统计学课件第5章概率与概率分布(连续性随机变量的概率分布)配套讲义

1、5.4.1 概率密度与分布函数概率密度与分布函数5.4.2 正态分布正态分布学习要点学习要点：1.概念：概率密度函数概念：概率密度函数f(x)、概率分布函数、概率分布函数F(x)2.正态分布曲线的性质正态分布曲线的性质(p126)3.标准正态分布标准正态分布(126)4.正态分布概率、标准正态分布概率计算正态分布概率、标准正态分布概率计算(p129) 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值值它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一

2、个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率通常研究它取某一区间值的概率用数学函数用数学函数f(x)的形式和分布函数的形式和分布函数F(x)的形式来描述的形式来描述概率密度函数概率密度函数(probability density function(probability density function)设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件1d)()2(0)() 1 (xxfxf概率密度函数 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲

3、线下从x1 到 x2的面积baxxfbXaPd )()(xab分布函数分布函数 (distribution function)(distribution function)连续连续型随机变量的概率也可以用分布函数型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示来表示分分布函数定义为布函数定义为)(d )()()(xxttfxXPxF)()(d )()(aFbFxxfbXaPba分布函数与密度函数的图示分布函数与密度函数的图示密度函数曲线下的面积等于密度函数曲线下的面积等于1分布函数是曲线下小于分布函数是曲线下小于 x0 的面积的面积连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差连续型随机变

4、量的数学期望为方差为xxxfXEd)()(22d)()()(xxfXDXEx均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布(uniform distribution)(uniform distribution)若随机变量X的概率密度函数为 称称X在区间在区间a ,b上均匀分布上均匀分布数学数学期望和方差分别为期望和方差分别为其他01)(bXaabxf12)()(;2)(2abXDbaXE正态分布正态分布正态分布正态分布(normal distribution)(normal distribution) 1.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布 2.可用于近似离散型随机变量的分布可

5、用于近似离散型随机变量的分布例如例如: 二项分布二项分布 3.经典统计推断的基础经典统计推断的基础概率密度函数概率密度函数xxfx,e21)(2221f(x) = 随机变量随机变量 X 的频数的频数 = 总体方差总体方差 =3.14159; e = 2.71828x = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x 0正态正态曲线的最高点在均值曲线的最高点在均值 ，它也是分布的中位数，它也是分布的中位数和众数和众数正正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值均值 和标准差和标准差 来区分。来区分。 决定了图形的中心位决定了图形的中心位置置, 决定曲线的平缓

6、程度，即宽度决定曲线的平缓程度，即宽度曲曲线线f(x)相对于均值相对于均值 对称，尾端向两个方向无限对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交延伸，且理论上永远不会与横轴相交正态正态曲线下的总面积等于曲线下的总面积等于1随机随机变量的概率由曲线下的面积给出变量的概率由曲线下的面积给出 和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响xCAB正态分布的概率正态分布的概率?d)()(baxxfbxaP标准正态分布标准正态分布(standard normal distribution)(standard normal distribution)一般的正态分布取决于均值一般的正态分布取决于均值 和

7、标准和标准差差 计算概率时计算概率时 ，每一个正态分布都需，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的格是无穷多的(教材教材P397)若能将一般的正态分布转化为标准正若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表态分布，计算概率时只需要查一张表标准正态分布函数标准正态分布函数xxx,e21)(22任何一个任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布)1 ,0( NXZxtxtttxde21d)()(2-2标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用将一个一般

8、的正态分布转换为标准正态将一个一般的正态分布转换为标准正态分布分布计算概率时计算概率时 ，查标准正态概率分布表，查标准正态概率分布表对于负对于负的的 x ，可由，可由 (-x) x 得到得到对对于标准正态分布，即于标准正态分布，即XN(0,1)，有，有P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1对对于一般正态分布，即于一般正态分布，即XN( , 2)，有，有abbXaP)(正态分布正态分布( (例题分析例题分析) )正态分布正态分布 ( (例题分析例题分析) )9525.0)67.1(67.135351035)10(XPXPXP7938.0)1()67.1(67.1351351035352)102(XPXPXP二项分布的正态近似二项分布的正态近似二项分布的正态近似二项分布的正态近似当当n 很大时，二项随机变量很大时，二项随机变量X近似服从正态分近似服从正态分布布Nnp , np(1-p)对对于一个二项随机变量于一个二项随机变量X，当，当n很大时，求很大时，求 P(x1 X x2)时可用正态分布近似为时可用正态分布近似为pqnpqnpxbnpqnpxaabtqpCxXxPbatxxxxnxxn1,2,1)()(de21221221式中：二项分布的正态近似二项分布的正态近似（实例）（实例）927. 0)5 . 2()5 .