 单次散射）、考虑多次散射，

9、这三种情况的解由易到难。对多次散射的考虑，构成辐射传输求解中最具活力的一部分，相关新方法和手段层出不穷。辐射传输方程在不同介质中应用时，关键是要确定散射相函数 P (, )、的形式，以及如何将它与介质的一些参数建立联系。之前给出不考虑源函数J 时传输方程的解(比尔定律），显然这是极不准确的。这里给出考虑源函数J （J与I无关）时传输方程的解。仍考虑平面平行介质，其传输方程为：),(J),( Id),(dI，则得到/e),(J1de),( IdJ J与与I I无关的传输方程解无关的传输方程解将方程两边同时乘以 /e/e),(J1de),( Id对上式从0 到 0 积分：000/0),(1),0(

10、),(deJIeI整理得：000/0),(1),(),0(deJeII位于=0处的强度由两部分组成：=0处辐射强度经整层介质衰减后的值；介质中的辐射源被衰减后到达=0处的强度总和。0000/)(/0),(1),0(),(deJeII位于=0 处的辐射强度由两部分组成：=0 处的辐射强度穿过整层介质衰减后的值；整层介质中的辐射源被衰减后到达=0处的辐射强度的总和。对同理，对于u0时，有：辐射传输方程的求解是对的积分，而J与I是否有关决定了求解难易；不考虑源函数的解为比尔-布格-朗伯定律，只考虑发射的解也相对简单；注意辐射传输方程中单次散射项也与I无关：),(PeF4),( Id),(dI0/00

11、问题的关键：1.I在太阳方向上有峰值2.P(cos)存在峰值散射项引起的困难散射项引起的困难6.26.2散射相函数的展开散射相函数的展开散射相函数是散射角的函数，可以展开为勒让德(Legendre polynomial)多项式组成的级数:)(cos)(cos0lNllPP其中Pl为勒让德多项式， 为展开系数：lNldPPlll,.,1 ,0cos)(cos)(cos21211当n=l时， 当nl时，勒让德多项式勒让德多项式在-1x1,满足如下正交关系：nlnlldPP121cos)(cos)(cos21111nl0nl1cos)(cos21cos)(cos)(cos21110110dPdPP当

12、l=0时， ，P0=1,表明相函数是归一化的： 10当l=1时，P1=x,则有 gdPdPP3coscos)(cos213cos)(cos)(cos23111111其中 表示由方向 的入射辐射改变到方向 的出射辐射。考虑到散射角与入射和出射方向的关系，相函数可以表示为:)cos()1()1()(cos) , ;,(2/122/1200lNlllNllPPP) , ;,(P) , (),(根据球面调和函数的加法定理，散射相函数可展开为:)(cos) ()() , ;,(0 mPPPmmNmNmlmlll为连带勒让德多项式。?mlP)0,.,()!()!()2(,0NmNmlmlmlllmm01,

13、0 m若m=0其他近似方法近似方法: :二流近似(two-stream)逐次散射近似Eddington近似精确方法：精确方法：离散纵标法(Discrete-ordinates)累加法(Adding-doubling)最精确方法：最精确方法：蒙特卡洛方法(Monte Carlo)6.36.3辐射传输方程解法辐射传输方程解法6.3.16.3.1二流近似二流近似(two-stream)(two-stream)对于辐射传输方程(不考虑发射)，有：假定散射各向同性，辐射传输与方位无关，而仅与有关时，则有： 112011 -4d2d d d ) ,() ,(4)exp(),(4),(),(4000dPIP

14、FIddI定义方位平均的强度：20),(21)(dII定义方位平均的相函数为：20) , ;,(21) ,(duPP定义：),(4),(0000uPFS1100) ,() ,(2)exp(),(),(),(dPISIddI根据上述定义，向上、向下的辐射传输方程可写为：1100) ,() ,(2)exp(),(),(),(dPISIddI（1）（2）分别将（1）、（2）式，对进行积分： 101101001010) ,() ,(2)exp(),(),(),(ddPIdSdIdddI 101101001010) ,() ,(2)exp(),(),(),(ddPIdSdIdddI（3）（4）11010

15、0) ,31() ,(2)exp(),31()31,()31,(31dPIdSIddI110100) ,31() ,(2)exp(),31()31,()31,(31dPIdSIddI1.将相函数展为两项:2.用Gauss积分求和代替积分为了便于求解方程，给定两个简化条件：31) ,(gP将相函数展开为两项，并用两点Gauss求积公式计算传输方程，引用以下标记：)31,(II)31,(II)31(4),31(000gFSS)31(4),31(000gFSS2g1b0/)1 (31esbIIbIddI0/)1 (31esbIIbIddI将则二流近似传输方程可表示为：二流近似的辐射传输方程是一阶非齐

16、次常微分方程组，可以得到解析解，有兴趣者可以翻看相关参考资料。利用二流近似方法可以求解多次散射影响，尤其适合于通量密度的解算。3 个关键步骤： 与方位无关时辐射传输方程的简化去掉 勒让德多项式展开：将 与分开 高斯公式展开：将积分换成求和6.3.26.3.2逐次散射近似逐次散射近似多次散射的逐次计算方法是这样一种方法，我们单独对散射一次、二次、三次等的光子计算其强度，而总强度则为所有各次散射之和。即式中n表示光子经过散射的次数。1nn),(I),( I注意到多次散射的源函数为：4d4) ,(P) ,( I),(J由于二次散射是由一次散射引起的，因而从一次散射强度 I1(,)即可求出二次散射源函

17、数：412d) ,(P) ,(I4),(J而二次散射强度是可以由其源函数计算出来的：/2/2e),(J1de),(Id同样我们可以由二次散射强度推导出三次散射源函数，继而推出三次散射强度。依此类推，我们可以得到任意次散射的强度，其递归关系式可以表示为：4n1nd) ,(P) ,(I4),(J/n/ne),(J1de),(Id在辐射传输方程中，单次散射源函数J 与待求强度I 无关，可以求出解析解。单次散射解中的第 1 项反映了比尔-布格-朗伯定律，有时也称为零次散射解，而将第 2项，即对源函数的积分结果称为单次散射解。利用逐次计算方法可以依次得到各次散射的源函数和强度，进而求出考虑多次散射的方程

18、解。利用离散纵标方法可以将辐射传输方程中的散射相函数用勒让德多项式展开，并用2N个节点的高斯求和公式代替方程中的天顶角积分，进而将原有的积分微分方程转化为微分方程组，最终通过边界条件的代入，求解辐射在几个特定方向（由高斯点决定）上的解析解。这种方法的精度取决于多项式展开的次数，次数越多精确性越高，但也越复杂。6.3.36.3.3离散纵标方法（离散纵标方法（DISORTDISORT）6.3.46.3.4加倍法加倍法加倍法的思想是：如果有两层气层，他们的反射率和透射率已知，则由该两层叠合的气层总的反射率和透射率可以通过计算两气层之间来回的反射而得到。设在0方向有单位入射辐射，第一层的反射率为R1，

19、透射率为（包括直接透射率和漫射透射率）为T1，第二层相应的量为R2， T2，两层总透射率为T12，总反射率为R12，两层之间总的向下透射为D，向上反射为U12122122121121112121121112)1(.)(1.RRTRRRRRRTRTRTRRRTTRTRR12121221212121212121212112)1(.)(1.RRTTRRRRTTTRRRRTTRRTTTTR12表示两层总的反射率：T12表示两层总的透射率：121212212121212121212121)1(.)(1.RRRTRRRRRTRRRRRTRRRTRTU1211221211121211211)1(.)(1.R

20、RTRRRRTRRRRTRRTTDD表示两层之间向下的透射率：U表示两层之间向上的反射率：R12和T12可由D和U表示DRUDTTUTRR22121112引入12121)1(RRRRS则121)1(1RRS将T、D分成直接透射与漫射透射两部分，即：) /exp( DD) /exp( TT则根据上述定义，假定透射与太阳光束有关，=0 ,则有：)/exp()/exp()1()1)(/exp()1(010110111211STSSTRRTDdd)/exp()1(011STSDdd漫射透射部分为：同理得：)/exp(0122RDRUd),()/(exp)/exp()/exp()/exp()/exp(0

21、20120122012212ddddddDTDTDTT对于T12漫射透射部分为， 透射与太阳辐射无关部分定义为= ：)/exp(011112UUTRRd上式最后一项说明，直接透射只与0有关加倍法的思路：加倍法的思路：根据以上方程可知，当已知R1，R2和T1，T2后，T12和R12均可求出，也就是说要求任何气层的反射率和透射率，只要将气层多次等分，若已知最初薄层的T1和R1，则通过若干次加倍后便可得整个气层的R和T),(),(),(JIddI根据辐射传输方程：若给定边界条件为：0),(0),0(1II在此边界条件下的形式解为：), (1),(1/)(deJI0/) (), (1),(deJI11000) ,() ,(2)exp(),(4dPIPFJ其中源函数J为：当气层很薄时，忽略J中多次散射项，并带入传输方程形式解中积分得：),()11(exp114),0(001000PFI),()exp()exp(14),(00110001PFI则R1，T1分别为：),()11(exp1)(4/),0(0010001PFIR),()exp()exp()(4/),(001100011PFIT6.3.56.3.5蒙特卡洛法蒙特卡洛法(Monte Ca