第一章 无穷小的比较最后修改

1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一一 问题的提出问题的提出三三 两个定理两个定理四四 小结小结 思考题思考题二二 定义无穷小的比较定义无穷小的比较帮助帮助返回返回一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,都是无穷小时当2,sin,3 ,0 xxxxx观察各极限观察各极限, 03lim20 xxx;32要快得多比 xxxxxsinlim0, 1;sin大致相同与xx极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.?sinlim20 xxx00001.0 ,01.0 ,25.0 , 1 ,2x0001.0 , 1 .0 , 5 .0 , 1 ,x0002.0

2、,2.0, 1 ,2,2x定义定义: :设设 ， 是同一过程中的两个无穷小，且是同一过程中的两个无穷小，且0如果如果 ，称，称 是比是比 高阶的无穷小，记作高阶的无穷小，记作 ；0lim 如果如果 ，称，称 是比是比 低阶的无穷小；低阶的无穷小；0lim如果如果 ，称，称 与与 是同阶的无穷小；是同阶的无穷小；0limCC如果如果 ,称称 是是 的的k k阶的无穷小阶的无穷小; ;0, 0limkCCk如果如果 ，称，称 与与 是等价的无穷小是等价的无穷小, ,记作记作1lim. ，当，当 时，时， 是比是比 高阶的无穷小，说高阶的无穷小，说明明 比比 趋近于趋近于0的速度快些。的速度快些。

3、0320limxxx0 x23xx23xx ，当，当 时，时， 是比是比 低阶的无穷小。低阶的无穷小。 211nnnlim nn121n ，当，当 时，时， 与与 是同阶无穷小。是同阶无穷小。 63923 xxxlim3x92 x3 x ，当，当 时，时， 是关于是关于 的二阶无穷小。的二阶无穷小。 21cos120 xxxlim0 xxcos1 x定理定理1： 与与 是等价无穷小的充分必要条件是是等价无穷小的充分必要条件是 证证 01lim1lim-lim于是有于是有 ， . . 11limlimlim 二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换设设 ， 且且 存在，则存在，则 . .证证意义意义

4、: : 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。或者分子分母同时代换。定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )limlimlimlimlimlimlimlimlimxx tanxx sin例例1 1解解:xxxtanlim0原式原式1cossinlimcossinlim00 xxxxxxxx当当

5、时，常用的时，常用的 等价无穷小等价无穷小0 x221cos1xx例例2 2求求xxx5sin2tanlim0解：解：当当 时，时， ，0 xxx22tan.55sinxx.5252lim0 xxx所以原式所以原式注意：注意：不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. . 错错解解,0时当 x,22sinxx)cos1 (tansintanxxxx,213x330)2(21limxxx原式.161解解.sin,tan,0 xxxxx时当 30)2(limxxxx原式例例3 3xxxx2sinsintanlim求30. 0

6、.mnmxnxx是整数）,(sinsin0lim求xx.xsin,时0当.nxnx,mxmxsinsin., 0., 1lim原式0mnmnmnmxnxx，例例4 4解解三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题