高等数学(无穷级数)习题与解答

1、解ZZJ -I7-9, 8, L0(3)1n=1(T尸5&1LJ 一二5 52 53 54 55练习111L写出下列级数的前五项:1+11+21+31+41+5-T+P1+213(2h1)= 1 13 135135-71352,42” -2 / 246 246,8 24石 3 15 J05 945 8 48 384 3840I+?1+421+5r“3(21).(%2.42k+七4+忐解I;肥科舞9弄装工+3+”+侬+.142725631252.写出下列级数的一般项:(1)1+|+|+|+-«；解一般项为y+吟衿消解一般项为“四242-4-62468十解一般项为修产IIX22!

2、噌与十却解一般项为/二（-1严嘉3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:去而不丽;»=1解因为sn=(a/2-/1)+(-/3>/2)+(a/4a/3)+,r+(Vw+l>fn)=(J+1-M)T8(”>x),所以级数发散.(2)1+1+1+-<+-4-I13355-7(2-1)(2什1)解因为“ 13 3-5 5-711 )(2+1)=2(1"3)+2(3"5)+2(1"7)+V(壮12 - 1 2/7+1ijr1r1rx2V133557=(l_y7T)*'s),22+l2所以级数收敛.(3)sin J+sin

3、 孕+sin孽+ sin /+6666解 s=sin J+sing+sin+ sin华 66662 sin(2sin 工£出+2$出乌,出多+ +2工 126126121 , nK msin 126(cos 卷一COS将)+ (cos招-cos耨)+2si 哈12121212+(cos笔彘3哈3得612因为lim cos兀/ifao 12不存在，所以lims”不存在，因而该级数发散.4.判定下列级数的收敛性:qq2o3o/i（1）一§+至一3+（1）力*+一；解这是一个等比级数，公比为g=-2，于是|夕卜1,所以此级数收敛.+)+、+_L+ 6 93/1解此级数是发散的，这

4、是因为如此级数收敛，则级数自n3693也收敛，矛盾.(力3十有.五+卜上十密1-L解因为级数的一般项4=右=31=0(一所以由级数收敛的必要条件可知，此级数发散.d亭卷号+台;解这是一个等比级数，公比0=|>1,所以此级数发散(5)导；)+(导/)+(*+/)+(导袅+解因为和f：都是收敛的等比级数，所以级数W=12自导专)=(*;)+(/+/)+(#J+(导和11是收敛的.练习112L用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的年敛性:解因为照驾1vn.而级数无发散，故所给数发散.(2)42+上旦+.+上也l“1+221+32l+n2解因为:招而级数发散,故所给级数发散.(3)+*

5、+1-536(计1)但十4)而级数三&收敛W=1f解因为1面（+叩+4）=1血不WTCOJft>00+5+4故所给级数收敛.（4） sin 尹 sin 亲+ sin，7T +sm+ 2- 71sin解因为lim声二4limn-w 1 w2 故所给级数收敛.sin二兀,而级数 兀F收敛,82n=l1 +。7（a>0）.解因为0<«<1a-1a>而当gi时级数方，收敛，当0<。<1时级数£5 n=lan=a散,所以级若表当a>l时收敛,当0<a<l时发散.2 .用比值审敛法判定下列级数的收敛性:各*善+念，；解

6、级数的一般项为产卷.因为"n-2r,所皿=lim3向.=，m-houn外一>8（万+1）2理3"«->«2+12所以级数发散.so2含解因为胆河;圾爵爷=隔喏啊<1,所以级数收敛.00(3)Z>1=12rl况nn解因为快色人常泮呷毫）尹,所以级数收敛.喳子.(n+l)tan解因为lim皿=lim空=lim也空iunE"tan冗n-wH冗所以级数收敛.3 .用根值审敛法判定下列级数的收敛性:就产解因为lim桶7 = 1imHJC V M-2+广K,所以级数收敛81（2）y；占皿+DF解因为吧.!吧品而=0<1,所以级

7、数收敛.官"（4）金（女）、其中%一（）,%,4a均为正数.力=1an解因为lim标=lim立=七W-HXM>xUnd所以当b<a时级数收敛，当b>a时级数发散.4 .判定下列级数的收敛性：（1号+好）2+吟）3+呜尸+；解这里小嚏，因为"("+1)(2严1工Qlira皿=lim胃=血生益=汩,»->«?Un“faow->«W44所以级数收敛.解这里因为， 7 v ("+1)4 ！ 1 - 1 八 3 hm = hm -,1=lim ( y =0<1 n- %«->

8、1; (+1)! ir fits n n所以级数收敛.占小+2)'+1解因为lim*=Hm露/ TOO豌 + 2n故所给级数发散.=1,而级数£工发散,«=1(4)尤 2 sin.n=l J解因为lim2,5sin,2"1妇=lim71亚=2<12wsmy2W-33所以级数收敛.解因为户包=1=0,R+0作+0V所以级数发散.(6)-+,+-+(q>0,B>0).a+b2a+bna+b解因为而级数发散,na+ban篇故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？1一方差力;解这是一个交错级数X(-1)“2

9、/其中4=3因为显然4,凡并且lim/=0,所以此级数是收敛的.乂因为XI(-1)'i*=E3是<1的夕级数，是发散的,/J=l/1=1所以原级数是条件收敛的.N(T)tn=l00解XI"备心系M=171=n+13W1g置是收敛的,因为!吧所以级数eFM=1从而原级数收敛，并且绝对收敛.“32322323324'解这是交错级数£(-1广勺1, 衿 3 2并且ZI(T广g源=1'Xi-vl3 2n=l因为级数工。上是收敛的，所以原级数也收敛，并且绝对收(4)-if-?+ln2In3ln4ln5解这是交错级数昌川/尸品君，其中一小.因为点劭叫并且l

10、im4=0,所以此级数是收敛的.rtX3G又因为后2磊，而级理潟发散,故级数次1(-1)”九1=£二发散，从而原级数是条件收敛的.n=iw=ln(n+l)(5)2严今.n=l也，解级数的一般项为“=(1)的二.打！“1小12川v(2)2"2"2附2"2n2n因为lim|u/t|=lim=litn=lim,-nij畀to#/!用f*M应trwn12321所以级数发散.练习113L求下列累级数的收敛域:(1右+酎+,+/ix"+'等j故收敛半径为研因为当工二1时恭级数成为£，是发散的;ji=i当m-1时，基级数成为fXT%也是发散

11、的.用二1所以收敛域为(-1,1).2lr+A+E净+;=1,故收敛半径为夫=1解lim|1=lim=lim"foan181R(刀+1产n2因为“1时，察级数成为自一吗，是收敛的;n=2当“一时'累级数成为也是收敛的,所以收敛域为(31+I-H-H+'>?2424624(2)解limlim-?=lim二、=0,an2n+*(+l)J2(w+l)故收敛半径为夫=+%收敛域为(-叫+姆(4)2+今+J+132-3233s3”解lim|-|=limn'yi=ofganm->qo(/i+l)-3w+1曜十13故收敛半径为R=3.因为当x=3时，嘉级数成为之

12、1，是发散的;nLn当x=-3时,幕级数成为yw：也是收敛的,所以收敛域为-3,3).>/+睛+看T/+;解网野强高g嘤=2r2,故收敛半径为因为当弓时，辕级数成为与卜是收敛的;当01时塞级数成为才可言&也是收敛的,所以收敛域为卜器.(6)之(一1)n=ly2»+12+1解这里级数的一般项为小=(-1)芸lim。JIB=1加产.2向”T8 2n+3 x2m+1由比值审敛法，当fvi,即阳V1时，哥级数绝对收敛；当即31时，哥级数发散，故收敛半径为H=LOPI因为当x=l时，募级数成为z(_iy八，是收敛的;«=i2n+l当x=_l时，幕级数成为次(-1)前二，

13、也是收敛的，笈2/7+1所以收敛域为(7)gn=l解这里级数的一般项为孙=怨追7.因为2"|_ 1 "2»2rL2 1一不大，(2 - l)x 2 2lim0|=lim|弛卦度力TO“露2"+1由比值审敛法，当3好1,即Wk贬时，幕级数绝对收敛;当即|川或时，幕级数发散，故收敛半径为R=狼.因为当x=±正时，寤级数成为£等1,是发散的，»=12所以收敛域为(-衣/).解lim|4M=故收敛半径为A=l,界faoan町eJ/7+1即当时级数收敛，当年-5|>1时级数发散.因为当X-5=-1,即x=4吐箱级数成为汽中，是收

14、敛的;w=iln当x-5=l,即/6时，辕级数成为丑上，是发散的，n=lln所以收敛域为巴6).2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:(1)%/T；n=解设和函数为具*即S(x)=£M，则«=1S(x)=£s阙'=£阳.优炉一力打0al1=W=；-“'=7rL(-7<1).喜1-X(If>00zJ!=l4】4+l.解设和函数为S(x),即3 y2n-丫3 丫5v2w-lS3=£计=/+手+!+一 +，W=|2w-13 52/1-1则Sa)=S(O)+J； S3公力正上*/工=5三/T由C力=141«

15、;=1提示：由£住心=3(工)一5(0)得 S(x)=S(0)+Sx)dx.寸4"+1解设和函数为SU）,即S（»=zJ,则产14十1S(x)=S(0)+号心=矮号以=£±xdx力十n=l寸小小中一吟表+/占心=-Inarctanx-x(-1<x<1).提示：由s）aE=s（x）s（o）得3（刈=5（0）+二5。：心.口-12一1COS(X04-；2;因为|以（x）j=|c 0日出+出工一天）+b+ 1T7r5+1)!(X-Xo尸川 S+I)!(Ot而级数f(+l)!总是收敛的,故limfl二o,练习11-4h求函数加XCOSK的泰

16、勒级数，并验证它在整个数轴上收;于这函数.解因为=cob（j（）+n-）（«=1,2,）所以大r）在工口处白兀/(x)-cosx0+cos(x(>+-)(x-jr0)+因此/印=cosx0+cos（x0+枭（王一飞）+c°。十"）（工一珀2+十-2,将下列函数展开成X的箱级数，并求展开式成立的区间:1l)shx=e"e:解因为所以皿44422乃0力!«=o"!100*曾Rv2«-l=42"(7)“4r=271(8vx<8)2力=0用W=o(2w-1)!(2)lnz+x)(a>0);解因为111(1

17、+力=5(-1,q(-n=0+l所以ln(a+x)=Ina(l+)=In6/+ln(l+)a<(g/l一a您+5(a<x<a).(3M；cp丫解困为=工（一8工8）,“0打！所以x=exna=eX=£(xlna)L卸回/ra=O"!w=0M(4)sin2x;£(i)w41 n=lnW=1 "+1+i . 如 /nT一产小编解因为sin2x=Hos2x,22COSX喈(川磊(8<9),所以sin2x=14£(-ir=£(-ir(_oo<x<cx).22W=O(2刈M(2而！(5)(l+x)ln(kx)

18、;OCm+1解因为ln(l+x)=X(T)"Jw=0什1所以(l+x)ln(l+x)=("x)X(-l)"J=0+l8Y+li8y+28vrt+l=Z(T)"+X(T)“=x+ZS)喘/f=0+l/=o+lz.7+1解因为寻旷噌E与默LM)所以-r=工+£(-ir察芈工北川而7£(2/2)!=x+孕可群华严y-必a,3.将下列函数展开成(x-1)的塞级数，并求展开式成立的区归(1)7?；解因为(1+犬=1+，也+吗尹/+.+，(/+以+.2!n3所以V%3=1+(J-1)2qWAT),4g_l)。_九+1)=1+效-1)+勺厂(1)2

19、+M/(x-即E=1+|()+曷一队.+3-1.(-1).(-3).(5-2»)上术级数当了二0和工=2时都是收敛的，所以展开式成立的区*解喧】福2叱"尸g扁2T（0K2）.4,将函数加)=cosx展开成(工+令的塞级数, 7T3)S，n3二盘M焉令"磊Y产IS<x<cosx=cos(x+y)-Y=cos(x+y)cosY+sin(x-l=1cos(x+j)+-sin(x+y)_1<(一厂%卜万冲卜后堂(一蒙_*(2)!(3)2马(2耳+1)!(5 .将函数/(工)=工展开成(x-3)的幕级数,Ul)，-J解1x3+x33即3yp号汽。沏6 .将

20、函数/(x)=T一展开成(x+4)的嘉级数.x+3x+2x2+3x+2x+1耳+2'l(IJL=工+13+(jv+4)I-31x+4T1归Jw=0x+4x+4i<o,13G+4)'l-1A寸W(7-1);工十lt/=03x+2 2+(x+4)2 上+4=-技写如.V+2三任+4y,/ 小=-6。-2).fl=O L因此(x+4尸学a+4I 3"1 4o=E(耳三0占-，）a+4）"（-6<o,练习11-51.利用函数的暮级数展开式求下列各数的近似值:（Dln3偏差不超过0.0001）;In=2(工+：/+!a3+.+-1dl+)(一1x352n-

21、lIn3 = ln=2(LL_L+L_L+4 3 23 5 251_2鹿一1 22”】k,l=2(2.T)2*i (2篦+3)2窃42一(2+1)22十1<Z_(2“+1)2方+】1+(2+l)22e (2 h+1),2 (2+3)2北+3 +(2什5卜2%+522 242w+l卜+ )='3(2-1)2方-2'14kL0.000129佐|v0.00003.151341-28151343-210因而取=6,此时1.0986.(2)人(误差不超过0.001);e*=l+x+!a，+工x”+,(-0O<X<+8)y2!h!-1+J-+.+7十22!22,z!2由于

22、=_1111Gg+l)!尹(力+2)!尹_11K11打!，2aLn+12(w+2)<h+1)22<1=1"!?；_一342”24«0.0003.因此取=4得G”*/9/#/呆1，64孔(3)522(误差不超过0.00001);(1 + x)m =l+/nx+ "厂、N + . ?(第1)(2-“ + 1)!V522=2(l+)k92由于108=2114"-1-T92992-2!厚0,002170,9299?，2!8-1732.3!()2«0.000019,522=2(1+0.002170-0.000019)«2.00430

23、.(4)cos2。(误差不超过0.0001).r2r4r21i解COSI一充+彳一+(1)"两+,由于%(给6x10$/鄙g故cos2o«1-()2-«1-0.0006=0.9994b2.利用被积函数的器级数展开式求下列定积分的近似值:广上机误差不超过。.。1);办=，5|_14+炉_/+十"+-(lx=(%一(工5十一±工13十一)111.111!*-4*-4-252592913213因为上品0.00625,1A«0.00028,占击H000009,所以广心04940.Jo1+x42525929广”闻生办（误差不超过0.0001）.

24、Xarctanx=x-1x3+-x5+（T）"口工""+一° 5 arc tan xJ0dV"卡 夕 _ +（_ 1）附2774-1=（工43+京5491x7 + -）|J51112 9 23 25 25 49 27,因为所以妥=0,0139,2./0,00135t玄）0.00025，垩詈74身易杀7,3.将函数dcosx展开成x的粒级数.解COSA=;(卢+6一次)，224立呼炉+£邛炉耳之处2>11>117制=0.用=0"舅=0fXnx cos4因为17二04,Ij=&£4,w.也四所以(1

25、+甲+(1_"=2可/彳+-'丁=2285竽)二agcos因此C0*二支Xn(_30<工<+00).刃旬a练习11-71.下列周期函数加）的周期为2开,试将危）展开成傅里吁级娄如果兀力在-区外上的表达式为:（1）危）=婷+1（-="死）；解因为0=fx)dx-(3X1+l)dx=2(tt2+1)5兀】一虱'n、一式an=f(x)cosnndx九J一万=(3x2+1)cosnmix(n=1,271、f4=1/(x)sinw7zrfx乃J-%=fT(3j2+l)sinn/r=O(w=l,2,),江J-不所以八刈的傅里叶级数展开式为(_iyi/(力=&

26、quot;+1+12,总-COS/7X(-O0<XV+00).,Mn加)=/(_&力;解因为_10=一71Arf(x)dx=Wx=J-n7TJ”/无一£-2在2h产q产一/(%)cosndx_«-2 万7T)F)12,),=-人0§“威厂2（1*：九）一元（wz+4>'=-f（x）smn7idx冗J一点'e.inx=（Tyy：一.）（»=1,兀L器（M+4W所以加）的傅里叶级数展开式为f（x）-e"-e好日+之（7）"Qcos,MXfsinx）冗4急标+4(.(2+l)犯rt=O,±1,土

27、2,（3）/（力二二"<0（方为常数且q必>0） 0<x<jirO解因为7TJ0aabxdxaxdx=9(a-bu»Jt"Jo2bxcQsnxdx+-axcoixdx=嘀1-(-D5=12)，n-兀IfO产.=Ibxsiniixdx+ldfxsinnxdxnnJfnJo=(-l泮J=l,2.),n所以外)的傅里叶级数展开式为/(©/(j)十的型苴幽in同(xh(2+1)江,«=0,±1,±2,-一2.将下列函数加)展开成傅里叶级数:(1)/(力=2si吟(-«力;力中连续，彳解将人工）拓广为

28、周期函数尸（工），则尸（X）在（-名工二士乃间断；且之产（-一）+产（一/），/（一切？半尸（c+歹（万+）故尸3）的傅里叶级数在（-耳力中收敛于加），而在戈二士乃处尸的彳里叶级数不收敛于大工）.计算傅氏系数如下：2,工+ n)xdx因为2sin玄（-衣xv乃）是奇函数，所以a=0（=0Jbt=2。2smysinwxr/¥=jcos（-；7）x-cos（|=（f向迹2），冗9拉21所以/（切=空茗（_1）"+1嘤詈（-定xv兀）.他=:一jtWxcO 0<x<解将人工）拓广为周期函数尸任），则外工）在（-石力中连续，彳x土H可断，且界（b）+尸（一方）¥

29、;/（-江界（武）+尸）故巴外的傅里叶级数在（-瑞力中收敛于加工而在工=土或bE（x）的里叶级数不收敛于危）.计算傅氏系数如下：他=*°泮"四=辱组an=Celcosnxdx+fcosnxdx=（n=l,2）万J。Q+*bn=：/sinnxdx+sinnxdx,（*嬖43（72,），7T1+/TH所以/(x)="L"lit<-sinw n(-7Kx<7+1t占当2cos加+p±t#%”11+1+，广工设周期函数危）的周期为2%证明代）的傅里叶系数为=5fr/(x)C0S"xdx(=。,1,23,一),bn='K&q

30、uot;/(x)sinnxdx(w=l证明我们知道，若/(X)是以/为周期的连续函数，贝IJ0'/(x)dx的值与a无关，且因为小工cos俄，sin均为以2乃为周期的函数，所以/(x)cosn山)sin.均为以2;r为周期的函数，从而1rn1p-+2/rcos，L=5Jf/(x)cosx公同理17Tf(x)cosnxcbc(=L2,)f(x)sinnxdx(w=l,2,).4,将函数/(x)=cos5(-04外展开成傅里叶级数:解因为/(x)=cos5为偶函数，故历尸0(=1,2,),而=coscosnxdr=cosgcosjmZx乃J第2万Jo2=cos(-w)x-cos(+n)x6

31、Lr二(f用土总下(”12)7V4,厂一1由于/(x)=cos；在同上连续,所以COS-4-V(一1)""COSWX2n冗念4，一15 .设段）的周期为2%的周期函数，它在-石力上的表达式爻712乃2/(%)=«X712将加）展开成傅里叶级数.解因为段)为奇函数，故%=05=0,1,2,.)，而bn=f(x)sinnxdx=jxsinnxdx+jysin,=_HT+_sin等gi,2,.),n限冗2又危）的间断点为x=（2+1）兀w-0,±1,±2,.-，所以/3力守n=l 2 1 / jc 1 ,- -5 sm -smwx 口5 2(工工(2

32、+1)万,n，士 1,±2,6 .将函数/（力=宁（00工力展开成正弦级数.解作奇延拓得尸(x)：/(x)0<工4开尸(x)=<0x=05-/(-X)-7T<X<0再周期延拓“X)到(-00,+8),则当xeQ加时F(x)=/(x)9F(0)-0#f=/(0).因为=0(=0,1,2,)，而b=fsinnxdx=-(=1,2,工才Jo2n故x)=-sinnx(0<r<社级数在x=0处收敛于0.7.将函数危曰昌044力分别展开成正弦级数和余弦级数.解对一危）作奇延拓，则。产ogoJz”而b=r2x2sinnxdx=(-l)w(兀JO冗2-)i,Z.3

33、故正弦级数为a00,21/a）=3£（T）（W-丘）-勺加mo女（现然仇ntt级数在xH）处收敛于0.对危）作偶延拓,则一=0（刘=12），而2/°。=工2产at=n江0故余弦级数为2x2dx=/r2?mJ2x2cosnxdx=(-1)Zi-7(n=l92,*),n1f(x)=&E+8V(1)cosMX(0x<).3&设周期函数.危）的周期为2名证明如果加-力+/（总则危）的傅里叶系数ao=O5山历片0gj,）；解因为PJFf (x)cos 2kxdx "-"'翼'广f (t-7r)cos2k(t-jf)dx所以以0

34、=0.因为一12xr万Jo/(/)cos2ktdt=-alkr所以aiic=O.同理历&=og=L2,).如果、危-办/>),则加)的傅里叶系数。2川=0,3邛二0体=1,2,).解因为 1/(x)cos(2A+)xclx/-幻co§(2左+1)(广-乃)公=qr/(f)cos(2无+1)E=-S所以02fcH=0(无=1,2,).同理历价1=0(4=1,2,).练习11-将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式上/住)=1_/(_:<<4);解因为为偶函数,所以氏=0（=1,2,一击血一寿如联一型系抬金（T）c。喘心=4券0_工2

35、>8§2万血few(-I)2("=1,2,),由于儿荣）在（-叼十°°）内连续7所以/需T宫（一1产H2cos2g,ke(-oo? +oo).x-1<<0(2)/(x)=I0<<1;-1£x<l2解4=(x)dx=1产+户去=£=(J(x)co§njDcdx=%cosnTccdx+cosnjjcqsrtzccdx=Ul-(-lH+sin"=1,2,工n71H7TL'"=Ji/(x)sin内dx0a-1rlxsinnmclx2sin/zZr-)sinnTixdxJ

36、O2cos竽nn2*(I2,).而在（一码+8）上,Am）的间断点为x=2k.2k+g,k=Q±1a故所-迨嗑32sin1-2cos-cos/ix+nJ：n兀(x丰2k,x#2上,k=0.，±2,，N-sin"亦±1,土2,),（3）/（力二-34x<00<x<3"解/=；=；心(2X+1滋+，切=-1-/T：/。)cos等dr38AJ*C(2x+1)co§等心+.85等附=£u-(-m("T，2,)，nJr4=；a/（x）sin等社工0=k| (2+l)sin5T用衣,ax+ sin3 Jo应

37、J2X 7 i杰解正弦级数展开,余弦级数展3二且(-，(=>2+)+H7T而在(-叫+g)_LJU)的间断点为x=3(2左+1),k=0±1,1 - (-1)讨8£ 竿+(-严1一(x3(2k+l 10,:血等,±1,±2,).2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:x0，(1)/(»=12；I-x三l2对.危)进行奇延拓，则函数的傅氏系数为口0=0(=0,1,2,)，4号/心而等杰十_41sin”力=当£小华由竿kW电4其亚三产21对以"进行偶延拓，则函数的傅氏系数为£(/-x)rfr=7行於T&

38、;+j； (/ T)CO5 21=?!42gg竽一1«球(仁1,2,), d为=0(*1,2,)r 2/ 1.2 £ 2等-1一(-叶8.竿，工口0,乙P(2»(xX?g<2).对进行奇延拓，则函数的傅氏系数为口0=0（"=0,1,2,）,3券等公（一尸蒜Z）f/4g尸焉少T网喘“曲2).8(-1)«2(-iy-l.inn/tx=一J-1-一片小-sin-乃气n/a22fi-1对A©进行偶延拓，则函数的傅氏系数为2dtixW2Jo二 广 C3S2 MT心二（邛与312），m力8刀二0（=1,2,3强愣哼=3*力T"34

39、杵匐7T2，.总习题十一L填空:对级数E%蚂/=0是它收敛的条件，不是1n=l收敛的一条件:解必要；充分.(2)部分和数列*有界是正项级数寺与收敛的条个n=解充分必要，(3)若级数£/绝对收敛，则级数WX必定;若级?4=1QT1QQ条件收敛，则级数E>i必定n=ln=解收敛；发散.2.判定下列级数的收敛性:解因为1=lim -4= = 1 mslim牵w>ooIW而调和级数发散»=1n,故由比较审敛法知，级数发散.（唯察;n=l小解因为lira-lim-limn1=,ZlfCOUn力f82(w+l)Z(!)418故由比值审敛法知，级数发散.2"8/7C

40、OS2-(3)ZM=1解因为cos2，7/r2万O0= lim）标由比较吊 乙乙n-Gqo ncos2敛法，级数£收敛.2n解因为lim牛=lim4=oo(用罗必达法则可得limgion而调和级数V发散，故由比较审敛法知，原级数发散.“fooiM->ooinn(5)*M>O,y>O).n=ln解因为limco=lim=a,故由根值审敛法知，当口<1时级数收敛，当。1时级数发散.8, i当q=i时，原级数成为之e，这是p=s的-级数，当aI时1数收敛，当时级数发散.8903 .设正项级数WX和都收敛，证明级数w>+7）2/r=l h=1n=l收敛证明因为和

41、和其都收敛，所以如%=0, W=1M=1又 因 为 lim +"必 _ jm（% +2v ） = 0 ? lim = 火 fQOUn"TOO *H-»aG %lim vn=0 .«->qoI m v =0 77W oo所以级数£（W+2m）和级数£辞都收敛，从而级数»（%+%照）+啕=£（/+中2n=l也是收敛的.W=14 .设级数之X收敛，且问级数*X是否也电 ra-»8o u7n=l=Jizr=l敛？试说明理由.解级数不一定收敛,当£>和力匕，均为正项级数时，级数”收敛, &qu

42、ot;1re"131否则未必.例如级数收敛，但级数£(-1) IW1 4 y/n n5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:却71=181数界当0<<1时，级数£（_"上是交错级数，旦满足莱布尼茨'IT£（-1）"；=之二；是级数.故当时级/=1M=1/敛的,当P<1时级数tJr发散.因此当怜1时级数之n=lw=l对收敛.理的条件，因而收敛，这时是条件收敛的.ml当旌。时，由于/曾-1尸表工0,所以级次才（-炉十发散综上所述，级数方尸吃当时绝对收敛，当0<废1时彳件收敛，当夕V0时发散.京-1严M=1

43、71n+1.乃用解因为sin-a?8sin而级数2收敛，故由比较审敛法知级数XK-ir1-iiw=l勿产睚=1冗敛，从而原级数绝对收敛.(3)£(-1)山应；n=ln解因为|(-l)wln±llimj3-n=limlim ln(l+),J ="TR n /r-M nlnc=l,而级数发散，故由比较审敛法知级数 原级数不是绝对收敛的.00之|(-1)力帕史|发散，E /i=in另一方面，级数£(-iyin”是交错级数，且满足莱布尼?n=定理的条件，所以该级数收敛，从而原级数条件收敛.碣-1尸爵n=l n解令%=(1)”碧因为lim(+?隼.(义尸打一KOu

44、n|T8(+1)"+-(H+1)!MT8/7+1n+1= lim 华18 +1(1+与 n故由比值审敛法知级数综4收敛,*in从而原级数绝对收敛.6.求下列级限:期总扪十铲;解显然s/严是级数£.。+1严的前项部分用k=w=l因为lim=lim1(1+lr=f<I,所以由根值审敛法w->oovy 1 j_ _L(2)lim2349 电27 Q11产.“TOOfi力too3fi3级数收敛，从而部分和数列即收敛.13n因此limlyJ-f°n与34-=lim-*5=0.k"TOO%n加11_L±+二解23.49锣伊产=239273显然/

45、=；+/+称+6是级数£本的前n项，?MI设s(%)=XmL则n=iS(x)二二义rWM引工工吁二六一1=小以因为罄嘴官尸小鸿&V，所1j_X±I从而lim2，4亏雨万<2与五=lim2%=24.fl>ocATT”下一页泮坦城:ff=1解因为lim3 nt© an=limW>0D3十1+5"t所以收敛半径为A=g.又因为当时，惠级数成为g照是发散的;5)+1,是收敛的,当*=-/时，嘉级数成为£乎所以籍级数的收敛域为白1+3嗅n=ln解»=(1+因为lim碗=lim(l+4)|x=e|%,由根彳H鹿一>

46、8y"Too审敛法，当e|x|<l,即时,耗级数收敛；当e|x|>l,时期数发散.T）当行时，e当时，幕级数成为£（_1尸（1+：）炉（：尸因为limi一WO=lime71>001110+)-MTn -e 2Ko所以级数尸和宫（1十步夕均发散,为（一工1） e e从而收敛土提示：lim x2ln(l+)-x= limJC-MnXiXXT40C=limIn- 1x2（3）（尢+1尸; 力二解劭=(x+l)J因为11ml3=lim"x+l巾+1|,界TOOU"T8n根据比值审敛法，当W+l|vl,即-2。<0时，嘉级数收敛；当卜+1»时，幕级数发散.又当；M）吐黑级数成为Z，是发散的；当芯=-2时，幕级?n=l成为