典型例题及习题1

1、1/36数值分析典型例题典型例题 I一、二章内容提要一、二章内容提要典型例题分析典型例题分析例题与练习题例题与练习题实验题介绍实验题介绍2/36化大为小化大为小 化繁为简化繁为简 化难为易化难为易 核心的概念核心的概念 误差误差算法的构造与分析算法的构造与分析 收敛性收敛性 稳定性稳定性 复杂度复杂度( (时间与空间时间与空间) )等等*3/36有效数字概念有效数字概念若近似值若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个的绝对误差限是某一位上的半个单位单位, ,该位到该位到 x 的第一位非零数字一共有的第一位非零数字一共有 n 位位, ,则称近似值则称近似值 x 有有 n 位有效数字位有效数字。

2、*.*x 从左向右看第从左向右看第一个非零数一个非零数误差限不超过该误差限不超过该位的半个单位位的半个单位n位有效数字位有效数字4/36nraxe 1051)(如果如果x具有具有n位有效数字位有效数字, 则相对误差满足则相对误差满足:mnaaax10021 .nmxxxe 1021| )(|其绝对误差满足其绝对误差满足:如果一个规格化浮点数如果一个规格化浮点数则称近似数则称近似数x具有具有n位有效数字。位有效数字。5/36*lim()nnxx 0101()()nnxxxxx 迭代法思想迭代法思想:*收敛性收敛性 收敛速度收敛速度|( )| 1x Iterate:To say or do aga

3、in or againandagain(1)( )( *)( *)( *)0 ( *)0rrxxxx 6/36例例1. .经过四舍五入得出经过四舍五入得出x1 1=6.1025=6.1025和和x2 2=80.100,=80.100,试问它们分别具有几位有效数字试问它们分别具有几位有效数字? ?解解： *4112|*|10 xx *3122|*|10 xx 7/36例例2. .已知近似数已知近似数x有两位有效数字有两位有效数字, ,试求其相对试求其相对误差限。误差限。解解：| er(x)|1000时时, Sn有三位有效数。有三位有效数。14/362arctan( )11dxdxx 201arc

4、tan( )arctan(0)arctan( )1xdxxxx 2311( 11)1aaaaa 2460(1)darctan( )xaaaax 3571arctan( )357xxxx 15/3610ie 16/36例例10.在计算机上对调和级数逐项求和计算在计算机上对调和级数逐项求和计算 nknkS11当当 n很大时很大时，Sn 将不随将不随n 的增加而增加。试的增加而增加。试分析原因分析原因。 17/36例例11. 证明方程证明方程1-x-sinx=0在区间在区间0,1上有上有一根一根, 使用二分法求误差不大于使用二分法求误差不大于0.5*10-4的的根需要二分多少次？根需要二分多少次？提

5、示提示: f(0)=1, f(1)=-sin10。且。且f(x)=-1-cosx在区间在区间(0,1严格单调递减。严格单调递减。411011022n 18/36 例例12. 构造求构造求ex+10 x-2=0根的迭代法。根的迭代法。提示提示:(2e )( )10 xx ( )10 xex 故迭代法算法一阶收敛。故迭代法算法一阶收敛。19/36 例例13. 应用牛顿迭代法于方程应用牛顿迭代法于方程x3 a=0,导出求立方根的迭代公式导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶并讨论其收敛阶。解解：令令 f(x) = x3 a，则牛顿迭代公式则牛顿迭代公式 22313323nnnnnnxaxxaxxx

6、2332)(xaxx 33232)(xax 42)(xax *()0()0 xx 且且故立方根迭代算法二阶收敛故立方根迭代算法二阶收敛20/36例例14. 设设a 为正实数为正实数,试建立求试建立求1/a 的牛顿迭代公的牛顿迭代公式式,要求在迭代公式中不含有除法运算要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑并考虑迭代公式的收敛。迭代公式的收敛。 xn+1 = xn(2 axn)，(n=0，1，2 ) kaxaxk20)1(1 )1(1 120kaxaxk 所以所以,当当| 1 ax0| 0,迭代格式迭代格式212(3 )3nnnnxxCxxC *xC 是是计计算算的的三三阶阶方方法法。22/36例

7、例16. *()1()()0 xp xfx 解解:2( )( ) ( )( )( ),( )( ),( )0( )xxp x f xq x fxp xq xf xx 设设试试确确定定函函数数和和使使求求解解根根的的迭迭代代格格式式至至少少三三阶阶收收敛敛。2( )1( ) ( )( )( )( )( )2 ( ) ( )( )xp x f xp x fxq x fxq x f x fx 2( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )2 ( ) ( )( )2 ( ) ( )( ) 2 ( )( )( )2 ( ) ( )( )xpx f xp x fxp x fxp

8、x fxqx fxq x f x fxq x f x fxq x fx fxq x f x fx *2()2()()()()2 ()()0 xp xfxp xfxq xfx ( )1/( )p xfx 3( )( )2( )fxq xfx 23/36Ex2. 若若 x*是是f(x)=0的的m重根重根,试证明修正的牛顿试证明修正的牛顿迭代法迭代法1()()nnnnf xxxmfx 至少为二阶收敛至少为二阶收敛 。 1/1/1( ) ( )( )1/ ( )( )mmu xf xu xm f xfx 且且f(x)1/m或或f(x)/f(x)单根单根1/1/1 ( )(x)( )1/ ( )( )(

9、 )mmf xfxxxmm f xfxfx 24/36Ex3 对于复变量对于复变量 z=x+iy 的复值函数的复值函数f(z) 应用牛顿迭代公式应用牛顿迭代公式 )()(1nnnnzfzfzz 时为避开复数运算时为避开复数运算,令令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f(zn)=Cn+iDn 证明证明 221nnnnnnnnDCDBCAxx 221nnnnnnnnDCCBDAyy 25/36例例17. 提示提示: 取初值取初值x1=21/2,222lim=2nnnxx 给给出出求求的的迭迭代代格格式式, ,并并证证明明。12nnxx 迭迭代代格格式式考虑序列单调有界考虑序列单调有界,则

10、该序列必有极限。则该序列必有极限。26/36*2.5 ( ), ( )( )1, xxxxx 定定理理设设为为的的不不动动点点在在 的的某某邻邻域域连连续续且且则则迭迭代代法法局局部部收收敛敛。例例18.:( )x 提提示示 因因为为连连续续, , 由由局局部部保保号号性性知知存存在在一一个个邻邻域域|( )|1,xL 有有且且有有|( )|1,xL 有有且且有有*| ( )| ( )()|0, 均收敛于均收敛于21/2。21212(2)2(2)nnnnxxxx 29/36牛顿迭代法的收敛域问题牛顿迭代法的收敛域问题: : 用牛顿迭代法求解方程用牛顿迭代法求解方程 zd 1 = 0的复根。例如

11、的复根。例如d=3时时, 方程在复平面上三个根分别是方程在复平面上三个根分别是iz23212 iz23213 z1 = 1选择中心位于坐标原点，边长选择中心位于坐标原点，边长为为2 2的正方形内的任意点作初始的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标根的初值分为三类，并分别标上不同颜色上不同颜色( (例如红、绿和蓝例如红、绿和蓝) )。对充分多的初始点进行实验，对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图敛域彩色图。 30/3631/3632/3633/3634/36 % Perform N

12、ewton iterations for k=1:maxIter; Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d); endfunction y=f(x,d); y=(x.d)-1;end function y=fprime(x,d); y=d*(x.(d-1);end代码片段1:35/36 % Find d roots of unity, and the mask for j=1:d root=exp(2*pi*i/d)j; % the jth root Mj=abs(Z-root); % distance % Each root gets a unique number in 1,d mask=(Mj=tol)*j; renderMat=renderMat+mask; end colormap(hsv); % Set the color