培训资料-微分方程模型人口模型等

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 1 人口预测和控制人口预测和控制2 交通流模型交通流模型3 传染病模型（续）传染病模型（续）1 人口预测和控制人口预测和控制指数增长模型指数增长模型马尔萨斯马尔萨斯0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )1 ()(mxxrxxxrdtdxx txxxemmrt( )()110tx0 xmx0)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口发展方程的人口

2、）年龄人口分布函数rtrF(),(人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手

3、段）生育率（控制人口手段）人口发展方程人口发展方程0tr)(0rp)(tf一阶偏微分方程的一阶偏微分方程的半无界问题半无界问题0(0)(0)pf-相容性条件相容性条件0),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtr

4、ptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性 )(),(trk生育数女性 )(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rr人口发展方程人口发展方程rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多

5、少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大人口发展方程人口发展方程mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控

6、制 (t)不过高不过高人口发展方程人口发展方程2 交通流模型交通流模型考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。X轴轴-公路公路X轴正向轴正向-公路上车辆前进的方向公路上车辆前进的方向( , )u t x 车辆分布的车辆分布的密度函数密度函数( , )q t x 车辆通过车辆通过x处的处的流通速率流通速率车辆通过车辆通过x处的处的流通速率流通速率, ,( , )tx xdxu t x dx时刻 在中的车辆数为 ,( , )t tdtxq t x dt时间段内,通过 处的车辆流量为交通流模型交通流模型车辆数守恒车辆数守恒(, )( , )( , )( ,)u tdt

7、 x dx u t x dxq t x dtq t x dx dt0uqtx流通速率与车辆的密度有关！流通速率与车辆的密度有关！密度较小时，随密度的增加，流通率增加；密度较小时，随密度的增加，流通率增加；密度较大时，随密度的增加，流通率减小；密度较大时，随密度的增加，流通率减小；密度大到一定程度时，出现交通阻塞！密度大到一定程度时，出现交通阻塞！阻滞增长？阻滞增长？交通流模型交通流模型Greenshield模型模型(1)fmmuqa uuu为出现交通阻塞时的密度0uqtx(2)0ffmauuautux20ffmavvvauvutx0(0, )2( )ffmavxauxu初始值初始值交通流模型交

8、通流模型00( ,0)2( )ffmvvvtxav xauxu特征方程组特征方程组1,0dtdxdvvdsdsds特征线特征线d xvd t沿特征线，沿特征线，v(x,t) 为常数为常数( ,0)xvt(, 0 )xtv交通流模型交通流模型0(1)( ,0)0 ( )2mxuvxux t0(2)( ,0)0 ( )2mxuvxux稀疏波稀疏波 t压缩波压缩波一定时间后，特征线相交一定时间后，特征线相交交点处，交点处，v取不同值？取不同值？出现间断解！出现间断解！-激波激波传染病模型（续）传染病模型（续）人群分为：未患病者（人群分为：未患病者（S）、患者（）、患者（I）、）、 病愈具免疫力者（病

9、愈具免疫力者（R）时刻时刻t、年龄为、年龄为x 的三类人的的三类人的分布密度函数分别为：分布密度函数分别为：123( , ),( , ),( , ).p t xp t xp t x1。自然死亡率与年龄有关为：。自然死亡率与年龄有关为：()dx模型假设模型假设2。患者在患病期间传染性相同；死亡率。患者在患病期间传染性相同；死亡率c(x);3。人的最大寿命为。人的最大寿命为A；4。出生率只与年龄有关。出生率只与年龄有关,与时间无关，为与时间无关，为b(x);5。健康者患病率。健康者患病率 ，患病者治愈率为，患病者治愈率为 ；( )x( ) x传染病模型（续）传染病模型（续）模型建立模型建立第第I类

10、人类人1111(, )( ,)()( ,)( )( ,)p tdt x dxp t xdt dxd xdt p t xdt dxdtx p t xdt dxdt111( )( )ppd xxptx 第第II类人类人222( ( )( )( )ppd xc xxptx 第第III类人类人33320( )( )( , )Appd x px p t x dxtx 传染病模型（续）传染病模型（续）模型建立模型建立初始条件初始条件0001122330:(0, )( ),(0, )( ),(0, )( )tpxpxpxpxpxpx边界条件边界条件10:( ,0)( ),Aaxp tb x dxa为最小生育

11、年龄.假定新生儿是健康的、无免疫力假定新生儿是健康的、无免疫力230 :( , 0)0;0 :( , 0)0;xptxpt123:( ,0)( ,0)( ,0)0.xA p tp tp t传染病模型（续）传染病模型（续）111( )( )ppd xxptx 222( ( )( )( )ppd xc xxptx 33320( )( )( , )Appd x px p t x dxtx 一阶偏微分方程组一阶偏微分方程组李大潜（李大潜（1986）、姚勇（）、姚勇（1991）等）等练习：练习：讨论如下的追赶问题：不同身高的人沿一直线同讨论如下的追赶问题：不同身高的人沿一直线同向前进；向前进；h(t,x) 表示时刻表示时刻t、坐标、坐标x处的人的身高；处的人的身高；并假定他们