大学物理自测题下(黄皮书)机械波动要点及详细答案

1、简谐振动微分方程简谐振动微分方程2220d xxdt其通解为：其通解为：cos()xAt简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程利用初始条件确定利用初始条件确定,A 21 T 22 T 2 T2200()vAx00tanvx 简谐振动的简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tAoX0cos()xAt机械能机械能222111222pkEEEkxmvkA简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒同方向、同频率的两个简谐振动的合成同方向、同频率的两个简谐振动的合成221212212cos()AAAAA11221122sinsintgcoscosAAAA111(

2、)cos()x tAt222( )cos()xtAt12,cos()xxxxAt合振动合振动 : :1A11x2A22xA 12xxx 12 T uuT 波的周期波的周期 T 、频率频率 v 和和波长波长 之间的关系之间的关系平面简谐波的波动式平面简谐波的波动式cos()xyAtuxot振动图振动图xypuOx波动图波动图22222yyutx波动方程波动方程波中各质点的总机械能为：波中各质点的总机械能为：kpEEE 222sin()xAtVu1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。相等而且

3、相位相同，同时达到最大，同时等于零。2）在波传动过程中，任意质元的能量不守恒，所以波动过在波传动过程中，任意质元的能量不守恒，所以波动过 程实质上是能量的传递过程。程实质上是能量的传递过程。kpEE 惠更斯原理：惠更斯原理：在波的传播过程中，波面（波前）上的各点，在波的传播过程中，波面（波前）上的各点，都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波面。的包迹就成为新的波面。波的相干条件波的相干条件3.具有恒定的相位差具有恒定的相位差2.振动方向相同振动方向相同1.具有相同的频率具有相同的频率2010212()()r

4、r22212122cosAAAAA2 0,1,2,3,.kk (21)0,1,2,3,.kk 21rr0,1,2,3,.k 21,2k 2,2kk 称为波程差：称为波程差：2cos2cos( )cosxyAtA xt驻波方程驻波方程相邻波腹或相邻波节间的距离都为：相邻波腹或相邻波节间的距离都为：2x 波节两侧的点振动相位相反，波节之间的点其振动相位相同。波节两侧的点振动相位相反，波节之间的点其振动相位相同。半波损失半波损失当波当波从波疏媒质入射到波密媒质从波疏媒质入射到波密媒质界面上反射时，界面上反射时，有半波损失有半波损失；当波当波从波密媒质入射到波疏媒质从波密媒质入射到波疏媒质界面上反射时

5、，界面上反射时，无半波损失无半波损失。多普勒效应多普勒效应s0vvuu 0v观察者观察者向着向着波源运动波源运动 + ，远离远离 - ； 波源波源向着向着观察者运动观察者运动 - ，远离远离 + 。sv0cos()xEEtc0cos ()xHHtc平面电磁波平面电磁波uEHxoyz电磁波的性质电磁波的性质rrcu EH坡因廷矢量坡因廷矢量电磁波的能流密度电磁波的能流密度( (坡因廷矢量坡因廷矢量) )：Swu221122wEH电磁波的能量密度：电磁波的能量密度：SEHSEHSEH1. 一轻弹簧一轻弹簧,上端固定上端固定,下端挂有质量为下端挂有质量为m的重物，其自由振动的重物，其自由振动 的周期

6、为的周期为今已知振子离开平衡位置为今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度时，其振动速度 为为v，加速度为，加速度为a，试判下列计算倔强系数的公式中那个是，试判下列计算倔强系数的公式中那个是 错误的：错误的：22maxmax( )/A kmvx( )/B kmg x22( )4/C km T()/D kma x22maxmax11( ) 22Amvkx2() , 2kmCTmk() DFkxma 2. 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点， 位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有位移向下为正，并采用余弦表示。小

7、盘处于最低位置时刻有 一个小物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点，一个小物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点， 设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅， 且以小物体与盘相碰时为计时零点，那么新的位移表示式的且以小物体与盘相碰时为计时零点，那么新的位移表示式的 初相在：初相在： (A) 0/2之间。之间。 (B) /2之间。之间。 (C) 3/2之间。之间。 (D) 3/22之间。之间。解：解：位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小物体位移向下为正。当小盘处在最低位置时刻有一个小物体 落到盘上，则振子系统向

8、下还是向上运动？落到盘上，则振子系统向下还是向上运动？ 考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小考虑到新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。于原振幅，位移接近正的最大值，速度向下。采用旋转矢量法可知初相位在第四象限。采用旋转矢量法可知初相位在第四象限。 3. 劲度系数分别为劲度系数分别为k1和和k2的两个轻弹簧串联在的两个轻弹簧串联在 一起，下面挂着质量为一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个的物体，构成一个 竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为：竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为： k1 m k2 解：设弹簧串联后弹簧的劲度系数为解：设弹

9、簧串联后弹簧的劲度系数为k， 平衡时伸长了平衡时伸长了x,则则12xxx1 122kxmgk xmgk xmg12111kkk121212()11222m kkmTmkkkk k答案：答案：C31k1、将一个劲度系数为、将一个劲度系数为k的弹簧一截为二，则一半长的弹簧的劲度的弹簧一截为二，则一半长的弹簧的劲度 系数为多少？系数为多少？122kkk12xxx1 122kxmgk xmgk xmg12111kkk解：设弹簧截断后的劲度系数为解：设弹簧截断后的劲度系数为k1， k1，平衡时分别伸长了，平衡时分别伸长了x1， x2，则，则kNk将劲度系数为将劲度系数为k的弹簧平分为的弹簧平分为N段，则

10、一段弹簧的劲度系数为：段，则一段弹簧的劲度系数为：3、把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧，其弹簧的劲度、把一根弹簧在其一半处折叠成一根双股弹簧，其弹簧的劲度 系数为多少？系数为多少？2、将两根劲度系数分别为、将两根劲度系数分别为k1和和k2的弹簧两端固定，在两弹簧中间的弹簧两端固定，在两弹簧中间 连接一个质量为连接一个质量为m的物体，合成后的弹簧的劲度系数为多少？的物体，合成后的弹簧的劲度系数为多少？12kkk2 4kkk解：设弹簧并联后的劲度系数为解：设弹簧并联后的劲度系数为k，平衡时伸长了，平衡时伸长了x，则，则1 122kxmgk xk xmg12xxx2kk3k1111kkkk3k

11、k122km所以振动系统的频率为：（）所以振动系统的频率为：（）解：截成三等份，设每等份的倔强系数为解：截成三等份，设每等份的倔强系数为 , 则则k两根并联时两根并联时2 6kkk解：解：1 12212mgk xk xxnx答案为（答案为（c)12111kkk21knk1 12212mgk xk xkxxxx111kkk2kk 2222mmTkk2kkk xkxkxmg2222mmTkk弹簧串联：弹簧串联： 弹簧并联：弹簧并联： 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1, ,如果简谐振动振幅如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能增加为原来

12、的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量量E1变为：变为： (A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4E1)tsin(Av0 )t(coskA02221 谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp 221kAEEEpk 总能量变为（）总能量变为（）6.6.一物体作简谐振动，振动方程一物体作简谐振动，振动方程 ，则该物体，则该物体 在在t=0t=0时刻的动能与时刻的动能与t =T/8 ( (T为振动

13、周期为振动周期) )时刻的动能之比为：时刻的动能之比为：221mvEk 221sin (/2)2kAt221sin22kEkA解：动能为解：动能为t=0时刻，时刻，t=T/8时刻，时刻，221sin282kTEkA22221213sinsin28224kAkA(A)1:4 (B)1:2（C)1:1 (D)2:1动能之比为（）动能之比为（）2:1cos(/2)xAt解：解：xtTEEpokpEE EtEkkA2/2弹性力所做的功等于动能的变化量，所以半个弹性力所做的功等于动能的变化量，所以半个周期所做的功为零。周期所做的功为零。tfdbo, , 12.一列机械横波在一列机械横波在t时刻的波形曲线

14、如图所示，则该时刻能时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是：量为最大值的媒质质元的位置是： (A) (B) (D) (C) fdbo, geca,do , fb,在波动的传播过程中，某质元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相在波动的传播过程中，某质元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。位相同，同时达到最大，同时等于零。在平衡位置动能和势能同时达到最在平衡位置动能和势能同时达到最大值，大值， 在最大位移处动能和势能同时为零在最大位移处动能和势能同时为零.212EkA2 /2mTk 2221 42mEAT8. 8. 一长为一长为l 的均

15、匀细棒悬于通过其一端的光滑水平的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平 固定轴上，（如图所示），作成一复摆。已知固定轴上，（如图所示），作成一复摆。已知 细棒绕通过其一端的轴的转动惯量细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 ， 此摆作微小振动的周期为此摆作微小振动的周期为: : 2/3JmlOl2mglJ转动定理：转动定理：22sin22dlmglJmgdt 2202dmgldtJ周期为周期为:222223JlTmglg. . 一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位置向当它由平衡位置向x轴正轴正 方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位

16、移处这段 路程所需要的时间为路程所需要的时间为 解：采用旋转矢量法：解：采用旋转矢量法：3(A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4解解:与标准方程比较与标准方程比较:0cos ()xyAtu0cosAtxu相邻波腹或相邻波节间的距离都为：相邻波腹或相邻波节间的距离都为：2x 相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：4x Fkx 400.2k400.2200/kN m2, 2kmTmk22222000.042.0 ()44kTmkg解：由能量守恒定律可知：左右两侧所解：由能量守恒定律可知：左右两侧所 处最高位置应该相等，即势能相等。处最高位置应该相等，

17、即势能相等。120.451cos1cosmg lmgl121cos1.51cos0.451.05mglmg l221112222112sin/ 21cos1.51cos1.05112sin/ 2cos()t11221.51.21.05AA注意这相当于两个振动而不是两列波注意这相当于两个振动而不是两列波1A频率相等，所以相位差等于初相差：频率相等，所以相位差等于初相差：10/22002120100/2/2 1A103 /2222A2A203 /422/2A3 /23 /43 /4oxox2A120.05 2cos11 /12 cos2 /3xxxt0.05 cos11 /120.05 cos/1

18、2tt 同方向、同频率谐振动的合成同方向、同频率谐振动的合成221212212cos()AAAAA由图知：由图知：2.利用矢量合成法利用矢量合成法1A11x2A22xA xAxyyAcos()xAt1122coscosxAAA1122sinsinyAAA22xyAAA222 0.052 0.05 cos(4 /3)0.05 11221122sinsintgcoscosyxAAAAAA121212121212122sincossinsin22coscos2coscos2211212tgtg11231212or230.05cos()12xt122coscos2 /3xxxAtcosAt 30 xx

19、x12xxx/32221112cos()AAAAA 222010 32 20 10 3cos( /6) 10cm12sinsin/6AA12sin/610 313sin1022AA120/3/6/2 1A2AoxA/6212122uLttt 2/33L2.4m6.0/m s2.46/0.4um sT0.5Lm20.2/62.4m解：波动方程为：解：波动方程为：02cos2yAtxHz0500021014. 35m2202解：波动方程为：解：波动方程为：02cos2yAtx相距为相距为a的两点的相位差为：的两点的相位差为：2aEa13101.43220250000smu解：设波动方程为：解：设波

20、动方程为：02cos2xyAt02cos2uxyAt20,tx00cos 22uA24cos22uxuyAt波动方程波动方程P处质点的振动方程为处质点的振动方程为:4cos22uuyAt0y 0v 02sin 220uuA 042u 解解: 设设P的振动方程为的振动方程为:0cos()pyAt已知已知:20.22AT00.2cos()2pyt由于由于20ptsy0.2cos()22pyt02 02220pv000.2cos(2)200.2sin(2)022解：入射波在解：入射波在B点的振动方程为：点的振动方程为：cos2 ( / )yAt TL入由于由于B是固定端，则在是固定端，则在B点处有半

21、波损失，因而点处有半波损失，因而反射波在反射波在B点的振动方程为：点的振动方程为：cos2 ( / )yAt TL反则反射波的波动方程为：则反射波的波动方程为：2cos2tLAT222cos2yAtxLT反反射波在反射波在O点的振动方程为：点的振动方程为：22cos2OtLLyAT反解：反射波在解：反射波在x=0处的振动方程为：处的振动方程为：20.15cos100/2yt因为反射点为自由端，则无半波损失，则入射波的波动方程为：因为反射点为自由端，则无半波损失，则入射波的波动方程为：10.15cos 100 (/200)/2ytx则驻波方程为：则驻波方程为：120.3coscos(100)22yyyxtx入射波入射波反射波反射波01cos(2)yAtx入射波入射波反射