中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第六章)-3 动力学重分析

1、Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 1结构动力学拓扑重分析何建军 姜节胜3/25/2022Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 2前言(为什么要研究重分析问题) 结构优化设计是一个迭代过程，如图1所示，对每一步迭代得到的优化结构进行有限元分析是必不可少的,这是一个严重影响优化设计效率的环节。图1曲面壳优化设计的迭代过程3/25/2022Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 33/25/2022 重分析就是用间

2、接分析代替直接分析，即不直接求解修改结构的静平衡方程和振动方程，而是通过初始结构的直接分析结果间接计算得到新结构的模态和响应信息，从而可大大加快优化设计的进程，提高优化设计的效率。Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 4 重分析是对直接分析的近似，它按静力和动力特性分为：3/25/2022重分析分类重分析分类静力重分析动力重分析Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 5 动力学重分析的定义：利用初始结构的动力学特性来得到优化后或派生新结构的动力学特性，使得重分析的时间比整个

3、直接动特性分析要短的理论、方法和过程。3/25/2022动力学重分析定义Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 6动力学拓扑重分析的进展 从20世纪90年代末开始，动力学拓扑重分析得到了一定的研究： 1. 国外Kirsch等人提出的组合近似重分析方法是目前结构动力学拓扑重分 析的一种有效方法； 2. 国内陈塑寰等人提出的扩展的Kirsch方法和迭代摄动法，对于自由度增 加的拓扑大修改动力学重分析问题，采用这些方法获得的近似解具有良好 的精度。 3. 我们发展的一种新方法迄今看到的能适用于最大规模的拓扑修改一种 重分析方法。 3/25/

4、2022Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 7动力学拓扑重分析存在的问题u 现有的拓扑优化重分析方法大多缺乏严密的数学推导，通用性和精度有待 提高。u 现有的增加自由度的拓扑重分析方法没有充分利用新旧自由度上的独立关 系，导致精度较差，不能用于连续多次修改。复模态拓扑重分析的研究开展还较少。3/25/2022Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 8我们方法的优点 1. 提出独立质量正交化处理的技术，有效的改善了整个自由度上的近似特征 信息，对增加自由度的拓扑大修改情形仍

5、然适用。 2. 所提出的动力学拓扑重分析方法近似精度较高，通用性好。3/25/2022Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 9增加自由度的动力学拓扑重分析3/25/2022图2 初始平面桁架结构图3 修改平面桁架结构Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 103/25/2022问题表述00000mimimim inmiinm初始结构动力学方程：修改结构动力学方程：其中， 和 是初始结构刚度矩阵和质量矩阵， 和 是对应的特征值和特征向量；修改结构动力学方程中的符号含义类似。

6、0m0mM0mi0miInstitute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 113/25/2022 nnnmmnmmmnm0000nnnmmnmmmnm0000 修改结构和初始结构刚度矩阵和质 量矩阵的关系：其中， 和 是拓扑修改结构增加自由度上的刚度矩阵和质量矩阵。MInstitute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 123/25/2022 即考虑初始结构不同特征向量之间的叠加效应，假定新增加 自由度上的初始特征向量由初始结构所有异于该阶的特征向 量叠加得到。 mijjmjnmjnmnnjnnni,

7、 100100)()(其中， 是拓扑修改结构增加自由度上的初始特征向量， 是初始结构第 阶特征值。0ni0jjInstitute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 133/25/2022独立质量正交化处理 增加自由度的拓扑修改结构的初始自由度和新增加自由度之间必然存在独立的关系，因此在重分析中，利用两部分自由度之间的这种关系可改善新结构整个自由度上特征向量的逼近质量。 0mimmmimm ninnninn其中， 和 分别是拓扑修改结构初始自由度和新增加自由度上的改善特征向量。miniInstitute of Vibration Engineerin

8、g 振动工程研究所振动工程研究所 143/25/2022数值算例例1 空间桁架结构 图4 初始桁架结构 图5 拓扑修改桁架结构Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 153/25/2022前6阶特征值及特征向量特征值近似重分析结果最大相对误差为2.36%特征向量近似重分析结果最差的MAC值为0.9283节省计算量60重分析近似结果与直接分析结果比较Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 163/25/2022例2 平面刚架结构 图6 初始刚架结构 图7 拓扑修改刚架结构Ins

9、titute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 173/25/2022前6阶特征值及特征向量特征值重分析近似结果最大相对误差为0.077%特征向量重分析近似结果最差的MAC值为0.9257节省计算量60重分析近似结果与直接分析结果比较Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 183/25/2022例3 两次重分析图8 初始桁架结构图9 第一次拓扑修改桁架结构图10 第二次拓扑修改桁架结构Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 193

10、/25/2022重分析近似结果与直接分析结果比较前6阶特征值及特征向量特征值重分析近似结果最大相对误差为2.44%特征向量重分析近似结果最差的MAC值为0.9012节省计算量80Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 203/25/2022例4 板结构图11 初始板结构图12 拓扑修改板结构Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 213/25/2022重分析近似结果与直接分析结果比较前8阶特征值及特征向量特征值重分析近似结果最大相对误差为2.31%特征向量重分析近似结果最差的

11、MAC值为0.9048节省计算量45Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 223/25/2022 在充分利用已有重分析方法的基础上，从新的角度研究全新的、具有严密数学基础和力学背景的拓扑重分析方法，并能够解决包括自由度增加、自由度减少以及布局优化等多种情形下的通用的、高效和高精度的结构动力学重分析方法。 展望Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 233/25/2022 研究有阻尼情形下能将复模态简单转化到实模态空间进行拓扑重分析的方法，从而建立实、复模态空间都适用的研究思

12、路和方法体系；提出Benchmark算例，以便建立统一的重分析评价标准，编制拓扑重分析的程序或者软件包，嵌套到结构拓扑优化设计软件中，从而使拓扑重分析方法可以真正解决实际问题。 Institute of Vibration Engineering 振动工程研究所振动工程研究所 243/25/2022J.J. He, J.S. Jiang, B. Xu. Modal reanalysis methods for structural large topological modifications with added degrees of freedom and non-classical damping. Finite Elements in Analysis and Design J. 2007 (44):75 85 (SCI, EI收录)2.2. 何建军，姜节胜，康兴无, 结构拓扑大修改的动力学重分析方法J. 振动工