2019届高考理科数学一轮复习学案：第23讲正弦定理和余弦定理的应用(含解析)

1、第 23 讲正弦定理和余弦定理的应用考试说明能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题考情分析考点考查方向考例考查热度解三角形利用三角恒等变换解2017 全国卷17,2017与三角恒三角形，在三角形中求全国卷I11,2016 全国等变换三角函数值卷口13三角函数 与解三角 形三角函数性质与解三角形的综合解三角形 的实际应 用实际应用中距离、高 度、角度的计算真题再现 2017-2013课标全国真题再现2016 全国卷 n ABC的内角AB, C的对边分别为a,b,c,若 cosA=,cosC=3,a=1,贝 Ub=_21答案-4S312 -解析TcosA=,c

2、osC=,且AC为三角形的内角，二sinA=,sinC=,sin B=si n(A+C=s inAcosC+cos63b21AsinC= .由正弦定理得._=.：,解得b=. 2017-2016其他省份类似高考真题1. 2015 湖北卷如图 3-23-1, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北 75。的方向上，仰角为 30 ,则此山的高度CD=_m答案100 .BC_ AB_解析依题意，在厶ABC中，AB：600, /BAC=O , /ACB=5-30=45.由正弦定理得：.=，即8f600山

3、甫=血4苧,所以BC=3OOV2.在厶BCD中 , /CBD=O,CD=BCn /CBD=0OT2 tan 30=100 苇62. 2014 四川卷如图 3-23-2 所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸A 240( -1)mB.180(.-1)mC 120( - 1)mD.30( -+1)m解析C 由题意可知，AC=._.=120./BAC=5-30=45 , /ABC=80-45-30=105,所以 sin /ABC=in105=sin(60 +45)=sin空60 cos 45+cos 60 sin 45 =-.4CBC在厶ABC中,由正弦定理得盘恕Wk,24炳BC= =1=120(

4、-1).故选 C.【课前双基巩固】知识聚焦1. 水平视线上方下方2. 正北方向 3.水平角B, C的俯角分别为 75 ,30此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于于是4.水平面水平长度对点演练ABBC5訂JC1.5 卫 解析由题可知/ACB=O ,由正弦定理得血 血勺讥,即巅勺昕，得BCQ24CIC3片書2.2 .-或.-解析如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得二二.；.=忙，二sinA=_ ,二 A=60 或A=120.当A=60 时，AB=2 .-；当A=120,AB=-.解析由题意可得,在厶ABC中 ,AB=3.5 m,AC= .4 m,BC=2.8 m,且a+/ACBn.由余

5、弦定理可得AB=AC+BC2AC- BC-cos /ACB即 3.52=1.42+2.82-2X1.4X2.8Xcos(n-a),解得 cosStwfcinBCCDCDsinSDC詡4-解析在厶BCD中 , /CBDn-a-3.由正弦定理得 =.-,所以BC=._=-.rtanfcinj?在 Rt ABC中 ,AB=Btan /ACB= -.5.130解析60+70=130.6.南偏西 80解析由条件及图可知，/A=ZB=40 ,又/BCD=0 ,所以/CBD=0 ,所以/DBA=0因此灯塔A在灯塔B南偏西 80的方向.7. 200 解析根据方位角的概念可得（ （14） ）8. 20- m解析

6、由已知，四边形CBM为正方形，vCB：20 m,二所以 tanIa=沖=一a=.,所以 sin/ADM30,二 AM=DMi30翔(:BM20 m.又在 RtAMD中 ,DM20 m,m.【课堂考点探究】例 1 思路点拨先解ACD得出AD再解 RtBCD得出BD最后在ABD中 ,由余弦定理求AB.解：连接AB.由题意可知CD=O, /ADC=05 , /BDC=5 , /BCD=0 , /ACD=O /CAD45 , /ADB=0.血40在厶ACD中,由正弦定理得.一一=泊让:，AD=20.在 Rt BCD中 ,/ /BDC45 , /BCD=O,BD= CD=4O.在厶ABD中,由余弦定理得

7、 AB=20 ,即A,B两处岛屿的距离为15vl饰+(时1沪评2_唧变式题 -解析在厶ABC中 ,cos /ABC= U二一；所以 sin /ABC=，所以在ABC例 2 思路点拨(1)在厶ABC中使用余弦定理列方程求解A C的距离;(2)在厶AHC中使用正弦定理或者解直角三角形求AC.解:(1)设BC=x米,由条件可知AC=x+X340=x+40(米).在厶ABC中,由余弦定理，可得BC=AB+A2AB AC-cos /BACAD=ABsin /ABC=VT9(m).1即X2=1002+(40+X)2-2X100X(40+x)X -,解得x=380.所以AC=380+40=420(米),故A

8、,C两地间的距离为 420 米.在厶ACF中，ACH20, /HAC=0 , /AHC=0-30=60,ACHC420SC则由正弦定理,可得.,即例 3 思路点拨(1)在直角三角形BCF中可求得BC的值，在厶ABC中由正弦定理可求得AB的值，结合时 间可求出航行速度;(2)在厶BCD中由余弦定理求得CD再在BCD中 ,由正弦定理可得/CDB勺正弦值,进而 确定D方向.KFC解:(1)在厶BCF中 ,由 tan /FBC=,得BC=_：=2,BCAB2AS在厶ABC中,由正弦定理得 報曲=2:TJ,即工WM卅，所以AB=2( -+1),故船的航行速度是每小时6C -+1)千米.(2)在厶BCD中

9、 ,BD= -+1 ,BC=2, /CBD=0 ,则由余弦定理得CD=E仞戏盘2边在厶BCD中,由正弦定理得 农阴上吃.i：处，即疥凉Ng,所以 sin /CDB=,所以，山顶位于D处南偏东 45的方向.d瓯BAC100anl5s变式题 C 解析在厶ABC中,由正弦定理可知BC=*翕说=宅；掃 Y；：.；=50(.，-. )(m).在厶BC呼,由正弦定理可知 sin /BDC=二 =-1.由题图知 cos0=sin /ADE=in /BDC-1,故选 C.420； ；所以HC= 1 =140 .故这种仪器的垂直弹射高度为变式题 6340解析/ AB=30 km, /C=75-15ABSC伽甫；

10、:i応_=出农，二BC=gU ,.C 到AB所在直线的距离140.一米.=60, 在厶ABC中由正弦定理得h=Bin 75=20$sin 15 sin 75=10 sin(15-8.66)km=6340 m.本栏目为撒理专用【备选理由】解三角形的应用往往不局限在使用正、余弦定理解三角形，通常还会与其他知识相互综合,达到考查考生综合运用知识解决实际问题的能力，下面各例均为此而选，可在适当考点使用，也可作为拓展使用岡 1 配合例 1 使用如图,游客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A处沿直线步行 到C处,另一种是从A处乘缆车沿直线到B处，然后从B处沿直线步行到C处.现有甲、乙两位游

11、客从A处 下山，甲沿AC匀速步行，速度为 50 m/min，在甲出发 2 min 后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留 1 min 后，再从B处匀速步行到C处假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长 1260 m，经测量，cos123A=.，cosC=.(1) 求索道AB的长(2) 问乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？123S4- 解:(1)在厶ABC中，/ cosA三，cosC=，/.sinA=:，sinC=，从而 sin B=sinn-(A+C=sin(A+C=sinAcosC+cosAsinC=x. + x_ =.ABACM12604 由正弦定理得玄得AB=一

12、sin C=.X一=1040,故索道AB的长为 1040 m.假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客的距离为d，此时甲行走了 (100+50t)m，乙距离A处 130tm.12由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2X130tX(100+50t)X_.=200(3712-70t+50)，1040T0tw， 0tw8,故当t=_时，即乙出发min 后，甲、乙两游客的距离最短S.2拓展使用如图，经过村庄A有两条夹角为 60的公路ABAC根据规划，拟在两条公路之间的区域 内新建一座工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M N异于村庄A),要求PM=PN=MN单位：千米).如何设计，使得

13、工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：连接AE2,由题意知AB=10，AA=30X. .=10, AA=AB.20MViM.=朮侧诲.4/3因为MN込所以AM=sin(120 -0).在厶APM中 ,cos /AMPcos(60 +0),由余弦定理得AP=AM+MP-2AM- MP-cos/164v3AMP=sin2(120-0)+4-2X2X: sin(120-0)cos(60+0)=. sin2(0+60) - :sin(0+60)cos(883820200+60)+4=.1-cos(20+120)-: sin(20+120)+4=-一 - sin(20+120)+

14、cos(20+120) +.=.If-.sin(20+150),0 (0,120 ).当且仅当 20+150=270 ,即0=60时，AP取得最大值 12,即AP取得最大值 2*3 此时AM=AN=米,AP=2 -千米.S.3配合例 1 使用如图，甲船以每小时 30.海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航 行当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分 钟到达A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的E2处，此时两船相距 10海里问：乙船每小时航行多少海里？AM B解：设/AMN=,则在AMN中 ,由正弦定理得又/AAB

15、2=18O-120=60, AAB是等边三角形，AiB=AA=10.由已知得，AB=20,/BAB2=105-60=45,在厶AB2B中，由余弦定理得B%略A瞬-2AiBiA1B2cos 45=2O2+(1oQ)2-2X20 X 10 芒X2 =200,.B启=10 空.10v2因此，乙船的航行速度为 一.X60=30.(海里/小时).S.4配合例 3 使用2014 浙江卷如图,某人在垂直于水平地面ABC勺墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角0的大小若AB=5 m,AC=25 m,ZBCM3

16、0 ,则 tan0的最大值是 _(仰角0为直线AP与平面ABC所成角)解析由勾股定理得BC=20 m 如图 3-23-20,过P点作PDL BC于D,连接AD则由点A观察点P的仰角0=P0/PADtan0=丄设PD=x则DCx,BD=0V?x,在 Rt ABD故 tan0的最大值为S.5拓展使用某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西 30的方向且与该港口相距20 n mile 的A处，并以 30 n mile/h的航行速度向正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以vn mile/h 的航行速度匀速行驶，经过th 后与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少中，AD所以 tan0=7,假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解:(1)设相遇时小艇航行的距离为sn mile,则即小艇以 30J n mile/h 的速度航行，