电磁场与电磁波课件之静电场的边值问题

1、3.43.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 1. 1. 静态场的问题：静态场的问题：分布型问题：由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分分布型问题：由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分 公式求空间各点的场分布。公式求空间各点的场分布。边值型问题：由已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布。边值型问题：由已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布。解法解法解析法解析法数值法数值法（镜像法、分离变量法）（镜像法、分离变量法）（有限差分法）（有限差分法） 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某一特定

2、的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，即，即初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为该方程的，两者又统称为该方程的定解条件定解条件。 静态场量与时间无关，因此位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程静态场量与时间无关，因此位函数所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的位函数就的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的位函数就是静态场的是静态场的边值问题边值问题。( (有限场源的无限远处有限场源的无限远处 ) )2. 2. 静态场边值问题的类型

3、：静态场边值问题的类型： 第二类边界条件是已知位函数在场域边界面第二类边界条件是已知位函数在场域边界面S S上各点的法向导上各点的法向导数值，即给定数值，即给定 第三类边界条件是已知一部分边界面第三类边界条件是已知一部分边界面S S1 1上位函数的值，而在另上位函数的值，而在另一部分边界面一部分边界面S S2 2上已知位函数的法向导数值，即给定上已知位函数的法向导数值，即给定 第一类边界条件是已知位函数在场域边界面第一类边界条件是已知位函数在场域边界面S S上各点的值，即上各点的值，即给定给定)(1SfS)(2SfnS)(111SfS)(222SfnS这种边值问题又称为这种边值问题又称为狄里赫

4、利狄里赫利问题。问题。这种边值问题称为这种边值问题称为纽曼纽曼问题。问题。这种边界条件称为这种边界条件称为混合混合问题。问题。自然边界条件自然边界条件有限值rrlim0对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明静态场的位函数微分方程的解也是惟一的。证明静态场的位函数微分方程的解也是惟一的。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，

5、解的稳定性具有重要的实际意义。因此，解的稳定性具有重要的实际意义。 解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。发生很大的变化。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静态场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。静态场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。 若已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为若已知导体表面上的电荷密度与电位

6、导数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷，就是第二类边界问题。上的电荷，就是第二类边界问题。 静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值，即为第一类边界问题。值，即为第一类边界问题。Sn 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电位，或电位的的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即被惟给定时，空间的静电场即被惟一地确定一地

7、确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。例如例如已知场域边界已知场域边界上各点电位值上各点电位值自然边界条件自然边界条件参考点电位参考点电位边值问题边值问题微分方程微分方程边界条件边界条件场域边界条件场域边界条件分界面衔接条件分界面衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界已知场域边界上各点电位的上各点电位的法向导数法向导数一、二类边界条件的线性组合，一、二类边界条件的线性组合，即即022nn221121)(1sfS)(2sfnS有限值rrlim)(111SfS)(222SfnS静电场的边值问题框图静电场的

8、边值问题框图 例例 设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a a的介质球型区域中，电荷体密度为的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。参考点电位参考点电位边界条件边界条件012212)(1drdrdrdr)0(ar 0)(122222drdrdrdr)( ra2102116)(CrCrrarar21ararrr2010有限值01 r02r432)( CrCr解：采用球坐标系，分区域建立方程解：采用球坐标系，分区域建立方程积分之，得通解积分之，得通解 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对

9、二阶常系对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由到电位的解；再由 得到电场强度得到电场强度 的分布。的分布。0041CC0320233,2aCaCarrar0)3(6)(2201arrrrr03)(0111eerErararrreerE2022223)(Erarar0323)(解得解得电位：电位：电场强度（球坐标梯度公式）：电场强度（球坐标梯度公式）：E3. 3. 惟一性定理惟一性定理( (Uniqueness Theorem) )222

10、)()()(uuuuuudVddVsVV200000)()(S0221202 在场域在场域V V中的边界面中的边界面S S上给定上给定 或或 的值，则泊松方程或拉普拉的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域斯方程在场域V V内具有惟一解。内具有惟一解。证明：（反证法）证明：（反证法） n 设在边界面设在边界面S S包围的场域包围的场域V V内有两个位函数内有两个位函数 和和 都满足泊松都满足泊松方程，即方程，即121222 令令210利用矢量恒等式利用矢量恒等式对整个场域对整个场域V V积分，并利用散度定理有积分，并利用散度定理有0210SSS0210SSSnnn对于第一类边值问题，在整个边界面对

11、于第一类边值问题，在整个边界面S S上上对于第二类边值问题，在整个边界面对于第二类边值问题，在整个边界面S S上上对于第三类边值问题，在整个边界面对于第三类边值问题，在整个边界面S S1 1和和S S2 2上上0111210SSS0222210SSSnnn无论哪一类边值问题，都将得到无论哪一类边值问题，都将得到sVdSndV0)(0020 由此，在场域由此，在场域V V中各点，中各点， ，即，即 ，也就是说有两个不同的解，也就是说有两个不同的解都满足微分方程和边界条件的假设是不成立的，故得证。都满足微分方程和边界条件的假设是不成立的，故得证。对于第二类边值问题，若对于第二类边值问题，若 与与

12、取同一参考点，则在参考点处取同一参考点，则在参考点处要使上式成立，必须在场域要使上式成立，必须在场域V V内处处有内处处有00C210表明，在整个场域表明，在整个场域V V内内 恒为常数，即恒为常数，即000S对于第一类边值问题，由于在边界面对于第一类边值问题，由于在边界面S S上上有有0C，在整个场域，在整个场域V V内，内，0210，即，即21有有，在整个场域，在整个场域V V内也有内也有021210C对于第三类边值问题，由于对于第三类边值问题，由于所以所以，在整个场域，在整个场域V V内也有内也有210C120111210SSS21004. 4. 类比法类比法 在边值问题的分析计算中，根

13、据位场解答的惟一性定理，广在边值问题的分析计算中，根据位场解答的惟一性定理，广泛采用类比法。例如，泛采用类比法。例如，静电比拟法静电比拟法。 现进一步概括如下：各种物理场，不论它们所对应物理量的现进一步概括如下：各种物理场，不论它们所对应物理量的意义是否相同，只要它们具有相同的数学描述，也就是说，具有意义是否相同，只要它们具有相同的数学描述，也就是说，具有相似的微分方程和相似的边界条件，则它们的解答在形式上必完相似的微分方程和相似的边界条件，则它们的解答在形式上必完全相似。全相似。 因而，在理论计算时，可以把某一位场的分析计算结果，推因而，在理论计算时，可以把某一位场的分析计算结果，推广到一切

14、相似的位场中去。广到一切相似的位场中去。 一般多从静电场的角度提出问题，进行分析。再根据类比关一般多从静电场的角度提出问题，进行分析。再根据类比关系，将有关结论推广应用于导电媒质中的恒定电场、恒定磁场以系，将有关结论推广应用于导电媒质中的恒定电场、恒定磁场以及似稳电磁场中的对应问题。及似稳电磁场中的对应问题。ED电场强度电场强度JBHmE电场强度电场强度电位移矢量电位移矢量电流密度矢量电流密度矢量介电常数介电常数电导率电导率电位电位电位电位磁场强度磁场强度磁导率磁导率标量磁位标量磁位磁感应强度磁感应强度静电场静电场（没有空间电荷分布的区域）（没有空间电荷分布的区域）导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场（电源以外的区域）（电源以外的区域）恒定磁场恒定磁场（没有电流密度存在的区域）（没有电流密度存在的区域） 由拉普拉斯方程描述的场由拉普拉斯方程描述的场0 SdSD0E0 DED02介质均匀介质均匀0 SdSJ0E0 JEJ02媒质均匀媒质均匀SSB0d0 B0HHB02m媒质均匀媒质均匀 由泊松方程描述的场，只在二维场情况下静电场和恒定磁场之间由泊松方程描述的场，只在二维场情况下静电场和恒定磁场之间才能