保险精算学-习题课

1、习习 题题 课课利息理论与确定年金利息的度量利息的度量按照计息时刻划分：按照计息时刻划分：期末计息：利率期末计息：利率期初计息：贴现率期初计息：贴现率按照积累方式划分按照积累方式划分线性积累线性积累 （1 1）单利计息）单利计息 （2 2）单贴现计息）单贴现计息指数积累指数积累 （1 1）复利计息）复利计息 （2 2）复贴现计息）复贴现计息1. 一年转换一次：实质利率（实质贴现率）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）2. 一年转换一年转换m次：名义利率（名义贴现率）次：名义利率（名义贴现率）3. 连续计息（一年转换无穷次）：利息效力连续计息（一年转换无穷次）：利息效力 按照利息转换频率划分按照

2、利息转换频率划分-ti 1 ti 11i 11 1 21i -2-10t21金额金额时间时间 211i ti 1 复利下的现值和累计值复利下的现值和累计值d 11-t0t 1(1-d)t 1-d-11td)1(1 金额金额时间时间复利下的现值和累计值复利下的现值和累计值 名义利率名义利率1i1i141)4(i 2)4(41 i3)4(41 i4)4(41 i)(miimimm 11)(实际利率实际利率名义贴现率名义贴现率 1d 1d 141)4(d 2)4(41 d3)4(41 d4)4(41 d)(mddmdmm 11)(实质利率与实际贴现率实质利率与实际贴现率初始值初始值利息利息积累值积累

3、值11ii1d111）（idvv确定性年金公式推导确定性年金公式推导211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sdvaaiivaadd din1)1( 例例1：某君每月初存款：某君每月初存款50元，共存了元，共存了10年，年，设年利率为设年利率为9%（不是名义利率）（不是名义利率）. 问：如问：如果按复利计算，则果按复利计算，则10年末能得多少元？年末能得多少元？ 例例1、确定、确定500元以季度转换元以季度

4、转换8%年利率投资年利率投资5年的积累值。年的积累值。420(4)0.081500 1742.9744niP2、如以、如以6%年利，按半年为期年利，按半年为期预付预付及转换，及转换，到第到第6年末支付年末支付1000元，求其现时值。元，求其现时值。84.693206. 01100021122)2(0 nndAA3、确定季度转换的名义利率，使其等于月、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换度转换6%名义贴现率。名义贴现率。%0605. 611206. 014121413)4(12)12(4)4( idi4变额年金的计算变额年金的计算5某公司决定用五年时间建立一笔专用基金，办法如下：某公司决定用

5、五年时间建立一笔专用基金，办法如下：每年初存入一笔款，数量为逐年等额递减每年初存入一笔款，数量为逐年等额递减 2万元。万元。从第六年开始每年末提取从第六年开始每年末提取1万元作为奖金。万元作为奖金。假如年利率为假如年利率为3%，求第一年初的存款额。求第一年初的存款额。解：设第一年存款额为解：设第一年存款额为 X 万元。万元。分解与平衡分解与平衡0 1 2 3 4 5 6 7 . . . . .X X-2 X-4 X-6 X-8 0 1 1. 分分解解X X X X X0 -2 -4 -6 -81 1.平衡点平衡点选选 择择平衡关系式：平衡关系式：收入现金流的终值收入现金流的终值 = 支出现金流

6、的现值支出现金流的现值%3%34%35)(2asIsX 1、某君每月初存款、某君每月初存款100元，共存了元，共存了5年，年，设年利率为设年利率为5%，问：如果按复利计算，问：如果按复利计算，则则5年末能得多少元？年末能得多少元？)(100)1(%51|0612isXi ，练练 习习2 2、某单位每年末存入银行、某单位每年末存入银行2020万元，年利率万元，年利率按按5%5%计算。计算。5 5年后，每年末取出一部分作为专年后，每年末取出一部分作为专项奖励基金发放，共发放项奖励基金发放，共发放8 8年，每年发放金额年，每年发放金额相等，若年利率按相等，若年利率按3%3%计算，求每年能发放的计算，

7、求每年能发放的最大金额。最大金额。)(20%3 | 8%5 | 5axS 0 1 2 3 4 5 6 7 A A A B B B B5%7%3、如图所示，考虑一个两阶段的年初付的变额年金：、如图所示，考虑一个两阶段的年初付的变额年金：第一阶段：第一阶段：13年，金额年，金额 A =100 元，年利率元，年利率=5% ；第二阶段：第二阶段：47年，金额年，金额 B = 200元，年利率元，年利率=7%。按复利计算此年金的现值及终值。按复利计算此年金的现值及终值。%7 |44%5 |33%7 |4%5 |3200%)71 (100200100SSaa 终值现值解4 4、有一项年金，第一年初支付、有

8、一项年金，第一年初支付100100元，以后元，以后每年递增每年递增100100元，直至永远，如果年利率为元，直至永远，如果年利率为3%3%，求其现值。，求其现值。%3 |)(100aI 现值解4 4、有一项年金，第一年初支付、有一项年金，第一年初支付100100元，以后元，以后每年递增每年递增100100元，直至永远，如果年利率为元，直至永远，如果年利率为3%3%，求其现值。，求其现值。 假如该年金规定假如该年金规定1010年后可以按新的年利率年后可以按新的年利率等额支付，仍为永续年金，假设新的利率等额支付，仍为永续年金，假设新的利率为为5%5%，在原有基金的基础上，求，在原有基金的基础上，求

9、1010年后每年后每年的支付额。年的支付额。10%5 |%3 | 01%3 |)(100)(100)2(axaIaI 解4 4、有一项年金，第一年初支付、有一项年金，第一年初支付100100元，以后元，以后每年递增每年递增100100元，直至永远，如果年利率为元，直至永远，如果年利率为3%3%，求其现值。，求其现值。 假如该年金规定假如该年金规定1010年后改为年后改为5 5年定期等年定期等额年金，年利率为额年金，年利率为5%5%，求每年的支付额。，求每年的支付额。10%5 | 5%3 | 01%3 |)(100)(100) 3(axaIaI 5 5、有一项特殊年金，第一年末支付、有一项特殊年

10、金，第一年末支付10001000元，元，然后每年递增然后每年递增500500元，增加到最高值元，增加到最高值1010万元万元后，又逐年递减，每年减少后，又逐年递减，每年减少1 1万元，减到万元，减到5 5万万元后保持不变，直至永远，年利率恒为元后保持不变，直至永远，年利率恒为5%5%，求其现值。求其现值。 1 1.5 2 100 90 80 70 60 50 50 0.5 1 1.5 99.5 40 30 20 10 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 50 50 50 50 50 50 时间时间总现金流总现金流现金流现金流1现金流现金流2金钱单位：金钱单位：1000元元0 1 2 3 1

11、99 200 201 202 203 204 205 199%5 |199%5 | 4%5 | 919%5 | 91950000)(10000)(500500aDaIaa现值解199%5 |199%5 | 4%5 | 919%5 | 91950000)(10000)(500500aDaIaa现值解生生 存存 年年 金金转换函数转换函数 01011.ttxxxxttxxxxxxxMMMRCCCMdvC寿险换算符号如下：寿险换算符号如下： 0101.ttxxxxttxxxxxxxNNNSDDDNlvD下下：生生存存年年金金的的换换算算符符号号如如.110 xxxtxtxxCCMdtDC 即时给付情

12、况下：即时给付情况下：t Ex=则则 有有=Dx+t /Dxt确定性年金与生存年金的确定性年金与生存年金的t年现值年现值生存年金计算一般公式生存年金计算一般公式znDNNz :需要计算价需要计算价值的时间点值的时间点 ：开始支付：开始支付年金的年龄年金的年龄n：支付：支付次数次数例例1 计算计算25岁的男性购买岁的男性购买40年期年期10000元纯粹元纯粹生存险的趸缴纯保费。已知生存险的趸缴纯保费。已知假定假定i678765825. 02540p78.76578765825. 006. 11000010000402540E解解:X+14 542.寿寿 险险死者保单对全体保单共有财产的分享死者保

13、单对全体保单共有财产的分享 初始人数每人交的净保费 t 年末的投资积累 死亡人数1元赔偿寿险现值与终值计算的一般公式寿险现值与终值计算的一般公式zmnxmnxnxDDMMA x : 计算价值计算价值的时间点的时间点 n : 延期年数延期年数特别：特别：n = 0m ：定期年数：定期年数特别：特别：M = 0双保险纯寿险10例例1 某人现年某人现年30岁，持有定期寿险保单，规定于第岁，持有定期寿险保单，规定于第一年死亡时，给付一年死亡时，给付1000元，第二年死亡时，给付元，第二年死亡时，给付1200元，第三年死亡时，给付元，第三年死亡时，给付1400元，等等，共元，等等，共计计20年，求趸缴纯

14、保费。年，求趸缴纯保费。解解 所求趸缴纯保费所求趸缴纯保费205.1661920010002001000305050313050301| 91 :301| 02:30 DMRRDMMIAA某人某人30岁投保某一寿险，约定岁投保某一寿险，约定50岁之前死亡给岁之前死亡给付付3000元，若元，若50岁仍生存，则每年末可领取年岁仍生存，则每年末可领取年金额金额960元的终身生存年金。求其趸缴纯保费。元的终身生存年金。求其趸缴纯保费。解：所求趸缴纯保费可看作保额解：所求趸缴纯保费可看作保额3000元的元的20年定年定 期寿险趸缴纯保费与保额为期寿险趸缴纯保费与保额为960元的元的20年延期年延期 终身

15、生存年金趸缴纯保费之和。所以终身生存年金趸缴纯保费之和。所以 其趸缴纯保费其趸缴纯保费30|20| 02:3019603000aA 4 设有保额为设有保额为1000元的元的10年限期缴费年限期缴费20年的两全年的两全 保险，签发年龄为保险，签发年龄为30岁，其附加费用如下：岁，其附加费用如下： 佣金：第一年按总保费的佣金：第一年按总保费的25%提取，第二年按提取，第二年按10%，第三年按，第三年按5%，以后均为，以后均为2%; 保费税：总保费的保费税：总保费的2%； 管理费及承保费用：第一年管理费及承保费用：第一年5元，第二年以后每年元，第二年以后每年2元，保费缴清后每年元，保费缴清后每年1元

16、。元。试求其年缴总保费。试求其年缴总保费。年龄年龄x=30 x+1 x+2 x+3 x+9 x+10 x+20 趸缴纯趸缴纯保费保费佣金佣金管理费管理费及承保及承保费用费用0.25G 0.1G 0.05G 0.02G 0.02G 5 2 2 2 2 1 . 保费税保费税0.02G 0.02G . 0.02G30:20|1000A费用开支列表：费用开支列表：313230 1030:2030303|710102010000.250.10.050.020.023DDGaAGGGDDG aGaaa ：30：30：30：30：按上表所示的费用开支情况及在签单时收支平衡的原理，可得练练 习习 对（对（25

17、）购买的保险金额为）购买的保险金额为10万元的万元的40年年两全保险保单，该保单的第一年费用为两全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的元加上毛保费的25%，续年的费用为，续年的费用为25元元加上毛保费的加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理。发生死亡给付时的理赔费用为赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费元，生存给付时不发生理赔费用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知%60811675. 0114592. 0140254025iAA，：常见险种的期末付生存年金常见险种的期末付生存年金 险种险种延付年金精算现值延付年金精算现值终身生存年金终身生存年金

18、n年定期年定期生存年金生存年金m年延期年延期终身生存年金终身生存年金m年延期年延期n年定期年定期生存年金生存年金1xxAai:1xnxnAai:1()xxmxx mxmx mx maaaEaAAi:1()xmxmnxm nxmx mnxmxm naaaE aAAi答案答案45.856033425. 015. 09 . 02575100100000)1 . 025()15. 075(100100000)2(85.7321000001000006422.151) 1 (140:2540:25140:2540:2540:25140:2540:2540:25140:2540:2540:2540:254

19、0:2540:2540:2540:25GAAAaaAAGaGGAAaGaAPdAa %60811675. 0114592. 0140254025iAA，：死亡时刻即刻赔付及连续死亡时刻即刻赔付及连续支付生存年金的情形支付生存年金的情形例1设设(x)投保终身寿险，保险金额为投保终身寿险，保险金额为1元元保险金在死亡即刻赔付保险金在死亡即刻赔付签单时，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为的剩余寿命的密度函数为 计算计算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的答案答案0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）答案答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve例例2已知个体已知个体(x)的未来生存时间的未来生存时间T的密度为的密度为计算：终身连续生存年金精算现值及方差计算：终身连续生存年金精算现值及方差30,05.0,100,00,1)(xtttfT其他)(,30YVara答案答案458.1405. 0277. 011277