立体几何初步(知识点梳理)

1、春季高考立体几何局部知识点梳理及历年试题一 线面之间空间关系及证明方法A.线/线的证明方法1将两条直线放到一个平面内或者转移到同一平面内利用平行四边形或者三角形的中位线来证明2. 一条直线与一个平面平行 ，那么过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行.线面线线面面线线3.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。4.垂直于同一个平面的两条直线平行。B线丄线的证明方法1. 异面直线平移到一个平面内证明垂直2. 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与平面内任意直线垂直.线丄面 线丄线C线/面的证明方法1.平面外一直线与平面内一直线平行，那么该直线与此平面平行.线线 线面2.

2、如果两个平面平行，那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面面/面 线/面 D.线丄面的证明方法1.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 线丄线 线丄面面丄面线丄面2. 两平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面线面面面E.面/面的证明方法 1一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两平面平行2.如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行线线面面3垂直于同一条直线的两个平面平行。4平行于同一个平面的两个平面平行。F.面丄面的证明方法1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线二.各几何体的体积公式,那么这两

3、个平面互相垂直 线丄面 面丄面柱体圆柱，棱柱V=s?i其中s为底面积，h为高1椎体圆柱，棱柱 V=3?h其中s为底面积，h为高3球体 体积V=3?外表积S=4n ?32022年春考真题23.空间四边形 ABCD中，E, F, G, H分别是边AB, BC, CD, DA的中点，给出以下四 个命题：与BD是相交直线3. 四边形EFGH是平行四边形平面 BCD其中真命题的个数是AC与BD没有相交，是异面直线。所以1错；AB和DC也是异面直线，所以2错。根据三角形中位线 EH/BD, FG/BD,所以EH/FG,同理HG/EF所以四边形EFGH是平行四边形是正确的；因为EH/FG,所以EH/平面BC

4、D正确平面外一直线与平面内一直线平行，那么该直线与此平面平行。综合来看正确的命题有 2个，答案选C2022年春考真题28题圆锥的底面半径为1,高为3，那么该圆锥的体积是 111解析： V V=3 ?h= V=3 n ?h=3 n X 1 2 X 3= n3332022年春考真题33题 33.如下列图，正四棱锥 SABCD, E, F分别是棱柱 SA SC的中点。求证1EF/平面ABCD 2EF丄平面 SBD解析:1连接AC交BD于P,在？SAC中E, F分别是棱柱SA SC的中点，所以在三角形中中位 线EF/AG因为AC?面ABCD, EF?面ABCD,所以EF/平面ABCD平面外一直线与平面

5、内 一直线平行，那么该直线与此平面平行2连接SP,因为p是正四棱锥 S-ABCD的中心，所以 SP丄面ABCD,所以SP丄AP,又因 为在正方形 ABCD中API BD,所以AP丄面SBD一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么该直线与此平面垂直，因为EF/AF,所以EF丄平面SBD2022年春考真题18题18.以下四个命题:(1) .过平面外一点，有且只有一条直线与平面平行；(2) .过平面外一点，有且只有一条直线与平面平垂直;(3) .平行于同一个平面的两个平面平行；(4) .垂直于同一个平面的两个平面平行。 其中真命题的个数是解析：过平面外一点可以有很多条直线与平面平行，这些直线

6、可以构成一个平面与平面平行所以(1)错。垂直于同一个平面的两个平面也可以垂直，例如墙角上的三个面。所以真命题的个数为 2个。28 个球的体积与其外表积的数值恰好相等，该球的直径是 .解析：设球的半径为r,球体体积 V=4?，外表积S=4n ?有等式扌？?=4冗？解得r=3, 所以直径为6。2022年春考真题33题33.如下列图，棱长为 1的正方体 ABCDAiBiCiDi 1求三棱锥 G-BCD的体积2求证平面 GBD丄平面A1B1CD1111解析：1Vc1-BCD=S?BCD?CC1= X (了 X 1 X 1) X1 =-33 26B2证明：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中棱A1B1

7、丄面BB1CC,所以A1B1丄BC1一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与平面内任意直线垂直在正方形BBCG中BG丄CBi,又因为A1B1与CB1相交于B1,所以 BC1 丄平面 A1B1CD,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直面GBD过直线 BG,所以平面 GBD丄平面 A1B1CD如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2022年春考真题17题17.正方体的棱长为2，以下结论正确的选项是A异面直线AD1与CD所成的角为45°B直线AD1与平面ABCD所成的角为60°C直线AD1与CD1所成的角为90°DV4di

8、-acd=3解析：A中的异面直线问题要将异面直线转移到一个平面内，观察图形因为CD/C1D1所以异面直线 ADi与CD所成的角转成异面直线 ADi与GDi所成的角，即角 A D1C1。 因为 CiDi丄面 AAiDDi，所以 GDi 丄ADi，角 A DiCi=90°B考察的是线与面成的角。因为DDi丄面ABCD,所以直线ADi与平面ABCD所成的角为角 D ADi,为 45°C中直线ADi与CDi还有直线AC构成了等边三角形，所以 ADi与CD所成的角为60°亠i z i、4D 中 Vdi-acd=3 X ( 2 X 2 X 2) X 2=3323综上，D答案正

9、确。20i4年春考真题24题24.如一个圆锥的侧面展开图是面积为8 n的半圆面，那么该圆锥的体积为 圆的面积公式为nr2，根据半圆面积8 n解得半径r=4，半圆的周长为n r=4 n,这4 n要充当圆锥底面的周长，所以圆锥底面的半径R为2,在圆锥中母线r=4，解出h=vi2=2V3，所以圆锥的体积为V=3 n ?h=3 n2 ?2昉=警33320i4年春考真题29题29.如图，四棱锥 P-ABCD中，P从平面 ABCD PA=AD, E为PD1中点，AB/CD 且 AB=2CD, AB丄 AD。求证：1AE丄平面PCD2AE 平面 PBC解析：1因为 PA丄平面 ABCD,所以 PA丄AB,因为 AB丄AD,所以 AB丄面PAD,因为 AB/CD 所以CD丄面PAD,所以CD丄AE在三角形APD中PA=AD,且E为等腰三角形的中点，所以 AE丄PD,因为CD与PD相交于D 所以AE丄平面PCD如图取PC的中点F,分别连接 EF和BF。因为E为PD的中点,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与