高考数学指导：点击线性规划问题中的参数

1、高考数学指导：点击线性规划问题中的参数一、目标函数中的参数1.目标函数中y的系数为参数例1已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值，则mA.2解：依题意，令z=0,可得直线x+my=0的斜率为工，结合可行域可知当直线x+mym=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为1,所以m=1,选C点评：首先应根据图形特征确定最优解怎样才是无穷个，其次考虑最小值可能在何处取道。2.目标函数中x的系数为参数例2已知变量x,y满足约束条件1

2、<x+y<4,-2<x-y<2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为.解析：变量x,y满足约束条件1xy4,2xy2.在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD其中A(3kAD1«ab1,目标函数zaxy（其中a0）z表示斜率为一a的直线系中的截距的大小,若仅在点处取得最大值，则斜率应小于1,a的取值范围为(1,+8)。点评：根据图形特征要确定怎样才能保证仅在点(3,1)出去的最大值。3.目标函数中的x、y的系数均含参数x3y4例3已知约束条件x2y13xy800且目标函数只有(2,2),则a的取值范围是(2

3、_2zax(a2a)y取得最小值的最优解分析：根据条件可作出可行域，根据图形确定最小值在何处取到，且最优解唯一。2解析：目标函数za2x（a2a2）y的斜率2a0aa2由题意知使目标函数取得最小值的最优解只有个，a2为（2,2）,故有0-vaa2a21174点评：最优解只有一个，意味着目标函数所对应的斜率介于两条线的斜率之间。练习1:已知变量x , y满足约束条件x 2y 3 0x 3y 3 0。若目标函数z ax y （其中a 0）y 1 0仅在点（3,0）处取得最大值，则 a的取值范围为 答案：a?12二、约束条件中的参数y 0 一，,例6在约束条件 y下，当3 x 5时,y x sy 2

4、x 4目标函数z 3x 2y的最大值的变化范围是A. 6,15 B. 7,15 C. 6,8 D. 7,81.17,即为a的范围。4xysx4s解析：由y交点为A(0,2),B(4s,2s4),C(0,s),C(0,4),其y2x4y2s4可行域如图(1)当3s4时可行域是四边形OABC此时，7z8(2)当4s5时可行域是OAC此时，zmax8,故选d.点评：本题只要抓住考虑参数对可行域的影响，从而进行分类讨论xy5>,练习2：若不等式组y>a,表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()0<x<2A.a5b.a>7c.5<a7D.a5或a>7答案

5、：C一个猜想的证明猜想：用线性规划知识易得当M1(x1,y1),M2(x2,y2)在直线l:AxByC0的两侧时，有(Ax1By1C)(Ax2By2C)0,类比猜想：直线11:AxByC10和直线I2：AxByC20是两条平行直线，点M(x0,y°)是夹在这两条平行直线之间的任一点,则有(Ax0By0C1)(Ax0By0C2)0。现证明如下:不妨设C1C2,点M(x0,y0)到直线l1:AxByC10和直线AxByC20的距离分别是d1A% By。C1,A2 B2和d1Ax。 By° C2,A2 B2;由于点M(x0,y0)不在直线11和12上，故Ax0By0 C1 0;

6、Ax0 By0 C2 0 ()。而两条平行直线11和I2之间的距C1C2C1 C2,A2 B2,A2 B2是个常数题意知：d d1 d2 ,代入得：A% By° C1Ax0 By° C1A% By° C1Ax° By° C1Ax0 By° C1Ax0 By° C1C1 C2A2 B2C1_C2_A2 B2化 简得C1C2 ,若(Ax0 By02(Ax0 By°) C1 C2C1)(Ax° By0 C2) 0,C1 C2Ax。 By。C20 （由（）知矛盾）或AX By。Ci| |Axo By。Ci2（Ax

7、。By。）（CiC2）CiC2Ax。By。G0（由（）知矛盾），故（Ax。By0C1）（Ax0By0C2）。参考文献:1 甘志国 争鸣134数学通讯，2。7 （7）一个常见图形的反例功能在立体几何教材的例题或习题中，我们发现一些图形经常出现；若能对它进行挖掘,充分利用，则起到妙不可言的效果。下面就举一个图形并说明它的作用。一、常见图形如图1：四边形ABCD为正方形，PA面ABCD。图1二、功能作用我们利用此图可以巧妙的解决立体几何中师生经常出现错误的四个问题一一四个顽症。顽症1如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形为矩形分析：这是一个学生很容易出错的地方，看图1,则很容易判断：在四边形PBC

8、D中，B,C,D均为直角，而P并非直角，则上述结论是错误的，从而如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形不一定为矩形顽症2如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角互补或相等。分析：由“一个角的两边和另外一个角的两边分别对应平行，则这两个角互补或相等”这个定理进行类比，则很多同学认为正确。真的这样吗？请看图形1：BCD和BPD,满足CBPB,CDPD,即两边分别垂直，但是BCD为直角，而BPD不是直角，而且随着点P的运动而变化。因此这两个角并不满足相等或互补。故如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角不一定互补或相等。顽症3如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的

9、两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小相等或互补分析：由“如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小相等或互补”这个结论类比，很多师生往往认为正确。其实不然。请看图2:二面角BPCD和二面角BPAD,满足面PBC面PBA,面PCD面PAD；二面角BPAD的大小为直角，作BHPC，垂足为H,连接HR则不难说明DHPC,则BHD为BPCD的平面角，由于BH<BC,DH<DC,VBCD为直角三角形；故BHD为钝角。从而这两个二面角并不互补或相等。所以，如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小不一定相等

10、或互补顽症4 如果PA 面，E , F,则 EAF> EPF分析：利用图3直观判断师生很容易得出上述结论成立。其实不然。请看图在CD（把点D看成E）上取一点M,使彳导DAM150,在取点N（可看成点F）,可尽量靠近点A,这1¥NPD接近APD,大约接近450,这样NPDDANDAM,即有EAF<EPF,则顽症4是错误的，从而如果PA面，E,F，则EAF与EPF的大小不定。图4联系地址：山东新泰第一中学新校南区高三数学组271200 徐加华有关直线与圆解题时的常见失误例析直线与圆是解析几何中的基本内容，高考对此部分的考查大都以基本题目为主，但在解题时同学们由于各种原因可能导

11、致解题出现错误。下面就列举几种常见的情形，供同学们参考。一、求直线方程时1忽视直线的倾斜角的范围4例1求过点（1,2）且倾斜角的正弦为f的直线方程。54错斛：由sin5分析：倾斜角的范围为4x 3y 2 0。4一,从而所求直线334costan-,故所求直线方程为53-、的430.），故sin-cos一tan554万程为y 2-（X1）。2混淆截距和长度的区别例2求通过点（2,2）,且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程。错解：由题意设3 y a b/ 2 11 ,由已知得a b 得-ab 122,故所求直线方程为1x 2y 2 0。分析：本题处理时没有区分好截距和长度的概念。截距是有正负

12、的，而距离不能为负。正二 21解：a b得a之或a1.b 1b a b11一 一一一 一一,所求直线方程为 x 2y 2 0或2x y 2 023忽视斜率不存在的情况求过点(0,7),向圆x2y2 6x 6y 9 0所作的切线方程。22错解：设切线万程为：ykx7,带入圆的万程得(k1)x(8k6)x160,整理得：4(24k7)0k工，从而方程为y工x7。2424分析：过圆外一点作圆的切线应该有两条，显然漏解了，事实上忽略了斜率不存在的情况，应补上：x04对两直线的位置关系考虑不全面例4求过点P(1,2)且与点A(2,3),B(4,5)距离相等的直线方程。错解：过点P(1,2)作与直线AB平

13、行的直线符合题意。易得直线方程4xy60分析：事实上过点P(1,2)与线段AB的中点的直线也符合题意，应加上此条直线3x2y705忽视点的位置例5求过点(1,1)作圆x2y21的切线方程错解：利用结论：过圆x2y2r2上一点(x0,y0)的切线方程为：xx°yy°r2。则有：x?1y?11,即：xy1.分析：忽视了结论中的一个条件：点(x0,y0)必须在圆x2y2r2上。而此题点(1,1)并不在圆x2y21上，而在圆外；切线应有两条。正确答案：x1和y1。二求参数时1忽视隐含条件导致例6已知圆x2y2kx2yk20和定点P(1,1),若过点p作圆的切线有两条，则k的取值范围(错解:233由题意知点2.332.33P(1,1)必须在圆的外部,1,从而选A。分析：忽视了一个隐含条件：必须保证方程在解题时忽视了，因此不对则12(1)2kx由题意知点k?12yP(1,2?(1)k20k0k20表示一个圆，而上述1)必须在圆的外部，22_21(1)k?12?(1)k0或k1,由方程kx2yk2表示一个圆，得k2224k22、33从而得2忽视变量范围例7已知圆x22y0,试求y的取值范围。错解：由题意得：x2(y2)24(:。分析：忽视了题目