麦克斯韦气体速率分布律

1、复复 习习理想气体压强公式理想气体压强公式2212323()pnmvnw理想气体的温度理想气体的温度kTvm23212 理想气体的能量理想气体的能量分子平均平动动能分子平均平动动能:分子平均动能分子平均动能:理想气体的内能理想气体的内能:32kT2ikT22m iiERTRTM大学物理学电子教案大学物理学电子教案气体动理论（二）气体动理论（二） 4-5 4-5 麦克斯韦气体速率分布律麦克斯韦气体速率分布律4-6 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式( (自学自学) )4-7 4-7 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程45 麦克斯韦气体速率分布律麦

2、克斯韦气体速率分布律 气体分子按速率分布的统计规律最早是由气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克麦克斯韦斯韦于于18591859年在概率论的基础上导出的，年在概率论的基础上导出的，18771877年年玻玻耳兹曼耳兹曼由经典统计力学中导出，由经典统计力学中导出，19201920年年斯特恩斯特恩从实从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。

3、的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879)1919世纪伟大的英国世纪伟大的英国物理学家、数学家。物理学家、数学家。经典电磁理论的奠经典电磁理论的奠基人，气体动理论基人，气体动理论的创始人之一。的创始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。了以光速传播的电磁波的存在。18731873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问问世，这是一本划时代巨著，它与世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的牛顿时代的自然哲学的数学原自然哲学

4、的数学原理理并驾齐驱，它是人类探索电并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。体分子按速率分布的统计规律。 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狭缝狭缝圆圆筒筒圆筒不转，分子束的圆筒不转，分子束的分子都射在分子都射在P处。处。圆筒转动，分子束速率不同的分子将射在不同位置圆筒转动，分子束速率不同的分子将射在不同位置vDt Dtv22Dlv2DlR一、测定气体分子速率的实验一、测定气体分子速率的实验 1、实验原理、实验原理G-弯曲玻璃板，可沉弯曲玻璃板，可沉积射到上面的各种速积射到上面的

5、各种速率分子。率分子。2、实验结果、实验结果分子数在总分子数中所占分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的比率与速率和速率间隔的大小有关；的大小有关；速率特别大和特别小的分速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；子数的比率非常小；在某一速率附近的分子数在某一速率附近的分子数的比率最大；的比率最大；改变气体的种类或气体的改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特所差别，但都具有上述特点。点。二、麦克斯韦气体分子速率分布律二、麦克斯韦气体分子速率分布律速率分布函数的定义：速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表

6、示速率分布在表示速率分布在某区间某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dN/N表示分布在此区间表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。 实验规律：实验规律：dN/N 是是 v 的函数；的函数；速率区间足够小时速率区间足够小时, dN/N与区间大小成正比。与区间大小成正比。1、速率分布函数、速率分布函数dvvfNdN)( NdvdNvf )(速率分布函数速率分布函数(2) 物理意义：物理意义：速率在速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。分子数的概率，或概率密度。 001NdNfv dvNNdNdvv

7、f )(表示速率分布在表示速率分布在vv+dv内的内的分子数占总分子数的概率分子数占总分子数的概率21( )vvNf v dvN表示速率分布在表示速率分布在v1v2内的内的分子数占总分子数的概率分子数占总分子数的概率归一化条件归一化条件(3) 速率分布曲线速率分布曲线0( )1f v dv曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1 2、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律 实验表明：在平衡态下，分布在任一速率区间实验表明：在平衡态下，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为2322242mvkTdNmev dvNkT 2223224vekTmvfk

8、Tmv麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数m分子的质量分子的质量T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量(1) 定义：定义：与与 f( (v) )极大值相对应的速率，称为最可几极大值相对应的速率，称为最可几速率或最概然速率速率或最概然速率。(2) 物理意义：物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在小区间，则分布在vP所在所在区间的分子数比率最大。区间的分子数比率最大。(3) vP的值：的值：令令 0dvvdfMRTMRTmkTvp41. 1 22 三、三种统计速率三、三种统计速率1、最可几速率、最可几速率vP得得2、平均速率、平均速

9、率(1)定义：定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。(2)计算：计算：NvdNv dvvNfdN)( dvvvfNdvvvNfNvdNv)()(MRTMRTmkTv60. 1 8 8 NNvvii 3、方均根速率、方均根速率(1)定义：定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。方均根速率。(2)计算：计算： dvvfvNdvvNfvNdNvv)()(2222MRTMRTmkTvvrms 73. 1 3 32 4、讨论、讨论(1)vp 随随 T 升高而增大升高而增大，随，随m 增大而减小

10、增大而减小。(2)三种速率的大小顺序为三种速率的大小顺序为 rmspvvv MRTMRTmkTvp41. 1 22 21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1T 112TT ov)(vf1Pv2PvT 2(3)(3)三种速率的意义三种速率的意义讨论速率分布时讨论速率分布时用最概然速率用最概然速率讨论分子碰撞时讨论分子碰撞时用平均速率用平均速率讨论分子平均平动动能时讨论分子平均平动动能时用方均根速率用方均根速率(4)(4)都含有统计的平均意义，反映大量分子作热都含有统计的平均意义，反映大量分子作热 运动的统计规律。运动的统计规律。练习练习 说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义：dv

11、vf)(.1dvvNf)(.23.( )nf v dv 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分速率区间内的分子数子数。 单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3答：答： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分速率区间内的分子数占总分子数的比率。子数占总分子数的比率。NdNdvvf )(.

12、1NdvdNvf )( )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率区分布在有限速率区间间v1 v2 内的分子数内的分子数占总分子数的比率。占总分子数的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率区分布在有限速率区间间 v1 v2 内的分子数内的分子数。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率区速率区间内的分子数占总分子数的间内的分子数占总分子数的比率比率。（。（ 归一化条件）归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。例例1、 设想有设想有N个气体分子个气体分子, 其速率分布函其速率分布函数为数为 00000vv

13、vvvvAvvf)()(试求试求: (1) 常数常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根最可几速率，平均速率和方均根速率；速率；(3) 速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4) 速率介速率介于于0v0/ 3 之间的气体分子的平均速率。之间的气体分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1)气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图由归一化条件由归一化条件10 dvvf)(1630000 vAdvvvAvv)(306Av(2)最可几速率由最可几速率由0 pvdvvdf)(决定，即决定，即020 ppvvvvAdvvdf)()(20vvp 平均速率平均速率26000230

14、00vdvvvvvdvvvfvv )()(方均速率方均速率200033002210360vdvvvvvdvvfvvv )()(方均根速率为方均根速率为02103vv (3)速率速率介于介于0v0/ 3 之间的分子数之间的分子数2776300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv )()( (4)速率速率介于介于0v0/ 3 之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为143277603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv )(讨讨论论速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算之间的气体分子的平均速率的计算 212121vvvvvvdvv

15、fdvvvfv)()( 2121vvvvdvvvfv)(对于对于v的某个函数的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为一般地，其平均值可以表示为 00dvvfdvvfvgvg)()()()(4-7 分子平均碰撞次数和平均自由程分子平均碰撞次数和平均自由程分子热运动速率很大，平均速分子热运动速率很大，平均速率可达几百米率可达几百米/ /秒，而扩散运动秒，而扩散运动却进行得很慢。却进行得很慢。( (演示演示）克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变

16、，所走的路程非常曲折。子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。一、平均自由程一、平均自由程 和和平均碰撞次数的定义平均碰撞次数的定义Zv Z2 2、平均碰撞频率、平均碰撞频率 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数，叫做分子的数，叫做分子的平均碰撞次数平均碰撞次数或或平均碰撞频率平均碰撞频率。3 3、二者关系、二者关系 1 1、平均自由程、平均自由程分子在连续两次碰撞之间分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值叫做所经过的路程的平均值叫做平均自由程平均自由程。(演示）演示） 假定假定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。

17、的弹性小球。只有某一个分子只有某一个分子A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余分子都静止。vA dddvv二、平均自由程二、平均自由程和和平均碰撞次数的计算平均碰撞次数的计算1 1、平均碰撞次数、平均碰撞次数A dddvv运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将为半径的圆柱体内的分子都将与分子与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内: :分子分子A经过路程为经过路程为v相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为vd2 圆柱体内圆柱体内分子数分子数nvd2 nvdZ2 一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数nvdZ2 一切分子都在运动一切分子都在运动nvdZ22 2 2、平均自由程、平均自由程21122vZnd npdkT22 nkTp 在标准状态下，多数气体平均自由程在标准状态下，多数气体平均自由程 10-8m，只有氢气只有氢气约为约为10-7m。一般一般d10-10