概率统计1617

1、1.6 事件的独立性 实例实例 一个袋子中有一个袋子中有4个红球，个红球，6个白球个白球. （1）采用有放回方式从中摸球两次；）采用有放回方式从中摸球两次； （2）采用不放回方式从中摸球两次）采用不放回方式从中摸球两次. 设设A=第一次摸出红球第一次摸出红球，B=第二次摸出红球第二次摸出红球 ()( ). 0 4P B AP B |()( )13P B AP B |:( ). ,( ).0 40 4P AP B 不不放放回回摸摸球球:( ). ,( ). ,().P AP BP B A0 40 40 4有有放放回回摸摸球球|()()( )( )()( ) ( )( )p ABP B AP BP

2、 BP ABP A P BP A()()( )( )()( ) ( )( )p ABP A BP AP AP ABP A P BP B( ),( )00P AP B当当时时，ABAB有有放放回回摸摸球球： 发发生生与与否否不不影影响响 发发生生的的概概率率，事事件件 和和 独独立立. .ABAB不不放放回回摸摸球球： 发发生生与与否否影影响响 发发生生的的概概率率，事事件件 和和 不不独独立立. .两个事件独立的定义 .ABAB则则称称事事件件 和和 是是相相互互独独立立的的，简简称称“ 和和 独独立立”()() ( ).P ABP A P B :AB(1) 定定义义中中不不要要求求事事件件

3、和和 的的概概率率一一定定大大于于零零. .注注(2) .必必然然事事件件、不不可可能能事事件件和和任任何何事事件件都都独独立立(3) .在在实实际际应应用用中中，经经常常从从直直观观判判断断事事件件的的独独立立性性，然然后后利利用用下下式式来来简简化化计计算算ABP ABP A P B ()() (),对对任任意意两两个个事事件件 和和 ，如如果果()() ( ).P ABP A P B 例例1.20 掷两枚均匀的硬币掷两枚均匀的硬币, ,令令 =A第第一一枚枚硬硬币币正正面面朝朝上上 ， =B第第二二枚枚硬硬币币反反面面朝朝上上AB则则 和和 是是相相互互独独立立. . hh ht th

4、tt ,证证明明： Ahh htBht tt,.=P AB 1(),4P AP B1()( ).2AB所所以以 和和 是是相相互互独独立立. .例例1.21 ( (不容易直观判断独立性的例子不容易直观判断独立性的例子) )P ABP A P B ()() ( ),考虑所有两个小孩的家庭考虑所有两个小孩的家庭, ,假定生男和生女是等可能的假定生男和生女是等可能的. . =A既既有有男男孩孩又又有有女女孩孩 ， =B至至多多一一个个女女孩孩 ,bb bg gb gg= = ,Abg gbBbb bg gb=AB事事件件 和和 不不独独立立. .(),12P AB ( ),12P A ( )34P

5、B 例例1.21 ( (不容易直观判断独立性的例子不容易直观判断独立性的例子) )P ABP A P B ()() ( )考虑所有三个小孩的家庭考虑所有三个小孩的家庭, ,假定生男和生女是等可能的假定生男和生女是等可能的. . =A既既有有男男孩孩又又有有女女孩孩 ， =B至至多多一一个个女女孩孩 ,bbb bbg bgb bgg gbb gbg ggb ggg= =.AB事事件件 和和 是是独独立立的的(),P AB 38( ),P A 34( )12P B ,Bbbb bbg bgb gbb= = ,Abbg bgb bgg gbb gbg ggb= =ABAB和和 独独立立， 和和 独独

6、立立. .AB只只须须证证明明 和和 独独立立 ()P ABP BAP BABP BP AB = = = =- - ( ).1P BP A P BP BP AP B P A ABAB如如果果事事件件 和和 独独立立, ,则则 和和 独独立立, ,独立条件下的加法公式和乘法公式 111P AP B ()( ) ().ABP ABP A P B A 对对任任意意 和和 ，则则 .ABP ABP AP BP AB对对任任意意事事件件 和和 ，则则()( ) ( ).ABP ABP A P B 如如果果 和和 独独立立，则则 11P ABP ABP A P BAB如如果果事事件件 和和 相相互互独独立

7、立，则则思考：思考：如果两个事件互不相容，那么它们独立吗？如果两个事件互不相容，那么它们独立吗？ AB 0ABP AB 如如果果 和和 互互不不相相容容，则则， 00P AP B当当，时时， P ABP A P B .AB事事件件 和和 不不独独立立 0,0=0ABP AP BP ABP A P B如如果果 和和 独独立立，且且，则则.AB事事件件 和和 是是相相容容的的.AAB只只有有当当 是是不不可可能能事事件件时时， 和和 既既独独立立又又互互斥斥三个事件的独立性ABC三三个个事事件件 、 、 相相互互独独立立，下下列列等等式式都都应应成成立立. .这等价于下面的四个等式这等价于下面的四

8、个等式. ()() ( )()() ( )()( ) ( )1P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C ()( ) ( ) ( )2P ABCP A P B P C ( )()()()P AP A BP A CP A BC ( )()()()P BP B AP B CP B AC ( )()()()P CP C AP C BP C AB 这这说明说明 (1) 式中三个等式成立，但式中三个等式成立，但 (2) 式的等式不成立式的等式不成立.可以可以举例说明举例说明(2)成立，但成立，但(1)式不成立式不成立. , , ,1 2 3 41 21 31 4ABC ,12P

9、AP BP C ,14P ABP ACP BC 1.4P ABCP A P B P C （1 1）中等式成立但（）中等式成立但（2 2）不成立的反例）不成立的反例对于三个事件对于三个事件A、B、C，如果如果下面四个等式同时成立，下面四个等式同时成立，则称则称事件事件A、B、C 相互独立相互独立. 可以类似地推广到可以类似地推广到n个事件相互独立个事件相互独立. 它需要用它需要用2321nnnnnCCCn 个等式来定义个等式来定义. ()() ( )()() ( )()( ) ( )1P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C ()( ) ( ) ( )2P ABCP A

10、 P B P C 7.ABC如如果果事事件件 、 、 相相互互独独立立，则则下下面面的的 组组事事件件也也独独立立 ,A B CA B CA B CA B CA B CA B CA B C思考思考（1）如何证明？如何证明？ （2）如何把这个结论推广到）如何把这个结论推广到n个事件？个事件？ 例例2 2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？译出的概率是多少？ 独立性在计算概率中的应用 ()( ) ( ) ( )P ABCP ABCP

11、A P B P C 11 111311115345 ABC记记 三三个个人人分分别别能能破破译译出出密密码码的的事事件件分分别别为为 ， ， ，所所求求概概率率为为解：231n231n独立性在可靠性中的应用由由 个个相相同同的的元元件件组组成成一一个个串串联联系系统统， 每每个个元元件件正正常常工工作作nr的的概概率率为为 ，假假设设各各元元件件能能否否正正常常工工作作是是独独立立的的, ,那那么么系系统统nnrr正正常常工工作作的的概概率率为为 ，系系统统失失效效的的概概率率为为1-1- 。 111nnrr. .系系统统失失效效的的概概率率为为. .对对于于由由 个个相相同同的的元元件件组组

12、成成的的并并联联系系统统，n假假设设同同上上，那那么么系系统统正正常常工工作作的的概概率率为为123n123n. nnr由由 个个元元件件组组成成的的串串联联系系统统的的可可靠靠性性为为整整个个系系统统.nr看看成成是是由由两两个个可可靠靠性性为为的的元元件件组组成成的的并并联联系系统统所所以以串串并并系系统统的的可可靠靠性性为为2n由由个个相相同同的的元元件件组组成成一一个个串串并并系系统统，假假设设每每个个元元件件的的.r可可靠靠性性都都是是 ，并并且且各各元元件件是是否否正正常常工工作作是是独独立立的的 求求这这个个.串串并并系系统统的的可可靠靠性性 .nnnRrrr 2111223n1

13、123n r22由由 个个元元件件组组成成的的并并联联系系统统的的可可靠靠性性为为1- 1-1- 1-，n整整个个系系统统可可看看成成是是由由 个个子子系系统统组组成成的的串串联联系系统统，并并串串系系统统的的可可靠靠性性为为 nnnRrrr 221122n由由个个相相同同的的元元件件组组成成一一个个并并串串系系统统，假假设设每每个个元元件件的的.r可可靠靠性性都都是是 ，并并且且各各元元件件是是否否正正常常工工作作是是独独立立的的 求求这这个个.并并串串系系统统的的可可靠靠性性 Rppppppp pp p 5132451234111111111112345根据全概率公式，考虑元件根据全概率公

14、式，考虑元件5正常和失效两种可能正常和失效两种可能.5由由 个个元元件件组组成成如如下下的的电电路路，假假设设每每个个元元件件正正常常工工作作的的 , .ip i 1 2 3 4 5概概率率为为，求求系系统统的的可可靠靠性性各种系统可靠性的数值比较取元件的可靠性取元件的可靠性 r=0.95，n=10.系统类型系统类型可靠性公式可靠性公式数值数值串联系统串联系统0.5987并联系统并联系统1.0000串并系统串并系统0.8389并串系统并串系统0.9752nr nr 11 nnrr 2 nnrr 21.7 贝努里概率模型 高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验: :如图，一木如图，一木板上均匀地钉上几排钉

15、子，将板上均匀地钉上几排钉子，将一小球从顶端放入，小球碰上一小球从顶端放入，小球碰上钉子后等可能地向左或向右落钉子后等可能地向左或向右落下，最后落入下面的格子中下，最后落入下面的格子中. .分别求小球落入分别求小球落入1 1号、号、2 2号、号、3 3号、号、4 4号、号、5 5号格子中的概率号格子中的概率. . 12345树形图球落的格子号球落的格子号12345概概 率率1/164/166/164/161/16LLRLRRLRLRLRRLLRLR L RLR LRL RL RLR122324 34543 2 343 3RL右左 小球在下落的过程中与钉子碰撞小球在下落的过程中与钉子碰撞4次，每

16、次碰撞后都等可能次，每次碰撞后都等可能地向左或向右下落地向左或向右下落. 且上一次碰撞向左或向右下落与下一次碰且上一次碰撞向左或向右下落与下一次碰撞向左或向右下落是独立的撞向左或向右下落是独立的. kAkk用用=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4 表表示示4 4次次碰碰撞撞后后向向右右下下落落了了 次次，则则012341 2 3 4 5AAAAA， ，分分别别对对应应小小球球落落入入 ，号号格格子子中中，.由由独独立立性性假假定定可可得得所所求求事事件件的的概概率率数学模型()(), ,kkn kknP BC ppkn 10 1 2 ，()()-P Ap P ApEn , ,1 1，将将试

17、试验验 独独立立重重复复进进行行 次次，,EAA如如果果一一个个试试验验 只只有有两两个个可可能能结结果果： 和和其其中中kBnAk设设为为 次次独独立立重重复复试试验验中中事事件件 发发生生了了 次次的的事事件件，则则 例例1. 24 金工车间有金工车间有10台同类型的机床台同类型的机床, 每台机床配备电机每台机床配备电机的功率为的功率为10千瓦，实际开工率为千瓦，实际开工率为0.2，如果只供，如果只供50千瓦的电千瓦的电力，求这力，求这10台机床能正常工作的概率台机床能正常工作的概率.解：假设解：假设10台机床同时开动的机床数为台机床同时开动的机床数为X，则则()., ,kkkP XkCk

18、 10100 20 80 1 210，k012345P0.10740.26840.30200.20130.08810.0264k678910P0.00550.00080.00010.00000.0000().P X 50 994 例例1. 25 校队与系队进行乒乓球比赛，校队的一个运动员与校队与系队进行乒乓球比赛，校队的一个运动员与系队一个运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为系队一个运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6,0.6,有有三种比赛方案三种比赛方案: :(1) 双方各出双方各出3人，比三局人，比三局;(2) 双方各出双方各出5人，比五局人，比五局;(3)双方各出双方各出7人，比七

19、局人，比七局;比赛结果以获胜人数多的一方为胜利，哪一种方案对系队比赛结果以获胜人数多的一方为胜利，哪一种方案对系队有利有利? 解：设系队获胜的人数为设系队获胜的人数为，三种方案系队获胜的概率为：，三种方案系队获胜的概率为：( )().,3323120 40 60 352kkkPk 人数越少，对系队越有利人数越少，对系队越有利.( )().,5535230 40 60 317kkkPk ( )().7747340 40 60 290kkkPk n=3n=5n=700.21600.07800.02810.43210.25910.13120.28820.34620.26130.06430.23030

20、.29040.07740.19450.01050.07760.01770.002设设表示进行的试验次数，则表示进行的试验次数，则的分布列为的分布列为 , ,kkP Xkppp kn 11111 21LL .1111nP Xnpp L 1,1 2kkpP Akn （ ）， ，k一一个个试试验验需需要要分分多多步步模模型型完完成成，第第 次次：试试验验中中关关心心kkAA事事件件是是否否发发生生，一一旦旦发发生生，则则试试验验终终止止，或或试试验验.n进进行行到到第第 次次也也终终止止试试验验2,.1nAA（ ）相相互互独独立立 实例实例 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考某地最近出台一项

21、机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有试者一年之内最多有4次考试机会，一旦某次考试通过次考试机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9 求在一年内参加驾照考试次数求在一年内参加驾照考试次数X 的分布列，并求李的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率明在一年内领到驾照的概率 =kAki设设“在在第第 次次考考试试时时通通过过”, , = =1 1,

22、,2 2, ,3 3, ,4 4第第2 2次次第第1 1次次第第3 3次次第第4 4次次X取值取值0.60.40.70.30.80.20.90.1421341A1A4A2A3A3A2A4A,A A A A1234相相互互独独立立。 . ,P XP A 110 6 .,P XP A A 1220 40 70 28 .,P XP A A A 12330 40 30 80 096 .P XP A A A 12340 40 30 20 024一年内领到驾照的概率为一年内领到驾照的概率为 .pP A A A A 123410 40 30 20 10 9976 例例1. 26 m把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，某人一天醉酒后下意识从某人一天醉酒后下意识从m把钥匙中随便取一把开门，求把钥匙中随便取一把开门，求第第k次才把门打开的概率。次才把门打开的概率。().kkkP A AAAmm 1121111 所求的概率为所求的概率为=kAki解解：设设“在在第第 次次试试开开时时打打开开了了门门”, , = =1 1, ,2 2, ,3 3,